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离散系统的数学模型与分析

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线性离散系统数学模型和分析方法

线性离散系统数学模型和分析方法

线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。

线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。

我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。

通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。

7-4 离散系统的数学模型

7-4 离散系统的数学模型

对差分方程取z变换,由实数位移定理得 C(z)=z-kR(z) G(z)=z-k
例7-19 设如图开环系统中的
a G( s ) s( s a )
r(t)
R(z)
r*(t) G(s)
c(t)
c*(t)
C(z)
试求其脉冲传递函数G(z) 解 G(s)的Z变换 G(z)=Z[G(s)]
G(s) L-1
2.线性定常系统差分方程及其解法
前向差分方程 c(k+n)+a1c(k+n-1)+…+an-1c(k+1)+anc(k) =b0r(k+m)+b1r(k+m-1)+…+bm-1r(k+1)+bmr(k)
亦可表示成
n m c ( k n) a i c ( k n i ) b j r ( k m j ) i 1 j 0
r(t)
r*(t) G(s) R(z)
c(t)
c*(t)
C(z)
n c( nT ) z C ( z ) n0 G( z ) R( z ) n r ( nT ) z n0
(3)脉冲传递函数的求法 r ( t ) ( t ) R( s ) 1
r (t ) (t )
(1)迭代法 例7-16 已知差分方程
c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)
输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1,试 用迭代法求输出序列c(k),k=0,1,2,…10 解 根据初始条件及递推关系，得 c(0)=0 c(1)=1 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90

离散系统的数学模型

离散系统的数学模型
信号与系统
离散系统的数学模型
1.1 离散时间系统的数学模型
为激励信号,
为响应信号
离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其 输入输出都是离散信号。在数学上，离 散系统的输入-输出关系可表示为
离散系统可以用差分方程来描述 差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组
成的方程。 例如:
无反馈差分方程 某ຫໍສະໝຸດ 时刻的输出只与输入有关，而余 ，月利率为1%。写出结余 与净存款
的
关系式。
解： 当月的净存款
月末结余
月末利息
所以有
或
例5.3.2 试写出第k 节点电压 的数学模型。
解： 整理得
例5.3.3 假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子
解：算子方程为 即
所以
离散系统的模拟框图表示
差分方程的基本元算符号
例5.3.4 某离散系统的差分方程为
与该时刻之前的输出无关 。
有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还 与该时刻之前的输出有关。
系统的差分方程的一般形式 ：
前向差分方程
后向差分方程
差分算子 离散系统的传输算子
差分方程 算子方程
传输算子
系统的输入-输出模型
1.2离散时间系统数学模型的建立
例5.3.1 某一银行按月结余。设第 个月末的结
试用模拟框图表示此系统。 解：系统的差分方程可化为 框图来表示为
信号与系统

7-4离散系统的数学模型全篇

7-4离散系统的数学模型全篇
如何建立采样系统的差分方程，将在“脉冲 传递函数”小节中讨论。
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；

离散系统的数学模型

离散系统的数学模型

2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。

线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。

本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。

有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。

6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。

这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。

式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。

线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。

1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。

例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。

解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。

离散系统的数学模型与分析

离散系统的数学模型与分析

2.2.3 系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z)
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
2.6 离散系统时域响应特性分析
2. 极点为复数
R( z ) 1
ci 1 z ci z G( z) z pi z pi 1
k
pi,i 1 pi e ji
ci,i 1 ci e ji
脉冲响应
c(k ) Z [G( z ) R( z )] ci pi (e j ( ki i ) e j ( ki i ) ) 2 ci pi cos(
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
H 2 ( z)
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
连续系统的状态空间描述来自X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) xn (k )
2. w变换与劳斯稳定性判据 w变换
z w 1 z 1 或 w w 1 z 1
－－双线性变换
2.5 离散系统稳态误差分析
2.5.1 稳态误差的定义
r(k) e(k)
D(z)
u(k)
G(z)
c(k)
2.5.2 稳态误差的计算

数学模型之离散模型


离散模型的应用领域
计算机科学
离散模型在计算机科学中广泛 应用于算法设计、数据结构、
网络流量分析等领域。
统计学
离散模型在统计学中用于描述 和分析离散数据，如人口普查 、市场调查等。
经济学
离散模型在经济学中用于描述 和分析离散的经济现象，如市 场交易、人口流动等。
生物学
离散模型在生物学中用于描述 和分析生物种群的增长、疾病
强化学习与离散模型
强化学习通过与环境的交互来学习最优策略。离散模型可以用于描述环境状态和行为，为 强化学习提供有效的建模工具。
离散模型在人工智能中的应用
1 2
决策支持系统
离散模型在决策支持系统中发挥着重要作用，通 过建立预测和优化模型，为决策者提供科学依据 和解决方案。
推荐系统
离散模型常用于构建推荐系统，通过分析用户行 为和偏好，为用户提供个性化的推荐服务。
03
分布式计算与并行化
为了处理大规模数据集，离散模型需要结合分布式计算和并行化技术，
以提高计算效率和可扩展性。
机器学习与离散模型的结合
集成学习与离散模型
集成学习通过结合多个基础模型来提高预测精度。离散模型可以作为集成学习的一部分， 与其他模型进行组合，以实现更准确的预测。
深度学习与离散模型
深度学习具有强大的特征学习和抽象能力。将深度学习技术与离散模型相结合，可以进一 步优化模型的性能，并提高对复杂数据的处且依赖于过去误差项的平方。
GARCH模型
定义
广义自回归条件异方差模型（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity Model）的简称，是ARCH模型的扩展。
特点

《自动控制原理》离散系统的数学模型


K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程

第七章 离散系统的数学模型


第四节 离散系统的数学模型
例
系统结构如上图所示，求G(z).
-1)G (z) 1 1 G ( z ) = (1 -z G1(s)= S(S+1) G2(s)=2S2(S+1) T = 1S (z-1) z[(z-e-1)-(-Ts z-1)( z-e-1) + (z-1)2] (1-e ) 2 1 = 解： -1) z · G(s)= ( z-1) S (z-e (S+1) S e-1z+(1-2e-1) 0.386 z +0.264 1 1 1 1 = = 1 ] 2-1.368 ] + = Z [ G2(z)(= Z[ z-e z-1)( ) z z+ 0.386 S+1 S S2 S2(S+1)
四、开环系统的脉冲传递函数
采样系统的脉冲传递函数的求取与 连续系统求传递函数类似。但脉冲传递 函数与采样开关的位置有关。当采样系 统中有环节串联时，根据它们之间有无 采样开关，其等效的脉冲传递函数是不 相同的。
第四节 离散系统的数学模型
1．串联环节间无采样开关
G1(s)和G2(s)的两个环节相串联如图：
n阶离散定常系统脉冲传递函数为： b0 b1 z 1 bm1 z ( m1) bm z m C( z) G( z ) R( z) 1+a1 z 1 a2 z 2 an1 z ( n1) an z n
第四节 离散系统的数学模型
例：已知差分方程 c(k ) r (k ) 5c(k 1) 6c(k 2) 输入序列r(k)=1，初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求 输出序列c(k)，k=0, 1, 2, · · · , 10。 解：根据初始条件及递推关系，得 c ( 0) 0

离散事件系统的建模及仿真

离散事件系统的建模及仿真离散事件系统（DES）是由一组离散的事件组成的系统，这些事件发生的时间是不连续的，而是符合某些随机分布的。

其中最典型的例子就是计算机网络系统和制造业系统。

为了研究系统的行为和性能，需要进行建模和仿真。

一、离散事件系统模型离散事件系统模型主要分为：1. 离散时间模型离散时间模型将时间视作离散的时间点，系统状态在各个时间点之间发生变化。

变化是由离散事件引起的。

2. 连续时间模型连续时间模型将时间视作连续的时间流，系统状态是在时间流中按照连续方式演化的。

如具有阶段性和可重复性的工业生产过程。

3. 混合时间模型混合时间模型同时兼具离散和连续的特点。

如涉及到无线网络时，用户的驻留时间属于连续时间，用户数量的变化属于离散事件。

二、离散事件系统仿真离散事件系统仿真一般采用事件驱动的方法。

将系统分为若干模块，在每个模块中，定义被模拟的事件，并计算事件发生的时间和所带来的影响。

事件驱动仿真的主要思路是：1. 仿真的初期，将系统的状态初始化为所设定的状态，用“时钟”来模拟时间。

2. 仿真系统通过时钟来不断加倍地运行，等到仿真过程中需要出现事件的时候，就跳出当前仿真的运动，而声明事件的发生时间。

3. 标记事件后，仿真系统可以基于某种策略对事件进行排队，然后按照时间的先后顺序进行运行。

4. 在仿真的过程中，会根据发生的事件得出相应的结果，保存在仿真结果的数据结构中，用于后续的仿真分析。

离散事件系统仿真时要注意的地方：1. 对于大型系统，由于其状态空间太大，会导致模型的运行时间过长，从而影响仿真的效率。

2. 因为模型已经不仅仅是数学模型而是物理模型，所以需要考虑仿真结果的表示方法。

3. 仿真结果的分析是非常必要的，而且分析需要进行统计，统计方法必须要掌握。

三、离散事件系统的应用1. 计算机网络系统计算机网络系统中涉及到的很多问题都可以使用离散事件系统模型进行仿真。

如路由选择问题、网络拥塞问题、网络性能评估等。

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0.1 0.4 ( z 0.5) ( z 0.8)
y ( z ) x1 ( z ) x2 ( z ) u ( z )
0 x1 (k ) 0.1 x1 (k 1) 0.5 u (k ) x (k 1) 0 0.8 x2 (k ) 0.4 2 x1 (k ) y (k ) 1 1 u (k ) x2 (k )
并联法
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
令
0.1 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) 0.4 u ( z ) 2 1 ( z 0.8)
y p (k )
T
p维输出向量
2.3.2 由脉冲传递函数建立状态方程
Y ( z) bn z n bn1 z n1 b1 z b0 G( z ) n U ( z ) z an1 z n1 a1 z a0
1 z 0 bn n z an1 z n1 a1 z a0
m
anc(k n) b0r (k ) b1r (k 1)
j 0
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
前向差分方程：
c(k n) a1c(k n 1)
n
— 描述有初始条件的系统
anc(k ) b0r (k m) b1r (k m 1)
H 2 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
例2： 用z变换法求解差分方程
c(k＋2) 3c(k＋1)＋2c(k ) 0 c(0) 0, c(1) 1
2.2
脉冲传递函数
2.2.1 脉冲传递函数的定义
输出量的z变换 c(z) 零初始条件下，G(z)= = 输入量的z变换 R(z) G( z) b0 b1 z 1 1 a1 z
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) U (k ) u1 (k ) u2 (k ) xn (k )
T T
连续系统的状态空间描述
X AX Bu y CX Du
n维状态向量 m维控制向量
um ( k )
Y (k ) y1 (k ) y2 (k )
n1 z n1
可控标准型、可观测标准型、对角型 例：
Y ( z) z 2 0.8z 0.12 G( z ) 2 U ( z) z 1.3z 0.4
写出状态方程。
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 1 2 解： G( z) 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
试求出输出。
特点： 简单，适合计算机计算 无法得出通式
（2）Z变换法
z变换 z反变换 差分方程 代数方程 c(k )
左移定理 Z [c(k 1)] zc( z ) zc(0) Z [c(k 2)] z 2 c( z ) z 2 c(0) zc(1) 右移定理 Z [c(k－1)] z－1c( z ) Z [c(k 2)] z－2 c( z )
m
bmr (k )
c(k n) aic(k n i) b j r (k m j )
i 1 j 0
2.1.2 差分方程的解法
(1)迭代法 — 由初始条件逐步求出 c(k) k=1,2,3… 例1: 已知系统的差分方程为：
k k 0 c(k ) c(k 1) r (k ) 2r (k 2), r (k ) c(0) 2 0 k 0
0.5( z 0.56) ( z 0.5)( z 0.8)
y ( z ) x2 ( z ) u ( z )
令
0 x1 (k ) 0.5 x1 (k 1) 0.5 x (k 1) 0.06 0.8 x (k ) 0.5 u (k ) 2 2 x1 (k ) y (k ) 0 1 u (k ) x2 (k )
1
bm z m an z
n

nm
2.2.2 差分方程与脉冲传递函数
Z变换
差分方程
Z反变换
传递函数
2.2.3
系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 )
离散系统的数学模型与分析
主要内容 离散系统的数学模型 （差分方程，脉冲传递函数） 离散系统的分析方法 （时域法，根轨迹法，频域法）
2.1
Z变换与差分方程
2.1.1 差分方程的一般形式
后向差分方程：
c(k ) a1c(k 1)
n i 1
— 描述初始条件为零的系统
bmr (k m)
串联法
z 2 0.8 z 0.12 0.5 z 0.28 G( z ) 2 1 2 z 1.3z 0.4 z 1.3z 0.4
1
0.5 x ( z ) u( z) 1 ( z 0.5) x ( z ) z 0.56 x ( z ) 2 1 ( z 0.8)