离散系统的数学模型

2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。

线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。

本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。

有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。

6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。

这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。

式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。

线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。

1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。

例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。

解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。

例6-11 试用z 变换法解下列二阶差分方程：0)()1(2)2(=++-+k c k c k c设初始条件1)1(,0)0(==c c 。

解 对差分方程的每一项进行z 变换，根据实数位移定理：z z C z zc c z z C z k c Z -=--=+)()1()0()()]2([222)(2)0(2)(2)]1(2[z zC zc z zC k c Z -=+-=+-)()]([z C k c Z =于是，差分方程变换为关于z 的代数方程z z C z z=+-)()12(2解出22)1(12)(-=+-=z z z z z z C查z 变换表，求出z 反变换∑∞=-=*)()(n n t n t c δ差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出响应序列特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。

因此，需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型--脉冲传递函数。

6.4.2 脉冲传递函数1. 脉冲传递函数定义设离散系统如图6-13所示，如果系统的输入信号为)(t r ，采样信号)(*t r 的z 变换函数为)(z R ，系统连续部分的输出为)(t c ，采样信号)(*t c 的z 变换函数为)(z C ，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出采样信号的z 变换)(z C 与输入采样信号的z 变换)(z R 之比，记作∑∑∞=-∞=-==0)()()()()(n nn nznT r znT c z R z C z G (6-36)所谓零初始条件，是指在0<t 时，输入脉冲序列各采样值 ),2(),(T r T r --以及输出脉冲序列各采样值图6-13 开环采样系统234),2(),(T c T c --均为零。

式(6-36)表明，如果已知)(z R 和)(z G ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为)]()([)]([)(11z R z G Zz C ZnT c --==输出是连续信号)(t c 的情况下，如图6-14所示。

可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。

如果系统的实际输出)(t c 比较平滑，且采样频率较高，则可用)(*t c 近似描述)(t c 。

必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数)(t c 在采样时刻的离散值)(*t c 。

2. 脉冲传递函数的性质（1）脉冲传递函数是复变量z 的复函数（一般是有理分式）； （2）脉冲传递函数只与系统自身的结构、参数有关； （3）系统的脉冲传递函数与系统的差分方程有直接关系； （4）系统的脉冲传递函数是系统的单位脉冲响应序列的z 变换； （5）系统的脉冲传递函数在z 平面上有对应的零、极点分布。

3. 由传递函数求脉冲传递函数传递函数)(s G 的拉式反变换是单位脉冲函数)(t k ，将)(t k 离散化得到脉冲响应序列)(nT k ，将)(nT k 进行z 变换可得到)(z G ，这一变换过程可表示如下：)()]([)()()()]([)(1z G nT k Z nT k t k t k s G L s G =⇒=⇒=⇒-离散化上述变换过程表明，只要将)(s G 表示成z 变换表中的标准形式，直接查表可得)(z G 。

由于利用z 变换表可以直接从)(s G 得到)(z G ，而不必逐步推导，所以常把上述过程表示为)]([)(s G Z z G =，并称之为)(s G 的z 变换。

这一表示应理解为根据上述过程求出)(s G 所对应的)(z G ，而不能理解为)(z G 是对)(s G 直接进行z 变换的结果。

例6-12 采样系统结构图如图6-15所示。

⑴ 求系统的脉冲传递函数； ⑵ 写出系统的差分方程； ⑶ 画出系统的零极点分布图。

解 ⑴ 系统的脉冲传递函数为12121(1)()[](1)(1)()0.6320.6321.3680.3681 1.3680.368TTezG z Z s s z z ez zz z zz------==+--==-+-+图6-14 开环采样系统图6-15 采样系统结构图235⑵ 根据 21368.0368.11632.0)()()(--+-==zzzz R z C z G ，有)(632.0)()368.0368.11(121z R zz C z z ---=+-等号两端求z 反变换可得系统差分方程() 1.368(1)0.368(2)(1)c k c k c k r k --+-=-⑶ 系统零极点图如图6-16所示。

6.4.3 开环系统脉冲传递函数当开环离散系统由几个环节串联组成时，由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也不同。

1. 串联环节之间有采样开关时设开环离散系统如图6-17所示，在两个串联连续环节)(1s G 和)(2s G 之间，有理想采样开关。

根据脉冲传递函数定义，有,)()()(1z R z G z Q = )()()(2z Q z G z C =其中，)(1z G 和)(2z G 分别为)(1s G 和)(2s G 的脉冲传递函数。

于是有)()()()(12z R z G z G z C =因此，开环系统脉冲传递函数)()()()()(21z G z G z R z C z G ==(6-37)式(6-37)表明，由理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。

这一结论，可以推广到n 个环节相串联时的情形。

图6-17 环节间有理想采样开关的串联开环离散系统2. 串联环节之间无采样开关时设开环离散系统如图6-18所示，在两个串联连续环节)(1s G 和)(s G 2之间没有理想采样开关隔开。

此时系统的传递函数为)()()(21s G s G s G =图6-16 零极点图236图6-18 环节间无理想采样开关的串联离散系统将它当作一个整体一起进行z 变换，由脉冲传递函数定义 [])()()()()()(2121z G G s G s G Z z R z C z G ===(6-38)式(6-38)表明，没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应z 变换。

这一结论也可以推广到类似的n 个环节相串联时的情形。

显然，式(6-37)与(6-38)不等，即)()()(2121z G G z G z G ≠ (6-39)例6-13 设开环离散系统如图6-17、图6-18所示，其中，)/()(,/1)(21a s a s G s s G +==，输入信号)(1)(t t r =，试求两种系统的脉冲传递函数)(z G 和输出的z 变换)(z C 。

解 查z 变换表，输入)(1)(t t r =的z 变换为1)(-=z z z R对如图6-17所示系统aTez az as a Z z G z zs Z z G --=+=-==][)(1]1[)(21因此))(1()()()(221aTez z azz G z G z G ---==)()1()()()(23aTez z azz R z G z C ---==对如图6-18系统)()1()1()()()())(1()1(])([)()()()()(222121aTaTaTaTez z ez z R z G z C e z z ez a s s a Z z G G z G a s s as G s G -------==---=+==+=237显然，在串联环节之间有、无同步采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数和输出z 变换是不相同的。

但是，不同之处仅表现在其开环零点不同，极点仍然一样。

3. 有零阶保持器时设有零阶保持器的开环离散系统如图6-19(a )所示。

将图6-19(a ) 变换为图6-19(b )所示的等效开环系统，则有)(])([)1(])([]1[)(1z R ss G Z zss G Z eZ z C p p sT---=⋅-=于是，有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数为])([)1()()()(1ss G Z zz R z C z G p --==（6-40）图6-19 有零阶保持器的开环离散系统例6-14 设离散系统如图6-20所示，已知)()(a s s a s G p +=试求系统的脉冲传递函数G(z)。