云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)理(含解析)新人教A版

文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（ ）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A B C D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为 ．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈， 所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==， 又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ， 又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减， 所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离， 所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++， 所以1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤， 所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数.【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B.【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y +的最小值为（ ） A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +的几何意义为可行域内22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果.【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH 22x y +223512OH ==+， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数.【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=；38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=；58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ；88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B.【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值. 【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()lng x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m e a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．2D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=Q ，2222(1)2(1)x y x y++=-+两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-，因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr r r r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值.【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积.【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-12223F F c ==.如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数.【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈，由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（23【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果.【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=， 因此，1112123233E FBCF BCE BCEV V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22. 【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln x h x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增，又1202h e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增；因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=. 又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞. 【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围.【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。

2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数. 【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y + ）A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为223512OH ==+， 故选：A. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题. 8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A．36-B．48-C．D．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y，PA PB=Q，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-， 因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为24663V ππ=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr rr r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15. 【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积. 【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为3433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=，因此，1112123233E FBCF BCE BCE V V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值. 【详解】（1）由题意知()ln xh x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由x y e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。

2020届云南师大附中高三适应性月考（一）数学（理）试题一、单选题1．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，PA PB=Q ，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且3OP =-，因此，(22223236PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.2．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果. 【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.3．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）ABCD ．【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan θ∴=22tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径2R ==，所求外接球的体积为243V π=⋅=⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题4．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.5．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点。

【关键字】适应2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝（）A.｛1，2，3，4｝B. ｛2，3，4｝C. ｛2，4｝D. ｛｝【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点:集合的交集运算.2.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1）【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：复数的计算.3.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（）A、2B、±1 C. 1 D、一1【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：函数值.4.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率〕（）A、B、C、D、【答案】C【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C.考点：三视图.6.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．考点：向量的运算.7.已知，则（）A、B、C、D、【答案】B【解析】试题分析：由，故选B．考点：诱导公式.8.设实数x,y满足则的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】D【解析】试题分析：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，结合双勾函数的图象，得，故选D．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x 2+x+2y 的概率为（ ） A 、49 B 、59 C 、13 D 、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE 1⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ） A 2 B ．22C 33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时122tan 2EF BPC PF ∠===，故选B. 考点：基本不等式、三角形面积.11.设定义在（0，2π）上的函数f(x), 其导数函数为'()f x ，若()'()tan f x f x x <恒成立，则（ ） A 3()2()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π> C 2()()64f ππ> D 3()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.（1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩， 22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C 相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒ 242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图3.这是一个把k 进掉数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ． 【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图.14.若函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且 ||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-． 考点：椭圆的离心率. 16.设12014S =++S的最大整数［S ］等于【答案】2014 【解析】试题分析：21111(1)1n n n n n n ++⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭，所以111111111120151223201420152015S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S =． 考点：裂项相消法求和.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列｛an ｝的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．（I ）证明：数列11{}2n a -是等比数列； （II ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明详见解析；（2）11222n n nnS -=--. 【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列11{}2n a -是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出n a ，再计算n b ，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n 项和计算即可. 试题解析：（Ⅰ）证明：11421112442n n n n n n na a a a a a a +++===++∵，∴， 111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴， 又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…，∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n nn n n S ++=-+． ………………………………（12分）考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，若P(ξ＝0)＝116.（I ）求p 的值：（II ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）12p =；（2）分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的机会；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………（6分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3， 1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………（12分）考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC ，M 为AB 的中点．（I ）证明：AC ⊥SB;（II ）求二面角S 一CM －A 的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB ⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC ⊥平面，通过作出辅助线得出SED ∠为二面角S CM A --的平面角，在直角三角形SDE 中，利用三角函数值，求二面角S 一CM －A 的余弦值；还可以利用向量法解决问题. 试题解析：方法一：几何法（Ⅰ）证明：如图4，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC DS AC DB DSDB D ⊥⊥=，且，，所以AC SDB ⊥平面，又SB SDB ⊂平面， 所以AC SB ⊥．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为SD AC SAC ABC ⊥⊥，平面平面，所以SD ABC ⊥平面. 如图4，过D 作DE CM ⊥于E ，连接SE ，则SE CM ⊥， 所以SED ∠为二面角S CM A --的平面角. ……………………………………（8分）由已知有1122DE AM ==，又SA SC =2AC =，所以1SD =，在Rt SDE △中，SE =，所以cos DE SED SE ∠=…………………………………………………（12分）方法二：向量法（Ⅰ）证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SACABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥． 如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(00)B ， 因为(200)AC =-，，，(01)SB =-，………………………………………………（3分）所以2000(1)0AC SB =-⨯+⨯-=， AC SB ⊥∴．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为M 是AB的中点，所以102M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴， (10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则30210n CM y nCS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得1y z ==-，所以(131)n =--，， 又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量， 15cos 5||||51n OS n OS n OS -〈〉===-∴，．………………………………………（11分）又二面角S CM A --的平面角为锐角， 所以二面角S CM A --． ………………………………………（12分）考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45||3OM ON -<t 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||3OMON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）222112b e e a ==-=∵∴，2212b a =∴，即222a b =． 又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，， 联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k kx x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++， 即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………（8分） 又45||3OM ON -<∵，即1245||3NM x <-224612k k +<+ 化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-（舍），2221211123t t k =-<<+∵，∴，即6113t ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±，61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴．……………………………………………………（12分）考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点（1，f(1)）处的切线斜率为2.（I ）求f(x)的单调区间；（11）若2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，求k 的最大值【答案】（1）减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）最大值为4. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x x k x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++，由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，，令()0f x '<，得210e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． …………………………（4分）（Ⅱ）由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x x x x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立， 令2ln ()1x x x g x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-， 令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增， 又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =， 当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min 0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴， 02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4． ………………………………………（12分）考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6. （I ）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =；（2）1.【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB •=.试题解析：（Ⅰ）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d ==， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=， 1l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）代入2233x y +=化简得2220t -=， 得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………（10分）考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m.（I ）当m ＝5时．解不等式f （x ）≥0;〔II ）若f （x ）≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；（2）(1]-∞，.试题解析：（Ⅰ）当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--，不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足； ②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足． 综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． ……………………（5分）（Ⅱ）设()|2||21|g x x x =++-，若3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立， 即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………………………………………………（10分） 考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。