高中正弦定理和余弦定理公式

第6讲 正弦定理和余弦定理

[学生用书P87]

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容 asin A＝bsin B＝csin C＝2R

(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos_A；

b2＝c2＋a2－2cacos_B；

c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形形式 a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，

c＝2Rsin_C；

sin A＝a2R，sin B＝b2R，

sin C＝c2R；

a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A cos A＝b2＋c2－a22bc；

cos B＝c2＋a2－b22ca；

cos C＝a2＋b2－c22ab 2.三角形解的判断

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin Ab

解的个数 一解 两解 一解 一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．

(2)S＝12bcsin A＝12acsin_B＝12absin

C．

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

常用结论

1．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；

(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sinA＋B2＝cosC2；

(4)cosA＋B2＝sinC2.

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B．

3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A

一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )

正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦

定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角

形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有

公式，供参考。

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1 正弦定理、三角形面积公式 正弦定理：在一个三角形中，各边和它

所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正

弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)

sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦

定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角

和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对

角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定

理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例

如：在判断三角形形状时，经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC

来代替.2.余弦定理在△ABC 中，有 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-

2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-

b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab 在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角

(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便

正弦定理和余弦定理

一：基础知识理解

1 ． 正弦定理

分类 内容

定理

＝ ＝ ＝2 R ( R 是 △ ABC 外接圆的半径 )

变形

公式 ① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，

② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶ c ，

③ sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝

解决的

问题 ① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，

② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

2 ． 余弦定理

分类 内容

定理 在 △ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；

b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C

变形

公式 cos A ＝ ；cos B ＝ ；

cos C ＝

解决的

问题 ① 已知三边，求各角；

② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3 ． 三角形中常用的面积公式

( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；

( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；

( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．

二：基础知识应用演练

1 ．( 2012·广东高考 ) 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ A ＝ 60° ， ∠ B ＝ 45° ， BC ＝ 3 ，

则 AC ＝( )

A ． 4 B ． 2

2 ． 在 △ ABC 中 ， a ＝ ， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ， 则 A 等于 ( )

A ． 30° B ． 45°

正弦定理和余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则有正弦定理和余弦定理：

正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA；b^2 = c^2 + a^2 -

2cacosB；c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

可以通过变形得到以下公式：

cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc；cosB = (c^2 + a^2 - b^2) /

2ac；cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

同时还有以下关系：

a = 2RsinA；b = 2RsinB；c = 2RsinC

a:b:c =

asinB = bsinA；bsinC = csinB；asinC = csinA

ABC的面积S = absinC = bcsinA = acsinB = r

其中r为三角形内切圆半径，可以通过S = (a + b + c)r得到。

选择题：

1.在△ABC中，已知a = 2，b = 6，A = 45°，则满足条件的三角形有2个。

2.在△ABC中，A = 60°，AB = 2，且△ABC的面积为3，则BC的长为3.

3.已知在△ABC中，a = x，b = 2，B = 45°，若三角形有两解，则x的取值范围是2＜x＜22.

4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是(8,10)。

注：原文中存在格式错误，已经进行修正。

整理得2c=b+bc，因为c≠0，所以等式两边同时除以c，得到2=c+b，解得c=2/(b+1)。

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为315，b-c=2，cosA=1/4，求a的值。

解析：由cosA=1/4，得到sinA=√15/4，S△ABC=bcsinA=bc*√15/4=315，因此bc=24.又因为b-c=2，所以b^2-2bc+c^2=4，联立解得b^2+c^2=52.由余弦定理得，a=b+c-2bccosA=52-2*24*(1/4)=64，因此a=8.