证明线线平行的方法

证明线线平行的方法：

1.垂直于同一平面的两条直线平行

2.平行于同一直线的两条直线平行

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行

5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

证明线面平行的方法：

1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。

证明面面平行的方法：

1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。

3.垂直与同一直线的两个平面平行。

4.利用向量法证明。

证明线线垂直的方法：

1.定义法：两直线夹角90度

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线

4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。

证明线面垂直的方法：

1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。

2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

5.向量法。就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。（向量法一般不用来证线面垂直，多用于求二面角，线面角等）

6.直线于平面的法向量共线。

证明面面垂直的方法：

1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。

2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。 12.设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312AAAA (λ∈R)，1412AAAA(μ∈R)，且112,则称3A，4A调和分割1A，2A ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点

(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

【解析】由1312AAAA (λ∈R)，1412AAAA(μ∈R)知:四点1A，2A，3A，4A在同一条直线上,

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且112cd, 故选D.

如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，11AD=AB，BAD=60°

（Ⅰ）证明：1AABD；

（Ⅱ）证明：11CCABD∥平面.

【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设

AD=a,则AB=2a,又因为BAD=60°,所以在ABD中,由余弦定理得：2222(2)22cos603BDaaaaa,所以BD=3a,所以222ADBDAB,故BD⊥AD,又因为

1DD平面ABCD，所以1DDBD,又因为1ADDDD, 所以BD平面11ADDA,故1AABD.

(2)连结AC,设ACBD=0, 连结1AO,由底面ABCD是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台1111ABCDABCD知:平面ABCD∥平面1111ABCD,因为这两个平面同时都和平面11ACAC相交,交线分别为AC、11AC，故11ACAC，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120，所以可由余弦定理计算得AC=7a，又因为A1B1=2a, B1C1=32a, 111ABC=120，所以可由余弦定理计算得A1C1=72a，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1∥A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以11CCABD∥平面.

20.（本小题满分12分）

等比数列na中，123,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列

第一行 3 2 10

第二行 6 4 14

第三行 9 8 18

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若数列nb满足：(1)lnnnnbaa，求数列nb的前2n项和2nS.

【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18aaa,因为na是等比数列,所以公比为3,所以数列na的通项公式123nna.

（Ⅱ）因为(1)lnnnnbaa=123n1(1)ln23n, 所以12nnSbbb

1212()(lnlnln)nnaaaaaa=2(13)13n-12lnnaaa=31n-121ln(21333)nn=

31n-(1)2ln(23)nnn,所以2nS=231n-2(21)22ln(23)nnn=91n-22ln2(2)ln3nnn.

15.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足(OCtAB)·OC=0，求t的值.

16. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900. （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离.

19.（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知3122aaa，数列nS是公差为d的等差数列.

（1）求数列na的通项公式（用dn,表示）

（2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,,，不等式knmcSSS都成立，求证：c 的最大值为29.

10、已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea 若0ba，则k的值为

13、设7211aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是________ 16、如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

20、设M为部分正整数组成的集合，数列}{na的首项11a，前n项和为nS，已知对任意整数k属于M，当n>k时，)(2knknknSSSS都成立

（1）设M=｛1｝，22a，求5a的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{na的通项公式

1. FEACDBP如图，在长方体1111ABCDABCD中，3ABADcm，12AAcm，则四棱锥11ABBDD的体积为 ▲

3cm．

答案：6

2. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为 ▲ ．

答案：2

3. 如图，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是 ▲ ．

答案：2

4. （本小题满分14分）

在ABC中，已知3ABACBABC． A B C

E F D （第7题） （1） 求证：tan3tanBA；

（2） 若5cos5C，求A的值．

解：

（1）

∵3ABACBABC

∴3ABACcosABABCcosB

∴3ACcosABCcosB

由正弦定理得：ACBCsinBsinA

∴3sinBcosAsinAcosB

∴3tanBtanA

（2）

∵55cosC，且0C

∴255sinC

∴2tanC

∴2tanAB

又∵3tanBtanA

∴23421113tanAtanBtanAtanAtanAtanAtanBtanAtanBtanA

∴1tanA或13

∵3tanBtanA

∴A，B必为锐角，否则A，B同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾

∴0tanA

∴1tanA

∴4A

5. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D 不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．

求证：

（1） 平面ADE平面11BCCB；

（2） 直线1//AF平面ADE．

证明：

（1）

∵三棱柱111ABCABC是直三棱柱

∴1CCABC平面

∵ADABC平面

∴1CCAD

∵ADDE，且1DECCE

∴11ADBCCB平面

∵ADABC平面

∴11ADEBCCB平面平面

（2）

∵11ADBCCB平面，

11BCBCCB平面

∴ADBC

∵直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC

∴ABAC

∴D是BC的中点