高考复习-函数的单调性与奇偶性

判断函数奇偶性应注意的问题

代红芳

一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数xf的定义域内的任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为这一定义域内的奇函数。

为理解定义，在学习时应注意以下两点：

1. 定义中要求“对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf或xfxf”成立，可见xf必有意义，即x也必属于xf的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。

2. 定义中的等式xfxf（或xfxf）是定义域上的恒等式，即对定义域内所有的x成立而不是仅对部分x成立。如函数,1|x|1x,1|x|1xf当1|x|时，都有xfxf，但它并不是偶函数，显然2x时，3xf，而当2x时，1xf，两者并不相等。

由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式xfxf，xfxf哪个成立。

判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若xfxf成立，则为偶函数；若xfxf成立，则为奇函数；若xfxf成立，则既是奇函数也是偶函数；若xfxf和xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。

下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。

一、忽视定义域出错。

例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。

第二节函数的性质

第1课时 系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数 减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为1 ,如果对于定义域1内某个区间D

上的任意两个自变量 x1, x2

定义 当 X1f(X2),那

么就说函数f(x)在区间D上是增 么就说函数f(x)在区间D上是减

函数 函数

图象描述

| r | *1

自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

2.单调区间的定义

若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y= f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，区间 D叫做函数y= f(x)的单调区间.

［点拨］(1)函数单调性定义中的 Xi , X2具有以下三个特征：一是任意性，即 任意两数

Xi, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即 XiVX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区

间，三者缺一不可.

⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量 X1, X2的值,

都有fXL二竺 或fXk 4竺<。.

X1 — X2 X1— X2 /

(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整 个定义域上有此性质.

［谨记常用结论］

(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.

(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.

1

⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.

⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时， f(x) •(x)是增(减)函数；当两

者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.

(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.

［小题练通］

1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2— 2x的单调递增区间是 ______ .

函数的单调性及奇偶性

基本知识点：

1、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：

① 定义法（作差比较和作商比较）；

② 图象法；

③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；

④ 复合函数单调性判断法则;

⑤ 导数法（适用于多项式函数）

注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

2.偶函数

⑴偶函数：)()(xfxf.设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.

⑵偶函数的判定：两个条件同时满足

① 定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在)1,1[上不是偶函数.

② 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.

3. 奇函数

⑴奇函数：)()(xfxf.设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.

⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1,1[上不是奇函数.②满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.

注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如()()0fxfx，()1()fxfx（f(x)≠0）

基本题型：

EG1．已知函数()log(1)afxx，()log(1)(0agxxa，且1)a

（1） 求函数()()fxgx定义域

（2） 判断函数()()fxgx的奇偶性，并说明理由.

变式1：已知2()3fxaxbxab是偶函数，定义域为[1,2]aa.则a ，b

变式2：函数|3||4|92xxxy的图象关于 （ ）

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函数的性质(高考总复习)

函数的性质 一、 函数的奇偶性 1． 奇、 偶函数的概念 一般地， 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x， 都有 f(－x) ＝f(x) ， 那么函数 f(x)就叫做偶函数． 一般地， 如果对于函数 f(x)

的定义域内任意一个 x， 都有 f(－x) ＝－f(x) ， 那么函数f(x)

就叫做奇函数． 2． 奇、 偶函数的性质 ⑴奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于 y 轴对称． ⑵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 ⑶若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义， 则 f(0)＝0. 3. 设

f(x) ， g(x) 的定义域分别是 D1， D2， 那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇， 偶＋偶＝偶， 偶+非零常数＝偶， 奇+非零常数＝非奇非偶， 奇奇＝偶， 偶偶＝偶， 奇偶＝奇， 练习 1． 若函数 f(x) ＝x2－| x＋a| 为偶函数， 则实数 a＝_______.

2． 若函数 f(x) ＝(x＋a) (bx＋2a) (常数 a、 bR) 是偶函数， 且它的值域为(－， 4]， 则该函数的解析式 f(x) ＝_____

___. 3． 对于定义域为 R 的奇函数 f(x) ， 下列结论成立的是

( ) A． f(x) －f(－x) 0 C． f(x) f(－x) 0 4． 如下图， 给出了奇函数 y＝f(x) 的局部图象， 则 f(－2) 的值为( )