圆锥曲线与方程知识点及题型全集

《圆锥曲线与方程》（理）知识点串讲

一、椭圆

1．椭圆的定义

文字叙述：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

数学语言：集合，其中，，，，为常数，则集合表示以，为焦点的椭圆．

注意：（1）与圆的定义（平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹）类比可知：二者的定义方式一致———都是通过对平面内与定点的距离满足某些条件的动点的轨迹研究得出的．

（2）注意椭圆定义中的限制条件：当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹不存在（或不表示任何图形）．

2．两种标准方程

（1），焦点在轴上；

（2），焦点在轴上．

注意：（1）参数关系：，，中最大．

（2）判断焦点位置的方法：

①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；

②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．

3．椭圆方程的一般形式

，其焦点位置有如下规律：当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．

注意：在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出的值即可．如：求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程． 4．理解椭圆应注意的几点

（1）椭圆的两个焦点总在它的长轴上．

（2）离心率的大小对椭圆形状的影响：

∵．

∴当趋近于1时，变小且越接近于，椭圆越扁平；当趋近于时，变大且越接近于１，椭圆越圆．

二、双曲线

1．双曲线的定义

文字叙述：在平面内到两个定点，距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

数学语言描述：集合，其中，，，为常数，则集合表示以，为焦点的双曲线．

注意：（1）定义中的限制条件．

当时，点的轨迹为以，为端点的两条射线；

当时，轨迹不存在（或不表示任何图形）；

当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．

（2）定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支．

2．两种标准方程

（1），焦点在轴上；

（2），焦点在轴上．

注意：双曲线与椭圆标准方程的不同：

（1）“＋”、“－”号不同：椭圆标准方程中是“＋”号，双曲线标准方程中是“－”号；

（2）的大小关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中大小不确定；

（3）关系不同：椭圆标准方程中，而双曲线中．

3．双曲线方程的一般形式 ，其焦点位置有如下规律：

当，时，焦点在轴上；当，时，焦点在轴上．

注意：当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．如：求焦点在坐标轴上，且经过和的双曲线的标准方程．

4．理解双曲线应注意的几点

（1）椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．

（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．

∵，

∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．

（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：

①渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．

②与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．

三、抛物线

1．抛物线的定义

平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，焦点到准线的距离（定长）叫做抛物线的焦参数．

注意：（1）抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点和一条定直线的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线”． （2）定义的实质可归结为“一动三定”．一个动点，一个定点（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的准线），一个定值（点与点的距离和它到直线的距离之比等于1．）

（3）定点，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线．

2．抛物线的标准方程

顶点在原点，轴与坐标轴重合的抛物线的标准方程有4种形式：

分别为：（其中）．

注意：（1）的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，故恒为正数．

（2）焦点的横（纵）坐标是一次项系数的．

（3）准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称．

3．标准方程的求法

（1）在中，只含有一个参数，因此只要有一个独立的条件就可以求出其参数（常用待定系数法）．

（2）求抛物线的标准方程时，首先要确定标准方程的形式，这是解题的关键．

4．理解抛物线应注意的几点

（1）抛物线的性质与椭圆、双曲线差别较大：抛物线的离心率等于１，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，它不是中心对称图形，因而没有对称中心．

（2）抛物线的开口大小：由方程可知，对于同一个值，值越大也越大，不妨说抛物线开口越大，这样可以较好地理解不同的值与其开口大小的关系．

（3）抛物线定义的妙用：常利用抛物线的定义将点到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化．

5.直线 l 经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，点A、B在准线上的射影分别为A’、B’．

（1）若l 的倾斜角为  ，求证：|AB|= 22sinp ；

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：221212,4pxxyyp；

（3）设|AF|=m，|BF|=n，证明：112mnp ；

（4）求证：A，O，B’三点共线；

（5）设准线交x轴于K，求证：∠AKF=∠BKF；

（6）求证：以AB为直径的圆与准线相切；

（7）求证：∠A’FB’=90°．

四、直线与圆锥曲线的关系

1、设直线l:0AxByC 圆锥曲线C:

由

(1)当0a 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点.此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行; 若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行。

(2)当 0a 时， 方程有两不等 实根 相交(于两点)

方程有两相等实根 相切(于一点)

方程没有实根 相离(无公共点)

五、圆锥曲线中的弦长问题

六、有关弦中点的问题(和弦的中点轨迹方程)

⑴、求中点弦所在直线方程

【例1】 已知椭圆 ,求以点P(2,1)为中点的弦MN所在的直线方程.

点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.

对于椭圆 设 则

)3(2221212121abxxyyxxyy

设椭圆的中心为O,MN的中点为P,则 即(3)可表示为：

弦MN所在的直线方程：98260xy (,)0Fxy0(,)0AxByCFxy20axbxc00022121214ABkxxxx212122114AByyyyk221169xy221(0)22xyabab1122(,),)MxyNxy、（2211222222221(1)12xyabxyab（）2222121222120xxyyab（）－（）得1212121220,20MNyyyyyykxxxxxx中中中中－＝－1212opyykxx22MNopbkka19216MNk98MNk⑵、弦的中点轨迹方程

【例2】设抛物线 的准线与x轴的交点为M， 过点M作直线l交抛物线于A、B两点， 求线段AB中点的轨迹方程.

解：设(,)Qxy是AB的中点 则

又因为l过点M(-P,0)， (,)Qxy 且122yyy

变为： 整理得线段AB中点的轨迹方程：

又联立方程:

22()4ypxPypx解得：xp，见图：中点Q应在抛物线 内

整理得线段AB中点的轨迹方程：

()xp

直线与圆锥曲线位置问题的有关知识点:

知识点一: 直线与圆锥曲线交点个数问题；

知识点二: 有关曲线的弦长问题；

知识点三: 有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程 和弦的中点轨迹方程)；

知识点四: 利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母 的取值或取值范围；

知识点五: 圆锥曲线上的点对称问题；

知识点六: 圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。 24(0)ypxp1122(,),)AxyBxy、（2112224(1)42ypxypx（）221212124()yypxx（）－（）得1212124AByyPkxxyy0()ABMQykkxP04()2ypxPy2()ypxP (-P,0) M 24(0)ypxpp2()ypxP