奥数行程问题

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行程问题是研究物体的速度（平均速度）、时间和所经过的路程（距离）三者间关系的问题。按照运动物体的路线来分，可分为在不封闭路线上运动和在封闭路线上运动两大类；按照运动物体的运动方向来分，可分为相向相遇、反向相遇和同向追及三大类。

行程问题的基本数量关系式：

速度×时间=路程；

路程÷时间=速度；

路程÷速度=时间。

相遇问题的数量关系式：

速度和×相遇时间=相遇路程；

相遇路程÷速度和=相遇时间；

相遇路程÷相遇时间=速度和。

追及问题的数量关系式：

速度差×追及时间=追及距离；

追及距离÷速度差=追及时间；

追及距离÷追及时间=速度差。

重点·难点

解行程问题的题目重点是掌握上述数量关系。搞清楚题目属于哪一种问题，另外，应根据题意画出线段示意图来帮助分析和理解题意，突破题目的难点，这是非常有必要做的，是解此类题目必须养成的习惯。

学法指导

解答行程问题最有效、最直观的方法就是用线段图来表达题意，图要画的得清晰、成比例。

经典例题

［例1］甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？

☆解法一

思路剖析

依题意,作线段示意图如图1所示。

丙与乙相遇2分钟后再与甲相遇，2分钟内甲、丙两人共走的距离就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程。由乙、甲两人的速度差可求出乙、丙从出发到相遇所用的时间。由此，我们可以求出A、B两地的距离。

解答

丙与乙相遇后2分钟甲、丙两人共走了

（50+70）×2=240（米）

此240米正是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程。又知乙比甲每分钟多走：

60-50=10（米）

所以，乙、丙从出发到相遇的时间是：

240÷10=24（分钟）

所以AB两地的距离为

（60+70）×24=3120（米）

☆解法二

思路剖析

利用相背运动的基本关系：

相背距离=速度和×时间。

甲、丙相遇时，甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和，再由甲、乙的速度差可得到从出发到甲、丙相遇需要的时间。因此，A、B两地之间的距离由相遇问题的数量关系（速度和×相遇时间一相遇路程）可得到。

解答

乙、丙相背运动的路程和为：

（60+70）×2=260（米）

甲、乙是同时出发的，到甲、丙相遇时，甲、乙相距260米，所以，从出发至甲、丙相遇需要时间：

260÷（60-50）=26（分钟）

因此，A、B两地相距：

（50+70）×26=3120（米）

答：A、B两地相距3120米。

［例2］甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果两人按原定速度前进，则4小时相遇；如果两人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米？

☆解法一

思路剖析

采用直接设未知数法，设A、B两地的距离为x千米，则两人原计划的速度和为每小时千米，两人的实际速度和为每小时千米，根据等式：“两人原计划的速度和减去两人实际的速度和=1×2（千米／小时）”就可以列出方程来。

解答

设A、B两地的距离为x千米。

依题意，得：

x=40

答：A、B两地的距离是40千米。

☆解法二

思路剖析

我们采用间接设未知数法，设两人原计划的速度和为每小时x千米，则两人的实际速度和是（x-1×2）千米／小时，根据“A、B两地的路程不变”可以列出方程来。

解答

设两人原计划的速度和为每小时x千米，依题意，得：

4x=（x-1×2）×5

4x=5x-10

10=5x-4x

x=10

4x=10×4=40 4x5x2154xx220x

答：A、B两地的距离是40千米。

[例3]一位少年短跑选手，顺风路90米用了10秒，在同样的风速下，逆风路70米，也用了10秒。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？

☆解法一

思路剖析

有两个等式：

无风时速度+风速=顺风时的速度

无风时速度-风速=逆风时的速度

根据题目条件，只要分别求出顺风和逆风时的速度，很快就可以求出无风时的速度，最后根据距离和速度即可求出时间。

解答

先求出顺风时的速度：90÷10=9（米／秒）

再求出逆风时的速度：70÷10=7（米／秒）

所以，无风时速度：（9+7）÷2=8（米／秒）

无风时跑100米需要的时间：100÷8=12．5（秒）

☆解法二

思路剖析

设风速和无风时的速度，可用列方程的方法来解。

解答

设风速为x，无风时跑100米，需要t妙，那么无风时速度。

依题意得：

那么

所以 t=12．5（秒）

答：无风时跑100米要用12．5秒。

［例4］客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时。两车在中途相遇后，客车又行了96千米，这时客车行完全程的80％，甲乙两地相距多少千米？

☆解法一

思路剖析

我们把两地距离看做单位“1”，运用分率知识来解。

解答

把两地距离看作单位“1”，那么样客车每小时行完全程的，货车每小时行完全程的，两车相遇时间为： t100xt1090100xt1070100110701090xxx得11070100t8100t101151

÷（）=6（小时）

如图2所示，与货车相遇时客车已经行完全程的；客车再行96千米，这时行了全程的80%，可见96千米对应的分率为：

所以甲、乙两地相距：96÷20%=480(千米)

☆解法二

思路剖析

我们知道基本关系式：距离=速度×时间，因为两地的距离是一定的，所以由上面的基本关系式可知：速度与时间成反比例，利用“比和比例”知识来解。

解答

根据题目条件可知客车速度与货车速度之比为：15：10＝3：2，那么在相同的时间里，客车与货车所行的路程之比也是3：2，相遇时客车行的路程占全路程的，即，所以96千米应占全程的

则全程为：96÷20%=480（千米）

答：甲、乙两地相距480千米。

☆解法三

思路剖析

与上题一样，我们设出相遇时间和甲、乙两地距离，同样可以用列方程的方法来解。

解答

先求客车与货车相遇时走了多少个小时？

设它们相遇时走了m小时，又设甲、乙两地距离是单位“1”，所以得方程：

m=6（小时）

再设甲、乙两地相距为x千米，因为两车在途中相遇后，客车又行了96千米，可列出方程：

11511015361051%2053%8023353%2053%801151101mm1)151101(m161mxx%8096106

x=480（千米）

答：甲、乙两地相距480千米。

[例5]在3时到4时之间，何时时针和分针重合。

思路剖析

1个小时时针走5个大格，1分钟走小格；分针1分钟走1小格；1分钟内，分针比时针多走小格。3时时，时针在分针前15个格。重合时走（分）

解答

=

=16（分）

答：两针重合时为。

点津

本题是把1小时看做1个长度单位来计算，3时时，分针和时针间的间隔为15小格，每分钟，分针和时针的速度差为小格，用追及路程÷速度差可得到追及时间。

［例6］甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒，离开甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲、乙二人相遇？

思路剖析

要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系，而与此相关的是火车的运动，只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离，火车的运行时间是已知的，因此必须求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系。

解答

（1）求出火车速度与甲、乙二人速度的关系，设火车车长为L，则：

l）火车开过甲身边用8秒，这个过程为追及问题：故

（1）

2）火车开过乙身边用7秒；这个过程为相遇问题：故

（2） xx549653965354xx9651x1211211121111416121115121115121115114分时分时114163114163分时11416312111211车v人v8)(人车vvL7)(人车vvL

由（1）、（2）可得：

所以

（2）火车头遇到甲时与乙处之间的距离是：

（3）求火车头遇到乙时甲、乙两人之间的距离。火车头遇甲后，又经过（8+5×60）秒后，火车头才遇到乙，所以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：

。

=

（4）求甲、乙二人过几分钟相遇？

答：再过分钟甲乙二人相遇。

[例7]两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，沿箭头方向爬行（见图3）。在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点16厘米的G点第三次相遇，长方形的边AB长多少厘米？

思路剖析

假设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。甲、乙第一次相遇，合行一个全程，甲走的路程为x+y=32；甲、乙第二次相遇，合行二个全程，甲走的路程为x+y+x=16；甲、乙第三次相遇，合行三个全程，甲走的路程为x+y+x+y=16，根据关系列出方程可求出AB的长。

解答

设长方形长x厘米、宽y厘米，根据题意得：

由（l）式得

y＝48（3）

由（2）式得

x+y＝112（4）

（3）代入（4）得

x=64 )(7)(8人车人车vvvv人车vv15)()6058(人车vv人人vv492816308人人vv)6058(24928人v4312)(151435)(215624312分秒人人vv151435(2) 163)32((1) 162)32(yxyxyxxyxyx