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高中导数题的解题技巧

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导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)xxyeex的曲线关于直线yx对称的曲线的方程为

A.ln(1)yx B.ln(1)yx C. ln(1)yx D. ln(1)yx

[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力

[解答过程]2221(0)(1)xxxyeexey，0,1xxe，

即：1ln(1)xeyxy，所以1()ln(1)fxx.

故选A.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1xafxx,集合M={|()0}xfx,P='{|()0}xfx,若MP,则实数a的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaaxx当a>1时当a<1时

综上可得MP时, 1.a 考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.（2004年重庆卷）已知曲线y=31x3+34，则过点P（2，4）的切线方程是_____________.

思路启迪：求导来求得切线斜率.

解答过程：y′=x2，当x=2时，y′=4.∴切线的斜率为4.

∴切线的方程为y－4=4（x－2），即y=4x－4.

答案：4x－y－4=0.

例4.（2006年安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（ ） A．430xy B．450xy

C．430xy D．430xy

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy.

故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+25=0相切的直线的方程为 ( )

A.y=-3x或y=31x B. y=-3x或y=-31x C.y=-3x或y=-31x D. y=3x或y=31x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]解法1：设切线的方程为,0.ykxkxy

又22521,2,1.2xy圆心为

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222由

故选A.

例6.已知两抛物线axyCxxyC2221:,2:, a取何值时1C，2C有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

思路启迪：先对axyCxxyC2221:,2:求导数.

解答过程：函数xxy22的导数为22'xy，曲线1C在点P(12112,xxx)处的切线方程为))(2(2)2(11121xxxxxy，即 211)1(2xxxy ①

曲线1C在点Q),(222axx的切线方程是)(2)(222xxxaxy即

axxxy2222 ②

若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

1,1222121xxxx，消去2x得方程，0122121axx

若△=0)1(244a，即21a时，解得211x，此时点P、Q重合.

∴当时21a，1C和2C有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14yx .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7．（2006年天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a内的图象上有一个极小值点.

故选A.

例8. 设yfx()为三次函数，且图象关于原点对称，当x12时，fx()的极小值为1，求出函数fx()的解析式.

思路启迪：先设fxaxbxcxda()()320，再利用图象关于原点对称确定系数.

解答过程：设fxaxbxcxda()()320，因为其图象关于原点对称，即fx()

fx()，得

由fxaxc'()32，

依题意，fac'()12340， fac()121821，

解之，得ac43，.

故所求函数的解析式为fxxx()433.

例9.函数yxx243的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030xx得，x2，即函数的定义域为[,)2.

yxxxxxx'12412323242243，

又2324282324xxxxx，

当x2时，y'0，

函数yxx243在(,)2上是增函数，而f()21，yxx243的值域是[,)1.

例10．（2006年天津卷）已知函数cos163cos3423xxxf，其中,Rx为参数，且20．

（1）当时0cos，判断函数xf是否有极值；

（2）要使函数()fx的极小值大于零，求参数的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数xf在区间aa,12内都是增函数，求实数a的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos0时，3()4fxx，则()fx在(,)内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cosfxxx，令'()0fx，得12cos0,2xx.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos0时，随x的变化'()fx的符号及()fx的变化情况如下表：

x 0

+ 0 - 0

+

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

因此，函数()fx在cos2x处取得极小值cosf()2，且3cos13()cos2416f.

要使cos()02f，必有213cos(cos)044，可得30cos2.

由于30cos2，故3116226或.

②当时cos0，随x的变化，'()fx的符号及()fx的变化情况如下表：

+ 0 - 0 +

极大值 极小值

因此，函数()0fxx在处取得极小值(0)f，且3(0)cos.16f

若(0)0f，则cos0.矛盾.所以当cos0时，()fx的极小值不会大于零.

综上，要使函数()fx在(,)内的极小值大于零，参数的取值范围为311(,)(,)6226.

（III）解：由（II）知，函数()fx在区间(,)与cos(,)2内都是增函数。

由题设，函数()(21,)fxaa在内是增函数，则a须满足不等式组

210aaa

或

21121cos2aaa

由（II），参数时311(,)(,)6226时，30cos2.要使不等式121cos2a关于参数恒成立，必有3214a，即438a.

综上，解得0a或4318a.

所以a的取值范围是43(,0)[,1)8.

例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数()fx的定义域为(1,)，且'1()(1),1axfxax

（1）当10a时，'()0,fx函数()fx在(1,)上单调递减，

（2）当0a时，由'()0,fx解得1.xa

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高中数学导数归纳题的10种解法

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高考数学导数应用题型解题技巧总结

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导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中时期关于导数的学习，要紧是以下几个方面：

1. 导数的常规问题：

(1)刻画函数(比初等方法精确细微);

(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);

(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。

2. 关于函数特点，最值问题较多，因此有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3. 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合

1. 导数概念的明白得。

2. 利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3. 要能正确求导，必须做到以下两点：

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。明白“是如此”,确实是讲不出“什么缘故”。全然缘故依旧无“米”下“锅”。因此便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就专门难写出像样的文章。因此,词汇贫乏、内容空泛、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决那个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积存足够的“米”。 (1)熟练把握各差不多初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)

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【命题规律】

函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：

（1）含参函数的单调性、极值与最值；

（2）函数的零点问题；

（3）不等式恒成立与存在性问题；

（4）函数不等式的证明．

（5）导数中含三角函数形式的问题

其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．

【核心考点目录】

核心考点一：含参数函数单调性讨论

核心考点二：导数与数列不等式的综合问题

核心考点三：双变量问题

核心考点四：证明不等式

核心考点五：极最值问题

核心考点六：零点问题

核心考点七：不等式恒成立问题

核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

核心考点九：利用导数解决一类整数问题

核心考点十：导数中的同构问题

核心考点十一：洛必达法则

核心考点十二：导数与三角函数结合问题

【真题回归】

1．（2022·天津·统考高考真题）已知abR，，函数sin,xfxeaxgxbx

(1)求函数yfx在0,0f处的切线方程；

(2)若yfx和ygx有公共点，

（i）当0a时，求b的取值范围；

（ii）求证：22eab．

2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()eln(1)xfxx．

(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；

(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；

(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．

3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．

(1)求()fx的单调区间；

(2)已知,abR，曲线()yfx上不同的三点112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结

(一)导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x

( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果

△y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，那么称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

(二)导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x

( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，那么称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即 导数第二定义

(三)导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y', f'(x),

dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

(四)单调性及其应用

1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤

(1)求f(x)

(2)确定f(x)在(a，b)内符号 (3)假设f(x)>0在(a，b)上恒成立，那么f(x)在(a，b)上是增函数;假设f(x)<0在(a，b)上恒成立，那么f(x)在(a，b)上是减函数

2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

(1)求f(x)

(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间