特殊的平行四边形专题练习

第十八章 平行四边形

18.2 特殊的平行四边形

1．矩形的定义：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．

（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可．

【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．

2．矩形的性质：

（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．

（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________；

②矩形的对角相等且四个角都是__________；

③矩形的对角线__________；

④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴．

（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．

3．直角三角形斜边上的中线的性质：

直角三角形斜边上的中线等于__________．

【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．

4．矩形的判定：

（1）有一个角是直角的__________是矩形；

（2）有三个角是__________的四边形是矩形；

（3）对角线__________的四边形是矩形．

【注意】（1）判定矩形的常见思路

有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形

（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．

（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．

5．菱形的定义：

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．

菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．

（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．

6．菱形的性质：

（1）菱形具有平行四边形的所有性质．

（2）菱形的四条边都__________．学-科网

（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．

（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．

【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．

（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．

7．菱形的判定：

（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．

（2）对角线__________的平行四边形是菱形．

（3）四条边__________的四边形是菱形．

（4）对角线__________的四边形是菱形．

【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．

8．正方形的定义：

（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；

②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．

（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

9．正方形的性质：

（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：

①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；

②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．

（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

10．正方形的判定：

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的__________是正方形；

（3）有一个角是直角的__________是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

一、矩形的性质

1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．

2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．

【例1】如图，在矩形ABCD中，1205BOCAB，，则BD的长为

A．5 B．10 C．12 D．13

二、矩形的判定

1．定义法；

2．对角线相等的平行四边形是矩形；

3．对角线平分且相等的四边形是矩形；

4．有三个角是直角的三角形是矩形．

【例2】下列说法正确的是

A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C．对角线互相平分的四边形是矩形

D．对角互补的平行四边形是矩形

三、直角三角形斜边中线的性质

1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等；

3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质．

【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为

A．52 B．6

C．13

D．132

四、矩形中的折叠问题

矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．

【例4】如图，长方形纸片ABCD中，4AB，3AD，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为

A．1 B．32

C．43 D．2

五、菱形的性质及应用

1．菱形具有平行四边形的一切性质．

2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

【例5】在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为

A．120° B．100°

C．80° D．60°

六、菱形的面积

菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

【例6】已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是

A．212cm B．224cm

C．248cm D．296cm

七、菱形的判定

菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的．

【例7】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF ．

（1）求证：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；

（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

八、正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是

A．400 B．192

C．208 D．304

九、正方形的判定

1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

3．对角线互相垂直的矩形是正方形；

4．对角线相等的菱形是正方形．

【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．

（1）判定四边形BECF的形状，并证明；

（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．

1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是

A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形

C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形

2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是

A．6 B．8 C．12 D．24

3．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是

A．对角线相等，对边平行且相等

B．一组对边平行，一组对角相等

C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直

D．一组邻边相等，对角线互相平分

4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=

A．5 B．4 C．3.5 D．3

5．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是

A．18° B．36°

C．45° D．72°

6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是

A．斜边长为10 cm B．周长为25 cm

C．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm

7．在四边形ABCD中，对角线，ACBD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是

A．90ABC B．ACBD C．ABCD D．ABCD∥