湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学

数学（理科）参考答案第 1 页 共 8 页2 2 ♦ y 2 =8x , 长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 2．D 3．A 4．D 5．A【解析】设一个这种元件使用1 年的事件为 A ，使用 2 年的事件为 B ，则P (B A ) =P ( AB ) = 0.6= 0.75P ( A ) 0.86．C【解析】不妨设点 P 在渐近线 y = x 上，又 P (x 0 , x 0 ) 在圆 x 2 + y 2= 2 上，所以 x 0= 1 ，S ⊗PF 1F 2 = 1 ⨯ 2 2 ⨯1 = ．故选 C. 27．D. . . .. . . . 【解析】CA ⋅ AO = - AC ⋅ AO ,由数量积的几何意义知， AC ⋅ AO = 32 ，故CA ⋅ AO = -32 ． 8．B【解析】该三视图表示的几何体是棱长为 2 的正方体中挖去一个底面半径为 1，高为 2的半圆柱，故该不规则几何体的体积为 8－π．9．D【解析】取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则 PD = 4 ， ∠BPD = θ，在 Rt ⊗PBD 中，由2tan θ = 3，得 BD = 3 ．所以 B (-2, -2), C (4, -2) ，BP ,CP 的中点都是 f ( x )2 4图象的对称中心， 故选D ．10．A【解析】函数 g (x ) = [ f (x )]2+ (a - 2) f (x ) - 2a 有三个零点，解方程[ f (x )]2+ (a - 2) f (x ) - 2a = 0 ， 得 f (x ) = 2 或 f (x ) = -a ．由图象知，方程 f (x ) = 2 有一个实根，所以方程 f (x ) = -a 有两个不等实根，11．C则1 < -a < 2 ，则 a ∈(-2, -1) ，故选 A ．【解析】由抛物线的定义，得 AF= p + p = 3 ， 解得 p = 4 ，所以C 的方程为 y 2 = 8x . 4 2因为 A (1, a )(a > 0) 在C 上，所以a 2 = 8 ，解得 a = 2 或 a = -2 2 （舍去）， 故直线 AF 的方程为 y = -2 2(x - 2) ，由 ♠♣ y = -2 2(x - 2), 消去 y ，得♠♥ ，故选 A.数学（理科）参考答案第 2 页 共 8 页4 ♥ 3, )12．Bx 2 - 5x + 4 = 0 ，解得 x 1 = 1 ， x 2 = 4 ，由抛物线的定义，得 BF 所以 AB = 9 ，故选 C ．= 4 + 2 = 6 ， 【解析】M , N 两点间的距离的最小值等于直线 BD 1 与平面 AEC 的距离，而直线 BD 1 与平面 AEC 的距离等于 B 到平面 AEC 的距离，而 B 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离．设 AC ∩ BD = O ，连 EO ，过 D 作 DH ⊥ EO 于 H ，则OH 即为 D 到平面 AEC 的距离，易得OH = 6，故选 B ．6二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 13． 12 .【解析】由S 13=52，得13(a 1 + 6d ) = 52 ，所以a 1 + 6d = 4 ，于是a 4 + a 8 + a 9 = 3(a 1 + 6d ) = 12 ．14． 16 . 【解析】分三类．选 A 不选 B ，共有C 2 种选法，选 B 不选 A ，共有C 2种选法，选 A 且44选 B ，共有C 1种选法，故学生甲共有6 + 6 + 4 = 16 种选法．15． -1 .【解析】由已知可得cos θ = 1 , s in θ =3，所以cos 2θ = - 1， sin 2θ =3.2 2 cos2θ + π = cos 2θ cos π - sin 2θ sin π 2 = (- 1 ) ⨯ 1 -2 3 ⨯ 3 = -1 3 3 3 2 2 2 2 . -∞, - 1 ∪ (3, +∞) 1616． .♣a > 0【解析】由 ax 2 + bx + c > 0 恒成立可知♦b 2 <♣x 2< 4 y , ． 4ac 设 x = b , y = c ，则♠，a a ♦ y > 9 ,♥♠ 4f (1) 则 = x + y +1 = 1+ y + 2 ． f (0) - f (-1) x -1 x -1 令 z = y + 2 ，则 z 表示区域内的点(x , y ) 与 P (1, -2) 连线的斜率.x -1因为 A (- 9 ，所以 4k PA -2 - 9= 4 = -17 ．4 16数学（理科）参考答案第 3 页 共 8 页3 2 ♣x 2 =4 y设直线 PB ： y = k (x -1) - 2 ，联立♦ ♥ y = k (x -1) - 2⊗ = 16k 2 -16k - 32 = 0 ⇒ k = -1，k = 2 ， 由图可知， z ∈(-∞, - 17) ∪ (2, +∞) ，16得 x 2 - 4kx + 4k + 8 = 0 ，f (1) ∈ (-∞, - 1) ∪ (3, +∞)故 f (0) - f (-1) 16．三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（I ）由题设得 a sin C = c cosA ..........................................................................................2 分2 由正弦定理得 sin A = cos A， ........................................ 4 分2所以sin A = 1 .............................................................................................................5 分2 2故 A = 60︒6 分（Ⅱ）由题设得 1bc sin A = ，从而bc = 4 .................................................................. 8 分2由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得 a 2 = (b + c )2 -12 ................................ 10 分又 a + b + c = 8 ，故 a 2 = (8 - a )2 -12 ，解得 a = 13． .................... 12 分418．（本小题满分 12 分） 【解析】 （Ⅰ）设 AC 的中点为O ，连接 BO ， PO .P由题意，得 PA = PB = PC = 2 ，APO = 1 ， AO = BO = CO = 1. 因为在⊗PAC 中， PA = PC ， O 为 AC 的中点， 所 以 PO ⊥ AC ，因为在⊗POB 中， PO = 1 ， OB = 1， PB = ，PO 2 + OB 2 = PB 2 ，所以 PO ⊥ OB ． O CB …………3 分 因为 AC ∩ OB = O ， AC ,OB ⊂ 平面 ABC ，所以 PO ⊥ 平面 ABC ，因为 PO ⊂ 平面 PAC ，所以平面 PAC ⊥ 平面 ABC ． .................5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， BO ⊥ PO , BO ⊥ AC ， BO ⊥ 平面 PAC ，所以∠BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成的角，数学（理科）参考答案第 4 页 共 8 页M . 且tan ∠BMO = BO = 1， .................................... 6 分OMOM所以当OM 最短时，即 M 是 PA 的中点时，∠BMO 最大． ............ 7 分 由 PO ⊥ 平面 ABC ， OB ⊥ AC ，所以 PO ⊥ OB ， PO ⊥ OC ，于是以 OC , OB , OD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系，则O (0, 0, 0) ，C (1, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， A (-1, 0, 0) ， P (0, 0,1) 1 1, 0, ) ，. . 2 2BC = (1, -1, 0) ， PC = (1, 0, -1) ， . 3 1 MC = ( , 0, - 2 2) ． .................... 8 分设平面 MBC 的法向量为 m = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，则 ♣m ⋅.♣x - y = 0， ♠ BC = 0， 1 1 由♦ 得：♦ ． ♠♥m ⋅ MC =0♥3x 1 - z 1 = 0 令 x 1 = 1 ，得 y 1 = 1 ， z 1 = 3 ，即 m = (1,1, 3) ． ....................... 9 分设平面 PBC 的法向量为 n = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，♣n ⋅. ♣x - y = 0， 由♠ BC . = 0， 2 2♦n ⋅ PC = 0 得： ♦x - z = 0 ， ♥♠ ♥ 2 2令 x = 1 ，得 y = 1， z = 1，即n = (1,1,1) ． ......................... 10 分 cos < n , m >=m ⋅ n = | m | ⋅ | n | 5 = 5 33 ． ........................... 11 分 33 33由图可知，二面角 P - BC - M 的余弦值为 5 33 ．.................. 12 分3319．（本小题满分 12 分）【解析】（Ⅰ）连接 AF 2 ，由题意得 AB =F 2 B =F 1B ，所以 BO 为⊗F 1 AF 2 的中位线，又因为 BO ⊥ F 1F 2 ， 所以 AF 2 ⊥ F 1F 2 ，且AF 2 = 2 BO = b a = 8， 3又e = c = 1，a 2 = b 2 + c 2 ，得 a 2 = 9, b 2= 8 ，a 3x 2 y 2故所求椭圆C 的标准方程为 + = 1．......................... 5 分 9 8（Ⅱ）由题可知， l 1 的方程为 x = -3 ， l 2 的方程为 x = 3 ．直线l 与直线l 1 、l 2 联立得 M (-3, -3k + m ) 、 N (3, 3k + m ) ，…………3 分2数学（理科）参考答案第 5 页 共 8 页1 1 1 15 2∑ i 5 . .所以 F 1M = (-2, -3k + m ) ， F 1N = (4, 3k + m ) ，. . 所以 FM i F N = -8 + m 2 - 9k 2 ． ................................. 7 分 ♣ x 2 + y 2 =♠ 1 联立♦ 9 8 得(9k 2 + 8)x 2 +18kmx + 9m 2- 72 = 0 .♥♠ y = kx + m 因为直线l 椭圆C 相切，所以⊗ = (18km )2 - 4(9k 2 + 8)(9m 2 - 72) = 0 ， 化简得 m 2 = 9k 2 + 8 ．........................................... 9 分 . . 所以 FM i F N = - 8 + m 2 - 9k 2 = 0 ， . . π 所以 ⊥ ，故∠MFN 为定值 ． ......................... 10 分F 1M F 1N 12 . .同理 F 2 M = (-4, -3k + m ) ， F 2 N = (2, 3k + m ) ，. . π 所以 F 2 M ⊥ F 2 N ， ∠MF 2 N = 2.故∠MF 1 N =∠MF 2 N ． ......................................... 12 分20．（本小题满分 12 分）【解析】（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． ........................ 2 分 （Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为 3 的数据后，得1x ＝ (7×6－6)＝7.2；5 y = 1(30×6－31.8)＝29.64．5∑x i y i＝1464.24－6×31.8＝1273.44；i =1 ∑(x i) i =1＝364－62＝328． ......................................... 6 分 5Λx i y i - nxy 1273.44 - 5⨯ 7.2⨯ 29.64206.4 b = i =1 = = = 3 ； ∑ i =1x 2 - nx 2328 - 5⨯ 7.2 ⨯ 7.268.8 a ˆ = y - b ˆx = 29.64—3×7.2=8.04，所以 y 关于 x 的线性回归方程为：y ˆ ＝3x ＋8.04． .................... 9 分 （ⅱ）把 x = 18 代入回归方程得： y ˆ ＝3×18＋8.04=62.04， 故预报值约为 62.04 万元． ....................................... 12 分5数学（理科）参考答案第 6 页 共 8 页1 1 11 1x 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（Ⅰ）由题设知， f '(x ) = e x(1+ a + a ln x )(x > 0) ，xg (x ) = e - x f '(x ) = 1+ a + a ln x ， x g '(x ) = a (x -1)(x > 0) .......................... 2 分x2当 x ∈(0,1) 时， g '(x ) < 0 ， g (x ) 在区间(0,1) 上单调递减， 当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) > 0 ， g (x ) 在区间(1, +∞) 上单调递增， 故 g (x ) 在 x = 1 处取到最小值，且 g (1) = 1+ a ．由于g (x ) ≥ 2 恒成立，所以1+ a ≥ 2 ⇒ a ≥ 1． ...................... 4 分 （Ⅱ）设h (x ) = f '(x ) = e x (1+ a + a ln x ) ，则 h '(x ) = e x(1+ 2a - a + a ln x ) ．x x x 2设 H (x ) = 1+ 2a - a + a ln x ，则 H '(x ) = - 2a + 2a + a = a (x - 2x + 2)> 2 ，x x 2 x 2 x 3x x 30 故H (x ) 在(0, +∞) 上单调递增． ................................... 6 分 因为 a > 2 ，所以 H (1) = a +1 > 0 ， H (1) = 1- a ln 2 < 0 ，2故存在 x 2 ∈ 1 ( ,1) 2，使得 H (x 2 ) = 0 ， 则 h (x ) 在区间(0, x 2 ) 上单调递减，在区间(x 2 , +∞) 上单调递增， 故 x 2 是 h (x ) 的极小值点，因此 x 2 = x 1 ． ............................. 8 分由（Ⅰ）可知，当 a = 1 时， ln x + ≥ 1． .......................... 9 分x因此 h (x ) ≥ h (x ) = e x (1+ a + a ln x ) > e x(1+ a ) > 0 ，即 f (x ) 单调递增． 11 由于 H (x ) = 0 ，即1+ 2a - a+ a ln x = 0 ，即1+ a ln x = a - 2a ， 1 x x 21 1 x2 x 1 1 所以 f (x ) = e x (1+ a ln x ) = ae x 1- 2x 1< 0 = 1 1f (x ) .............................. 11 分 1 1 20 1又由（Ⅰ）可知， f (x ) 在(0,+∞) 单调递增，因此 x 1 < x 0 .......................................................... 12 分（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线l 1 的极坐标方程为 θ = α (ρ ∈ R ) .................................. 2 分曲线 M 的普通方程为 (x -1)2 + ( y -1)2= 1， .......................3 分 1 x数学（理科）参考答案第 7 页 共 8 页ƒ a a 5 2 ≤ ∞ 因为 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , x 2 + y 2 = ρ 2， ..........................4 分 所以极坐标方程为 ρ 2- 2(cos θ + sin θ )ρ +1 = 0........................................ 5 分（Ⅱ）设 A (ρ1,α ), B (ρ2 ,α ) ，且 ρ1, ρ2 均为正数，将θ = α 代入 ρ 2- 2ρ cos θ - 2ρ sin θ +1 = 0 ，得 ρ 2 - 2(cos α + sin α )ρ +1 = 0 ， ..................................6 分 当α ∈ 0, π / 时， ⊗= 8sin 2 (α + π )2- 4 > 0 ，4 ƒ∞4 所以ρ1 + ρ2 = 2(cos α + sin α ) ， .................................. 8 分 根据极坐标的几何意义， OA ， OB 分别是点 A ， B 的极径. 从而： OA + OB = ρ + ρ = 2(cos α + sin α ) = 2 2 sin(α + π) .1 24α ∈ 0, π/ α π π , π / 当 4 ∞ 时，+ 4 ∈ 4 2 ∞ ， ƒ ƒ故 OA + OB 的取值范围是(2, 2 2 /10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲【解析】（Ⅰ） f (1) + f (-1) = 1- a - 1+ a > 1， ............................... 1 分若 a ≤ -1 ，则1- a +1+ a > 1 ，得2 > 1，即 a ≤ -1 时恒成立； ..........2 分 若-1 < a < 1，则1- a - (1+ a ) > 1 ，得 a < - 1 ，即-1 < a < - 1； ..... 3 分22若 a ≥ 1 ，则-(1- a ) - (1+ a ) > 1 ，得-2 > 1，此时不等式无解 ...........4 分 综上所述，a 的取值范围是(-∞, - 1) ......................................................... 5 分 2（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，只需[ f (x )] ≤ ϒ y + 5 +y - a /. …………6 分max' ≤∞ ƒmin当 x ∈(-∞, a ] 时， =- 2 + ，[ ] = a =7 分f (x ) x ax f (x ) maxf ( ) 2 4因为 y + 5 + 4 y - a ≥ a + 5，4 所以当 y ∈ ϒ-5 , a / 时， ϒ y + 5 +y - a / = a + 5 = a + 5 .....................8 分≤' 4 ∞ƒ' ƒmin 4 4 2 于是 ≤ a + ，解得-1 ≤ a ≤ 5 ............................................................... 9 分 4 4结合 a > 0 ，所以a 的取值范围是(0, 5]10 分 4 4数学（理科）参考答案第 8 页共 8 页。

炎德·英才大联考长沙市一中高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.2. 已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.3. 已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据流程图，有，故选C.4. 已知实数满足，设，则的最小值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.5. 传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。

有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。

如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选C.6. 已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．考点：空间几何体的三视图.8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又，从而，故，，选C.9. 已知在中，是边上的点，且，，,则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得或者（舎），故，而，故.选A.10. 设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是（）A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定【答案】A【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解，总是不确定的，故选A.点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.11. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.12. 已知函数，下列说法中错误的是（）A. 的最大值为2B. 在内所有零点之和为0C. 的任何一个极大值都大于1D. 在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故 A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分13. 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__________________.【答案】【解析】设，所以，故，所以，所以，填.14. 已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________. 【答案】【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.15. 若当时，函数取得最小值，则________________.【答案】【解析】，所以，因为在，所以，所以，故或者（舎），故填.点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：（1）（辅助角公式）；（2）如果在有最值，那么，从而求出对应的的值.16. 设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列中，，数列中，.（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.解析：（1），，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（2）依题意，当时，，∴，所以，令，两式相减，得故.18. 2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数8 17 25 31 39 47 55 66 ()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.【答案】(1) 线性回归方程为,当时，.(2) . 【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为1 2 3 419. 如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证：平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．试题解析：证明：因为平面，平面，所以，在中，，，，由余弦定理得：，故，所以，又，∴平面.由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.令，∴，.设平面的一个法向量为，，令，则，，∴，平面，∴是平面的一个法向量，，两边平方并化简得，所以或.∴或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞ 2. 设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ． 12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3. “0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存有唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e5. 将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4πD ．34π 6. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙=，则MA BA ∙的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 7. 如图所示程序框图中，输出S =（ ）A ．45B ．-55C ．-66D ．668. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22B ．1ln 22-C ．1ln 22+D ．2ln 22-9. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置相关 10. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ）A ．52B ．53C ．56D ．5911. 设,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812.设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 .14.给定双曲线2:1C x =，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P 为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存有且分别记为,PM PN k k ，则PM PN k k ∙= .15. 已知点(,)P x y的坐标满足0200y x y -<⎪+<⎨⎪≥⎪⎩的取值范围为 . 16. 在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n m n S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值； （2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C的对边，且满足2,()1b f A ==-，2sin b A =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2019年至2019年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量. 参考公式：^1221()ni i i n i i x y nx y b xn x ==-=-∑∑，^^^a y b x =-. 19. （本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.21. （本小题满分12分） 设1()1xx a f x a+=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数. （1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)a t g x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围； （2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：2()n k g k =>∑； （3）当102a <≤时，试比较1|()|n k f k n =-∑与4的大小，并说明理由. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =，求AD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m +-≥.。

湖南省2019届高三六校联考试题数学（理科）含答案解析.docx湖南省 2019 届高三六校联考试题数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

时量120 分钟，满分 150 分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数 z 满足 (1 ＋ i)z ＝|－ 4i |，则 z＝A．2＋ 2i B．1＋2i C．1－2i D．2－2ix＋ 32．已知集合A＝ x| 1－x≥0，则 ?RA＝A．[ － 3， 1)B． ( －∞，－3) ∪[1 ，＋∞)C．( － 3， 1)D． ( －∞，－3] ∪(1 ，＋∞)3．对某两名高三学生在连续9 次数学测试中的成绩( 单位：分) 进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130 分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110 ， 120] 内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A．1 B ． 2 C ． 3D．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高x 等于A．2 B ． 3C．4D．15．已知 f(x)是奇函数，当 x>0 时， f(x)＝－x，则函数在 x＝－ 1 处的切线方程是x－ 2A．2x－ y－1＝ 0 B ． x－ 2y＋ 2＝ 0 C．2x－ y＋ 1＝ 0D． x ＋ 2y－ 2＝ 0π6．如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝ sin x， y＝ cos x 的一部分， A 2， 0， C(0， 1) ，在矩形 OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则A．P >P B． P <p< bdsfid="96" p=""></p<>1212C．P ＝ P D．大小关系不能确定12→→→λ7．已知△ ABC中， AB＝ 2， AC＝3，∠ A＝60°，AD⊥ BC于D，AD＝λ AB＋μ AC，则μ＝A．6 B ． 3 2C． 3D． 2 3x2y28．已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0 ， b>0) ，以点 P(b ， 0) 为圆心， a 为半径作圆 P，圆 P 与双曲线C 的一条渐近线交于 M， N两点，若∠ MPN＝90°，则 C的离心率为75B.2C.2D.39．若 m，n 均为非负整数，在做 m＋ n 的加法时各位均不进位( 例如： 2019＋ 100＝ 2119，则称 (m，n)为“简单的”有序对，而m＋ n 称为有序对 (m，n) 的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对的个数是A．30B． 60C． 96D． 10010．若 x1是方程 xe x＝ 1 的解， x2是方程 xln x ＝1 的解，则x1x2等于A．e B． 1 C.1．－ 1De11 ．已知函数 f(x)＝sin( ω x ＋φ )π，π的部分图象如图所示，且f(x) 在ω >0，φ∈2[ 0，2π ] 上恰有一个最大和一个最小( 其中最大1，最小－ 1) ，ω 的取范是A.7 13B.7 13，12 12 ，12 1211 1717C. 12，12D.12，1212．已知函数 f(x) ＝ e x －ax － 1 在区 ( － 1，1) 内存在极点，且 f(x)<0 恰好有唯一整数解，a 的取范是 ( 其中 e 自然数的底数，e ＝2.71828 ?)e 2 －1 e 2－ 1e 2－ 1A.2e 2 ， eB.2e 2 ，1 ∪ e － 1，2e 2 －1 e － 1 e －1， eC.2，∪ (D． (e －1， e)2e)e第Ⅱ卷二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分。

长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得因为PF1∥QF2，所以，从而，选C. 【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：{}{||22A x y x x ===-≤≤，又因为A B A =即B A ⊆，所以122a a +≤⎧⎨≥-⎩，解之得21a -≤≤，故选C. 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.2. 设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．32- D ． 32i -【答案】C考点：1.复数数的概念；2.复数的运算.3. “0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】试题分析：当0a <时，在区间(,0)-∞上，1()|(1)|()f x x ax ax x a=+=--单调递减，但()|(1)|f x x ax =+区间(,0)-∞上单调递减时，0a ≤，所以“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的,故选A.考点：1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.4. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存有唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e【答案】D考点：函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解. 5. 将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4πD ．34π【答案】C考点：1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.6. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙=，则MA BA ∙的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 【答案】C 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--，由题意有1212(1)(1)0MA MB x x y y ∙=--+=，所以21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ∙=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+ 221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA ∙有最大值9，当43x =时，MA BA ∙有最小值23，故选C. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算. 7. 如图所示程序框图中，输出S =（ ）A．45 B．-55 C．-66 D．66【答案】B【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：222222222212345678910(12345678910)55 S=-+-+-+-+-=-+++++++++=-，故选B.考点：程序框图.8. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数1(0)y xx=>图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．ln22B．1ln22-C．1ln22+D．2ln22-【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，四边形OABC的面积122S=⨯=，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC的面积11212S=⨯=，另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰，所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==，故选C.考点：1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点. 9. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置相关 【答案】B 【解析】考点：1.正方体的性质；2.多面体的体积.10. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ） A ．52 B ．53 C ．56 D ．59【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知，,A B 两点关于y 轴对称，所以可设1111(,),(,)A x y B x y -，则2222211111(10)4x y x y x +=+-=，解之得2112535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又因为点A 在抛物线上，所以25253p =⨯，解得56p =，故选C. 考点：抛物线的标准方程与几何性质.11. 设,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为0,0a b >>，所以目标函数z abx y =+取得最大值时的最优解为(2,3)B ，所以1123ab =⨯+，即4ab =，所以4a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故选B.考点：1.线性规划；2.基本不等式.12.设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15 【答案】A考点：1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 .【答案】41 【解析】试题分析： 4234(12)18243216x x x x x -=-+-+，所以0131,8,32a a a ==-=-，013||||||41a a a ++=.考点：二项式定理.14.给定双曲线2:1C x =，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P 为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存有且分别记为,PM PN k k ，则PM PN k k ∙= .【解析】试题分析：设直线l 的方程为y kx =，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)P x y ，则01020102,,PM PNy y y y k k x x x x --==--由21x y kx ⎧=⎪⎨⎪=⎩得，222)1)0k x -+=,所以有12120,x x x x +==2220102001212001212220102001212001212()()()()PM PNy y y y y y y y y y y ky x x k x x k k x x x x x x x x x x x x x x x x ---++-++⋅=⨯==---++-++===. 考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.15. 已知点(,)P x y的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩的取值范围为 .【答案】[【解析】y+=，如下图所示，过点P作PF⊥直y+=于点F(,)P x y0y+=的距离PF，表示可行域内的点P到原点O的距离PO，所以sin POF∠，当点P0y+=上时，22sin0POF==∠=，当点P0y+=r22sin POF==∠的取值范围为，当点P0y+=r在左下方时，22sin POF==--∠的取值范围为[的取值范围为[.考点：1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.16. 在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4 【解析】试题分析：由122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--∙+≥，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313nn nS ⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn n m S m m m m S m m m m +++++++--+---+----⋅-===+<-------即(3)32330(3)33n m m n mm m +--⋅-<--，当3m =时，该不等式不成立，当3m ≠时有233330133m nn m m⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n <<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的水平.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值；（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A ==-，2sin b A =，求ABC ∆的面积.【答案】(1)min ()1f x =-，max ()1f x =；. 【解析】试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16f x x πω=+-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函数性质可求函数的最值.(2)2sin b A =及正弦定理可求得sin B =，从而是求出解B 的值，由()1f A =-可求出角4A π=及角51246C πππ==+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解水平及复杂式子的变形水平等.18. （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2019年至2019年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.【答案】(1) 13(2013)260.2y x =-+ ；(2)351.2万吨.【解析】试题分析：(1)由公式先求出,x y ，再利用公式求出,b a 即可求回归方程；(2)将2020x =代入所求回归方程求出y 的值即可. 试题解析：（1）解法一： 容易算得：2013,260.2x y ==，121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑，260.2132013a y bx =-=-⨯，故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+解法二：由所给数据能够看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑， 3.2a y bx =-= 所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+， 即13(2013)260.2y x =-+.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当， 当2020x =时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时13(2013)260.2351.2y x =-+=（万吨）考点：线性回归方程及其应用. 19. （本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.【答案】（1）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（2）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量(用λ表示)即可求cos θ的范围. 【解析】 试题分析：试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =， ∴2222cos 603AC AB BC AB BC =+-∙∙=， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-. 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1,3,)n λ=， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||1n n n n θ∙===.∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ， 当λ=cos θ有最大值12， ∴1cos ]2θ∈. 考点：1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) 2213x y += ;(2) 12k k +为定值2.试题解析：（1）由已知得：222c a b =-=，由已知易得||1b OM ==，解得a =椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存有时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,x y ==(1,A B，122k k +==. ②当直线l 的斜率存有时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+， 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相对应步骤给分） 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 21. （本小题满分12分）设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)atg x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围； （2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：2()nk g k =>∑；（3）当102a <≤时，试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由.【答案】(1) [5,32] ；(2)见解析；(3) 1|()|4nk f k n =-<∑.【解析】试题分析：(1) 由反函数的定义先求出()g x 的解析式，代入已知条件可得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈，求导，研究函数2(1)(7)t x x =--的单调性，即可求t 的取值范围；(2)21231(1)()ln ln ln lnln34512nk n n n g k n =-+=++++=-+∑,构造函数2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->，求导研究其单调性可得()u z在(0,)+∞上是增函数，从而(1)0u u >=，即2ln 0(1)n n >+,可证结论成立；(3)当1n =时易得2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时，由122(1)122()11(1)1(1)1k k k kkk k kp f k p p C p C p C p++==+=++-+-+++可得1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++，求和可得1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，即可得到1|()|4nk f k n =-<∑.试题解析：（1）由题意，得101xy a y -=>+， 故1()log 1a x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞， 由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+，得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈. 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---，令'0t >，得25x ≤<，知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增； 令'0t <，得56x <≤，知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减，所以当5t =时，32t =最大值，有当2x =时，5t =；6x =时，25t =，所以5t =最小值， 所以t 的取值范围为[5,32].（2）212311231(1)()ln ln ln lnln()ln345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥，所以()u z 在(0,)+∞上是增函数， 又因为当2n ≥10>>，所以(1)0u u >=即2ln0(1)n n >+，即2()nk g k =>∑ （3）设11a p =+，则1p ≥，121(1)131a f a p+<==+≤- 当1n =时，2|(1)1|24f p-=≤<， 当2n ≥时，设*2,k k N ≥∈时，则122(1)122()11(1)1(1)1k k k kkk k kp f k p p C p C p C p++==+=++-+-+++，所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211nk n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑所以1()(1)14nk n f k f n n =<<++≤+∑，综上所述，总有1|()|4nk f k n =-<∑.考点：1.反函数的定义与求法；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC . （1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =，求AD 的长.【答案】(1)见解析；(2)6.试题解析：（1）证明：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD DAC ∠=∠，因为四边形AFBC 内接于圆，∴DAC FBC ∠=∠，又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠，∴FBC FCB ∠=∠，∴FB FC =. （2）∵AB 是圆的直径，∴90ACD ACB ∠=∠=，∵120EAC ∠=，∴60DAC BAC ∠=∠=，∴30D ∠=，在Rt ACB ∆中，∵BC =，60BAC ∠=，∴3AC =，又在Rt ACD ∆中，30D ∠=，3AC =，∴6AD =.考点：1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.【答案】(1) C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+,表示圆；. 【解析】试题分析：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式实行转换即可;(2)将1sin cos θθρ-=转换为直角坐标方程，求出圆心C 到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.（2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C 到直线的距离为d ==. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m+-≥. 【答案】(1) 111{|}44x x x <->或;(2)见解析. 【解析】试题分析：(1)当2a =时，分区间去绝对值，分别解不等式即可；(2)由绝对值不等式的性质及基本不等式可得111111()()||||||||2||4f m f m a a m m m m a m a m+-=++-++++-+≥+≥. 试题解析： （1）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得：114x <-或φ或14x >. 不等式的解集为111{|}44x x x <->或.考点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值不等式的性质.。

长郡中学2019届第一次适应性考试数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。

【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE⊥ED，所以等腰直角三角形CED的内切圆半径所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为直角梯形的面积为所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。

4.已知为锐角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。

【详解】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。

长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再化简不等式，最后根据唯一整数解确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，因此，所以，即，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及不等式整数解，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题. 11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。

科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共7页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.姓名准考证号绝密★启用前长沙市2019届高三年级模拟考试理科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共7页，分第I 卷与第II 卷两部分.全卷满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数31ii-对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}321{，，=A ，{}2|30B x x x a a A =-+=∈,，若A B ≠∅，则a 值为 A ．1B ．2C ．3D ．1或23．将函数)62sin(π+=x y 的图象向左平移3π个单位，所得函数的解析式为 A ．)652sin(π+=x y B ．x y 2cos －= C ．x y 2cos = D ．)62sin(π－x y =4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”. 该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为A ．176升 B ．27升 C ．11366升D ．10933升5．右图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．5πD ．12π6．二项式261()x x-的展开式中A ．不含9x 项 B ．含4x 项C ．含2x 项D ．不含x 项7．A 是抛物线)0(22>=p px y 上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当4AF =时，︒=∠120OFA ，则抛物线的准线方程是 A ．1x =- B ．1y =- C ．2x =-D ．2y =-8．某同学为实现“给定正整数N ，求最小的正整数i ，使得N i>7”，设计程序框图如右，则判断框中可填入A ．N x ≤B ．N x <C ．N x >D ．N x ≥9．ABC ∆中，32π=C ，3=AB ，则ABC ∆ 的周长为A ．6sin()33A π++B ．6sin()36A π++ C．)33A π++ D．)36A π++10．函数2ln y x x =-的图象大致为11．P 是双曲线C :2212xy -=右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上 的射影为Q ，1F 是双曲线C 的左焦点，则PQ PF +1的最小值为A. 1B. 5152+C. 5154+ D.122+ 12．对于满足a b 30≤<的任意实数b a 、，函数2()f x ax bx c ++=总有两个不同的零点，则a b ca+-的取值范围是 A ．(1，47] B ．(1,2] C ．(1,)+∞D ．()2+∞，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。

2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（）A．M⊊N B．N⊊M C．M∈N D．N∈M2．（5分）在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）在等比数列{a n}中，“a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a2＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）A．f（x）＝sin x﹣x B．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）C．D．5．（5分）已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（）A．0.75B．0.6C．0.52D．0.486．（5分）已知F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．2D．17．（5分）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则＝（）A．16B．32C．﹣16D．﹣328．（5分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．4﹣B．8﹣πC．8﹣D．8﹣2π9．（5分）已知P（1，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan，则f（x）的图象对称中心可以是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（）D．（）10．（5分）已知f（x）＝|e x﹣1|+1，若函数g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A．12B．10C．9D．4.512．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为DD1的中点，M为直线BD1上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把各题答案的最简形式写在题中的横线上13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13＝52，则a4+a8+a9＝．14．（5分）为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学，校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有种不同的选法．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），则cos（2θ+）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且4c＞9a，若不等式f（x）＞0恒成立，则的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且a sin（A+B）＝c sin．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，周长为8，求a．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中；（Ⅰ）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）若点M在棱P A上运动，当直线BM与平面P AC所成的角最大时，求二面角P﹣BC﹣M的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx+m（k≠0）与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N．20．（12分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表：他们分别用两种模型①y＝bx+a，②y＝ae bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值；x i y i x（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程：（ⅱ）若广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（1+alnx），其中a＞0，设f′（x）为f（x）导函数．（Ⅰ）设g（x）＝e﹣x f′（x），若g（x）≥2恒成立，求a的范围；（Ⅱ）设函数f（x）的零点为x0，函数f′（x）的极小值点为x1，当a＞2时，求证：x0＞x1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．（Ⅰ）求l和M的极坐标方程；（Ⅱ）当α∈（0，]时，求|OA|+|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a 的取值范围．2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：①当n＝2m，m∈Z时，x＝4m+1，m∈Z，②当n＝2m+1，m∈Z时，x＝4m+3，m∈Z，综合①②得：集合N＝，又集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，即M⊊N，故选：A．2．【解答】解：＝＝＝+i，对应点的坐标为（，），若点位于第一象限，则＞0且＞0，即，得，得m＞1，即实数m的取值范围是（1，+∞），故选：D．3．【解答】解：在等比数列中，若a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根，则，则a1＜0且a3＜0，则a22＝a1a3＝1，即a2＝±1，即充分性成立，反之当a1＝a3＝a2＝±1时，a1+a3＝﹣3不成立，即必要性不成立，故“a1，a3是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a2＝±1”的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：由题意：图象关于原点对称，为奇函数，必须满足f（﹣x）＝﹣f（x），故得C不对．对于A：当x＝0，f（x）＝0，当x＝时，可得f（x）＝1＜0，单调递减，显然不满足题意；对于B：f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）其定义域为{x|x＞1}，图象显然不关于原点对称，对于D：＝，可知函数是递增函数；故选：D．5．【解答】解：由题意有：因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，这种元件使用到1年时还未失效的前提下，这个元件使用寿命超过2年的概率为P＝＝0.75，故选：A．6．【解答】解：F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，∴F1（0，），F2（0，﹣），一条渐近线方程为y＝x，设点P（m，m），∴＝（﹣m，﹣m），＝（﹣m，﹣﹣m），∵以F1F2为直径的圆经过点P，∴⊥，∴•＝m2+m2﹣2＝2m2﹣2＝0，解得m＝±1，即点P到y轴的距离为1，∴△PF1F2的面积S＝|F1F2|×|x P|＝×2×1＝，故选：A．7．【解答】解：∵AB2＝BC2+CA2∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴外心O是AB的中点，•＝•（）＝•（﹣）＝•﹣2＝﹣×82＝﹣32故选：D．8．【解答】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：故它的体积为（4﹣）×2＝8﹣π，故选：B．9．【解答】解：∵P（1，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点，如图所示；∴A＝2，∵∠BPC＝θ，若tan，∴＝，解得：BC＝6，∴T＝6，则ω＝＝＝；∵2sin（×1+φ）＝2，可得：×1+φ＝，解得：φ＝，∴f（x）＝2sin（x+），令x+＝kπ，k∈Z，可得：x＝3k﹣，k∈Z，可得当k＝1时，x＝，即f（x）的图象对称中心可以是（，0）．故选：D．10．【解答】解：若g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝[f（x）﹣2][f（x）+a]有三个零点，即g（x）＝[f（x）﹣2][f（x）+a]＝0有三个根，即f（x）＝2或f（x）＝﹣a．当f（x）＝2时，由|e x﹣1|+1＝2，即|e x﹣1|＝1，则e x﹣1＝1或e x﹣1＝﹣1，即e x＝2或e x＝0，则x＝ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f（x）＝﹣a．有两个不同的根，作出f（x）的图象如图：由图象知，则1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1），故选：A．11．【解答】解：由抛物线的定义，得，|AF|＝＝3，解得p＝4，所以C的方程为y2＝8x．得A（1，a），因为A（1，a）（a＞0）在C上，所以a2＝8，解得a＝2故直线AF的方程为y＝﹣2（x﹣2），由消去y，得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得故|AB|＝x1+x2+p＝4+1+4＝9，故选：C．12．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则BD1∥EF，∴BD1∥平面ACE，∴M，N之间的最短距离即为直线BD1与平面ACE之间的距离，易知平面ACE⊥平面BB1D1D，∴EF与BD1的距离即为所求，在△DBB1中，求得D到BD1的距离为，∴EF与BD1的距离为，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分把各题答案的最简形式写在题中的横线上13．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13＝52，∴13a1+d＝52，即a1+6d＝4．则a4+a8+a9＝3a1+18d＝3（a1+6d）＝3×4＝12．故答案为：12．14．【解答】解：第一类，从A，B两门课程选1门，再从C，D，E，F中选2门，共有C21C42＝12种，第二类，从A，B两门课程选2门，再从C，D，E，F中选1门，共有C22C41＝4种，根据分类计数原理，可得共有12+4＝16种，故答案为：16．15．【解答】解：角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），∴cosθ＝，sinθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣，则cos（2θ+）＝cos2θ﹣sin2θ＝﹣﹣＝﹣1，故答案为：﹣1．16．【解答】解：若不等式f（x）＞0恒成立，则，又由4c＞9a，∴设x＝，y＝，则，则＝＝1+，令z＝，则z表示区域内的点（x，y）与P（1，﹣2）连线的斜率，因为A（﹣3，），所以k P A＝＝﹣，设直线PB：y＝k（x﹣1）﹣2，联立得x2﹣4kx+4k+8＝0，△＝16k2﹣16k﹣32＝0⇒k＝﹣1，k＝2，由图可知，z∈（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．三、解答题：本大题共7个小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答17．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a sin（A+B）＝c sin，∴a sin（π﹣C）＝c sin（﹣），∴a sin C＝c cos；由正弦定理得sin A sin C＝sin C cos，∴sin A＝cos，即2sin cos＝cos；又A∈（0，π），∴cos≠0，∴2sin＝1，即sin＝，∴＝，解得A＝；（Ⅱ）△ABC的面积为，周长为8，∴bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，…①a+b+c＝8，…②由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣bc，…③由①②③组成方程组，可得：，可得：（8﹣a）2＝a2+12，解得：a＝．18．【解答】证明：（1）三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，∴P A＝PB＝PC＝BC＝AB＝，∵APC＝∠ABC＝90°，∠APB＝∠BPC＝60°，取AC中点O，连结PO，BO，则PO⊥AC，BO⊥AC，且PO＝AO＝CO＝BO＝1，∴PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，∴平面P AC⊥平面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO⊥PO，BO⊥AC，∵PO∩AC＝O，∴BO⊥平面P AC，∴∠BMO是直线BM与平面P AC所成角，且tan∠BMO＝＝，∴当OM最短时，即M是P A中点时，∠BMO最大，由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，得PO⊥OB，PO⊥OC，∴以OC，OB，OD所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1），M（﹣），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，﹣1），＝（，0，﹣），设平面MBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，3），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设二面角P﹣BC﹣M的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角P﹣BC﹣M的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|＝|F2B|故A为通径的端点，则|AF2|＝2|OB|又由|OB|＝．故＝又由e＝＝，a2＝b2+c2，解得：a2＝9，b2＝8故椭圆C的方程为；（Ⅱ）由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，l与C的方程联立消去y可得（8+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，（*），∵l与C相切，∴“*”中△＝324k2m2﹣36（8+9k2）（m2﹣8）＝0，∴m2﹣9k2＝8，l与11，l2联立得M（﹣3，﹣3k+m），N（3，3k+m），又F1（﹣1，0），F2（1，0），∴＝•＝﹣1，∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝同理∠MF2N＝，∴∠MF1N＝∠MF2N．20．【解答】解：（Ⅰ）由于模型①残差波动小，应该选择模型①；（Ⅱ）（i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为（7×6﹣6）＝7.2，＝（30×6﹣31.8）＝29.64；＝206.4，＝68.8．∴，＝29.64﹣3×7.2＝8.04．∴所选模型的回归方程为；（ⅱ）若广告投入量x＝18时，该模型收益的预报值是3×18+8.04＝62.04．21．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，f′（x）＝e x（1++alnx），（x＞0），g（x）＝e﹣x f′（x）＝1++alnx，g′（x）＝（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，故g（x）在x＝1处取到最小值，且g（1）＝1+a，由于g（x）≥2恒成立，故1+a≥2，故a≥1；（Ⅱ）设h（x）＝f′（x）＝e x（1++alnx），则h′（x）＝e x（1+﹣+alnx），设H（x）＝1+﹣+alnx，则H′（x）＝＞0，故H（x）在（0，+∞）递增，∵a＞2，∴H（1）＝a+1＞0，H（）＝1﹣aln2＜0，故存在x2∈（，1），使得H（x2）＝0，则h（x）在（0，x2）递减，在（x2，+∞）递增，故x2是h（x）的极小值点，故x2＝x1，由（Ⅰ）可知，当a＝1时，lnx+≥1，故h（x）＞h（x1）＝（1++alnx1）＞（1+a）＞0，即f（x）递增，由于H（x1）＝0，即1+﹣+alnx1＝0，即1+alnx1＝﹣，故f（x1）＝（1+alnx1）＝a＜0＝f（x0），又由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，+∞）递增，故x0＞x1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanαx，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝tanα•ρcosθ，即θ＝α．∵曲线M的参数方程为（φ为参数），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，∴曲线M的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（2）当α＝0时，直线l的直线坐标方程为x＝0，直线l与圆M相切，|OA|＝|OB|＝1，不成立；当时，|OA|+|OB|＝+＝2，∴当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围是（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）＝|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。