九年级数学下册第二十七章相似测试题(新版)新人教版

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

九年级数学下册第二十七章相似[27.1 第1课时 相似图形]一、选择题1．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有()图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组2．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有()图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．图K －6－4中与图K －6－3相似的图形是链接听课例题归纳总结()图K －6－3成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－44．下列关于相似图形的说法错误的是( )A ．相似图形的形状一定相同，大小不一定相同B ．全等图形是一种特殊的相似图形C ．同一个人在平面镜和在哈哈镜中的形象是相似图形D ．若甲与乙是相似图形，乙与丙是相似图形，则甲与丙是相似图形二、填空题5．图K －6－5②～⑥中，与图①相似的图形有________(填图形的序号).链接听课例题归纳总结图K －6－56．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题7．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．如何将图K －6－7中的图形ABCDE放大，使新图形的各个顶点仍在格点上？图K －6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] B 由观察知(a)(b)(c)(e)中的图形是相似图形．故选B.2．[解析] B 由观察知图(b)中的第3个图形与图(a)相似．应选B.[点评] 注意相似的要求是形状相同，这是判断两个图形是不是相似图形的根本标准．3．D 4.C5．③⑤⑥6．[答案] 是不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形．7．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形．(2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：[素养提升][解析] 相似图形只要求形状相同，而与位置无关，这样同学们可以有不同的画法，下图中的图形A′B′C′D′E′只是其中的一种．解：答案不唯一，如图所示．[点评]先确定各个顶点在方格图中的位置，然后再依次连接构成新图形．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

第二十七章测评(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题4分,共32分.下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则DEEF的值为()A.12B.2 C.25D.352.如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与△DOB相似的三角形个数是()A.1B.2C.3D.43.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上.如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14,那么点B'的坐标是()A.(3,2)B.(-2,-3)C.(2,3)或(-2,-3)D.(3,2)或(-3,-2)4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E.若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A.3B.4C.5D.65.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C'.下列说法正确的是()A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0)B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0)C.△A'B'C'与△ABC是相似图形,但不是位似图形D.△A'B'C'与△ABC不是相似图形6.如图,梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G是BD的中点.若AD=3,BC=9,则GO∶BG=()A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.11∶207.如图,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BC DE =BFBED.BFBE=BCAE8.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,2),B(1,0),点P是反比例函数y=-1x图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O,P,Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有() A.1个 B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题4分,共24分)9.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是.10.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的周长为.11.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165 cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为.(精确到1 cm)12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q.若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为.13.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,在B时又测得该树的影长为8 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.14.一古老的捣碎器如图所示,已知支撑柱AB的高为0.3 m,踏板DE长为1.6 m,支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m,现在踏脚着地,则捣头点E距地面m.三、解答题(共44分)15.(10分)如图,方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼.(1)在同一方格纸中,画出将小金鱼图案绕原点O 旋转180°后得到的图案;(2)在同一方格纸中,并在y轴的右侧,将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后小金鱼的图案.16.(10分)某高中为高一新生设计的学生板凳从侧面看到的图形如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,则横梁EF的长应为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)17.(12分)如图,在△ABC中,延长BC到点D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.的值;(1)求AEAC(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;的值.(3)若AD=4,AB=6,求ACAF第二十七章测评一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.A 根据△AOD ∽△COB ,可以知道ODOB =ADBC =13.由于G 是BD 的中点,从而可以得到GO ∶BG=1∶2. 7.C8.D 在△OPQ 和△OAB 中,∠PQO=∠AOB=90°,当∠POQ=∠ABO 或∠POQ=∠BAO 时,两个三角形相似,故双曲线的每个分支上都有2个点满足题意,即相应的点P 共有4个. 二、填空题9.(9,0) 要确定△ABC 与△A 1B 1C 1的位似中心,只要连接A 1A ,C 1C 并延长,其交点即为位似中心,然后再根据画图的结果,确定位似中心的坐标即可.10.90 ∵△ABC 的三边长分别为5,12,13,∴△ABC 的周长为5+12+13=30.∵与它相似的△DEF 的最小边长为15,∴△DEF 的周长∶△ABC 的周长=15∶5=3∶1,∴△DEF 的周长为3×30=90. 11.8 cm12.3或43 由于以A ,P ,Q 为顶点的三角形和以A ,B ,C 为顶点的三角形有一个公共角(∠A ),因此依据相似三角形的判定方法,过点P 的直线PQ 应有两种作法:一是过点P 作PQ ∥BC ,这样根据相似三角形的性质可得AQAB =APAC ,即AQ6=24,解得AQ=3; 二是过点P 作∠APQ=∠ABC ,交边AB 于点Q ,这时△APQ ∽△ABC ,于是有AQ AC=AP AB ,即AQ 4=26,解得AQ=43.所以AQ 的长为3或43.13.4 直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似,如图.这个基本图形可称之为“母子三角形”,树高EH 所在的两个“子三角形”相似,即Rt △ECH ∽Rt △DEH ,得EH 2=HC ·HD=2×8.所以EH=4 m .或者利用勾股定理,得{EC 2-ED 2=22-82,EC 2+ED 2=(2+8)2,消去ED 2,得EC 2=20, 所以EH 2=16,所以EH=4 m .14.0.8 ∵△ABD ∽△ECD ,∴AD ∶ED=AB ∶EC ,∴0.6∶1.6=0.3∶EC ,解得EC=0.8 m .三、解答题 15.解 如图所示.16.解 过点C 作CM ∥AB ,交EF ,AD 于点N ,M ,作CP ⊥AD ,交EF ,AD 于点Q ,P.由题意得,四边形ABCM 是平行四边形,∴EN=AM=BC=20 cm . ∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40 cm,PQ=8 cm,∴CQ=32 cm .∵EF ∥AD ,∴△CNF ∽△CMD. ∴NFMD =CQCP ,即NF30=3240,解得NF=24 cm . ∴EF=EN+NF=20+24=44(cm),即横梁EF 的长应为44 cm .17.解 (1)过点F 作FM ∥AC ,交BC 于点M.∵F 为AB 的中点,∴M 为BC 的中点,即FM ∥AC ,且FM=12AC.由FM ∥AC ,得△FMD ∽△ECD.∴DC DM =EC FM =23,∴EC=23FM=23×12AC=13AC.∴AE AC=AC -EC AC=AC -13AC AC =23.(2)∵AB=a ,∴FB=12AB=12a. 又FB=EC ,∴EC=12a.∵EC=13AC ,∴AC=3EC=32a.18.(1)证明 ∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC=∠CAB.又∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC =ACAB ,∴AC 2=AB ·AD.(2)证明 ∵E 为AB 的中点,∴CE=12AB=AE ,∠EAC=∠ECA.∵AC 平分∠DAB ,∴∠CAD=∠CAB. ∴∠DAC=∠ECA.∴CE ∥AD.(3)解 ∵CE ∥AD ,∴∠DAF=∠ECF ,∠ADF=∠CEF ,∴△AFD ∽△CFE ,∴ADCE =AFCF .∵CE=12AB ,∴CE=12×6=3.又AD=4,由ADCE =AF CF ,得43=AFCF, ∴AFAC =47,∴ACAF =74.。

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

人教版九年级数学下册第二十七章相似达标测试卷时间：100分钟总分值：120分一、选择题(每题3分，共30分)1．在以下各组线段中，不成比例的是()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝1，b＝2，c＝6，d＝ 3 2．△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，那么△ABC与△DEF的面积比为()A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3区分相交于点A，B，C和点D，E，F，假定ABBC＝23，DE＝6，那么EF的长是()A．8 B．9 C．10 D．12(第3题) (第4题) (第5题)4．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，以下条件中不能判别△ABC ∽△AED的是()A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠CC. ADAE＝ACAB D.ADAB＝DEBC5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交DB于点F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，那么CD的长为()A．4 B．7 C．3 D．12 6．以下说法：①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；③相似三角形一定不是全等三角形；④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4 7．以下四个三角形，与图中的三角形相似的是()(第7题)8．如图，在平面直角坐标系中，点E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为位似中心，将△EFO增加为原来的12，那么点E的对应点E′的坐标为()A．(2，－1)或(－2，1) B．(8，－4)或(－8，4)C．(2，－1) D．(8，－4)(第8题) (第9题) (第10题)9．为了测量校园水平空中上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴味小组做了如下探求：依据光的反射定律，应用一面镜子和一根皮尺，设计如下图的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底(点B)8.4 m的点E处，然后沿着直线BE走到点D，这时恰恰在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE ＝3.2 m，观察者眼高CD＝1.6 m，那么树(AB)的高度约为()A．4.2 m B．4.8 m C．6.4 m D．16.8 m 10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，衔接DF，剖析以下四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④CDAD＝2，其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(每题3分，共24分)11．△ABC∽△A′B′C′，且其相似比是34，△ABC的周长是27 cm，那么△A′B′C′的周长为________cm.12．假设xy＝25，那么y－xy＋x＝________.13．两个多边形相似，面积的比是1∶4，一个多边形的周长为16，那么另一个多边形的周长为________．14．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：____________________________(用相似符号衔接)．(第14题) (第15题) (第16题)15．如图，请添加一个条件，使△ADB∽△ABC，你添加的条件是______________．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE BC＝23，AC与DE相交于点F.假定S△AFD＝9，那么S△EFC＝________.17．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为34，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，假定点B的坐标是(6，0)，那么点C的坐标是__________．(第17题) (第18题)18．如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，那么△EBG的周长是________cm.三、解答题(19题12分，24题14分，其他每题10分，共66分)19．如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．(1)请在方格纸上树立平面直角坐标系，使A(3，4)，C(7，3)，并求出点B的坐标；(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC缩小，画出放大后的位似图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积S.(第19题) 20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D区分是BC，AC上的点，且∠AED＝45°.(1)求证△ABE∽△ECD；(2)假定AB＝4，BE＝2，求CD的长．(第20题) 21．如图，九(1)班课外活动小组应用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与空中的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．(第21题) 22．如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A末尾沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B末尾沿BC边以4 cm/s的速度向点C 移动．假设点P，Q区分从A，B同时动身，问经过多久，△PBQ与△ABC 相似？(第22题)23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(1)求证AH ·AB ＝AC 2；(2)过点A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求 证AE ·AF ＝AC 2.(第23题)24．如图①，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 区分是边BC ，AC 的中点，衔接DE .将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)效果发现①当α＝0°时，AE BD ＝________；②当α＝180°时，AE BD ＝________．(2)拓展研讨试判别：当0°≤α<360°时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图②的状况给出证明．(3)效果处置当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．(第24题)答案一、1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A7．B 8．A9．A 点拨：如图，过点E 作EF ⊥BD ，那么∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CD AB .∵DE ＝3.2，CD ＝1.6，EB ＝8.4，∴3.28.4＝1.6AB ，解得AB ＝4.2(m)．(第9题)10．B 点拨：如图，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点N ，交BC 于点M .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC .∴∠EAC ＝∠ACB ，∵BE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠AFE ＝90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确．∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF .∵AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故②正确．∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF .∵BE ⊥AC ，DM∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，故③正确．设AD ＝a ，AB＝b ，易知△BAE ∽△ADC ，那么BA AD ＝AE DC ，即b a ＝a2b ，∴b a ＝22.∴CD AD ＝b a ＝22，故④错误．应选B.(第10题)二、11．36 12．3713．8或32 点拨：∵面积的比是1∶4，∴相似比为1∶2.(1)假定周长为16的多边形是较大的多边形，那么另一多边形的周长为16÷2＝8；(2)假定周长为16的多边形是较小的多边形，那么另一多边形的周长为16×2＝32.故另一多边形的周长为8或32.14．△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF(答案不独一)15．∠ABD＝∠C(答案不独一)16.417．(2，23)点拨：如图，过点C作CF⊥OB于点F.(第17题)∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，∴∠CDO＝30°，∠OCF＝30°.∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为34，点B的坐标是(6，0)，∴D(8，0)，那么DO＝8，故OC＝4.∴FO＝2，CF＝CO·cos 30°＝4×32＝2 3.∴点C的坐标是(2，23)．18．12点拨：由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝x，那么AF＝6－x.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝12×6＝3.在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝154(cm)，∴AF＝6－154＝94.∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴BEAF＝BGAE＝EG EF，即394＝BG3＝EG154，解得BG＝4(cm)，EG＝5(cm)．∴△EBG的周长为3＋4＋5＝12(cm)．三、19.解：(1)树立平面直角坐标系如下图．点B的坐标为(3，2)．(2)如下图．(第19题)(3)△A′B′C′的面积S为12×4×8＝16.20．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE＝∠CED.∴△ABE∽△ECD.(2)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4 2.∵BE＝2，∴EC＝3 2.∵△ABE∽△ECD，∴ABEC＝BECD，即432＝2CD，∴CD＝3 2.21．解：作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G.∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB.∴△CGE∽△AHE.∴CGAH＝EGEH，即CD－EFAH＝FDFD＋BD，∴3－1.6AH＝22＋15，解得AH＝11.9(m)．∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．答：旗杆AB的高度为13.5 m.22．解：设经过时间t ，△PB Q 与△ABC 相似．由题意得AP ＝2t ，B Q ＝4t ，BP ＝10－2t .当△PB Q ∽△ABC 时，有BP AB ＝BQ BC ，即10－2t 10＝4t 20，解得t ＝2.5(s )；当△Q BP ∽△ABC 时，有BP BC ＝BQ AB ，即10－2t 20＝4t 10，解得t ＝1(s)．综上所述，经过2.5 s 或1 s ，△Q BP 和△ABC 相似．23．证明：(1)衔接BC .∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴AC ︵＝AD ︵.∴∠ACD ＝∠ABC .又∠CAH ＝∠BAC ，∴△ACH ∽△ABC .∴AH AC ＝AC AB .∴AH ·AB ＝AC 2.(2)衔接CF .∵AC ︵＝AD ︵，∴∠ACE ＝∠F .又∠CAF ＝∠EAC ，∴△ACE ∽△AFC .∴AC AF ＝AE AC .∴AE ·AF ＝AC 2.24．解：(1)①52 ②52(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB . ∴CE CA ＝CD CB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.在题图②中，∵△EDC 在旋转进程中外形、大小不变， ∴CE CA ＝CD CB 依然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△CEA∽△CDB.∴AEBD＝ACBC.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋82＝45，∴AC BC＝458＝52.∴AEBD＝52，即AEBD的大小不变．(3) BD＝45或125 5.。

27.1 图形的相似一、基础训练1.在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.下列四个结论：①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个正方形相似；④两个等腰梯形相似.其中正确的结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法正确的是（）A.相似三角形一定全等B.不相似的三角形不一定全等C.全等三角形不一定是相似三角形D.全等三角形一定是相似三角形4.已知△AB C∽△A1B1C1，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，∠A=55°,∠B=100°，则∠C1的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定5.要做甲、乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种6.把△ABC的各边分别扩大为原来3倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（）A.△AB C∽△A1B1C1B.△AB C与△A1B1C1的各对应角相等C.△AB C与△A1B1C1的相似比为3:1D.△AB C与△A1B1C1的相似比为1:37.已知线段3、4、6与x成比例线段，则x=_________________.8.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°、60°，那么另一个三角1 / 31形的最大角为__________，最小角为______________.二、能力训练.9.如图△ABC与△DEF相似，求未知边x、y的长度10.如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，线段的长度如图所示，求证：△ABC∽△ADE.2 / 313 / 3111.如图，若56DE BC AE AC AD AB ===，且△ABC 与△ADE 周长差为4，求△ABC 与△ADE 的周长.12.一个矩形截去一个边长与宽相等的正方形后，所得的矩形仍与原矩形相似，求原矩形与宽的比.27.2《相似三角形性质与判定》一、选择题1.已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为3：2，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ）A.1：1B.3：2C.6：2D.9：42.若△ABC ∽△DEF ，AB=2DE ，△ABC 面积为8，则△DEF 的面积为（ ）A.1B.2C.4D.83.如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD:BD=3:2，则CE:CA 的值为（ ）A.0.6B.2/3C.0.8D.1.54.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种B.两种C.三种D.四种5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.2B.3C.6D.546.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（）A.1B.2C.3D.97.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE=1，CE=AD=2，则AB的长是（）A.6B.5C.4D.28.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：99.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为A.40mB.60mC.120mD.180m4 / 3110.如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动( )时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为A.60 cmB.80 cmC.100 cmD.120 cm11.如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：2：4C.1：3：5D.2：3：412.如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（）A.5：8B.25：64C.1：4D.1：16二、填空题.13.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为是 .5 / 316 /3115.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若CF=6，则AF 的长为_____.16.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F.若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________.17.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9：16，则DE ：EC=_____.18.如图，AG ∥BC ，如果AF ：FB=3：5，BC ：CD=3：2，那么AE ：EC=_____.三、解答题19.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由.7 /3120.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ，在近岸分别取点B 、D 、E 、C ，使点A 、B 、D 在一条直线上，且AD ⊥DE ，点A 、C 、E 也在一条直线上，且DE ∥BC.经测量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的宽度AB 为多少米？21.如图，一块直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的BC 边上，并且使条直角边经过点D ，另一条直角边与AB 交于点Q.请写出一对相似三角形，并加以证明.(图中不添加字母和线段)22.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上.(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB.23.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG//BC，交AD于点G.(1)求证：△FGE∽△FDB；(2)求AG:DF的值.8 / 3124.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD 分别交于点G、F.DF=2CF，AB=6，求DG的长.25.已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2=EA•EC.（1）求证：∠EBA=∠C；（2）如果BD=CD，求证：AB2=AD•AC.9 / 31参考答案1.答案为：D2.答案为：B3.答案为：A4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：B9.答案为：C.10.答案为：D11.答案为：C12.答案为：D13.答案为：1：4.14.答案为：1：4.15.答案为：316.答案为：2/3.17.答案为：3：118.答案为：3:2；10 / 3119.△ABC和△DEF相似，理由如下：20.解析根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案.解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE ，∴=，又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得∴=，解得x=18，答：河的宽度为18米.21.△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵∠QPD=90°，∴∠QPB+∠BQP=90°，∠QPB+∠DPC=90°，∴∠DPC=∠PQB，∴△BPQ∽△CDP.22.解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如图，即为所作图形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP =∠ABC，11 / 31∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD =∠ABC，∴PD∥AB.23.解：24.解：在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF，即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6，∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3，PE=6∵AD∥EP ∴△PGE∽△AGD∴而PE=AD=6，∴GE=GD=故DG 的长为.25.解：（1）证明：∵ED2=EA•EC，12 / 31∴=，∵∠BEA=∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA=∠C.（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD，∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD，∵∠EBA=∠C，∴∠DBC=∠ABD，∵DB=DC，∴∠C=∠DBC，∴∠ABD=∠C，∵∠BAD=∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴=，∴AB2=AD•AC.27.3位似1.下列说法中，正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比相等.A.1B.2C.3D.42.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.3.指出下列各组位似图形的位似中点.13 / 3114 / 314.如图，△ACB 与△DFE 是位似图形，则)()()(ABBP AP ==.4题图 互动训练知识点一：位似图形的概念及性质 1.下列说法错误的是( ) A. 相似图形不一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 同一底版的两张照片是位似图形D. 放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是( )A.16B.32C.48D.643.按如下方法,将△ABC 的三边缩小为原来的21,如图,任取一点O ,连结AO 、BO 、CO ,并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF . 则下列说法中正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形 ③△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1 A.1 B.2 C.3 D.415 /313题图 4题图4.如图,五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD =2，C′D′=3. 若位似中心P 点到点A 的距离为6，则P 到A′的距离为________________.5.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 和△ABC 是位似图形，DE =1，BC =3，AB =6，求AD 的长.5题图知识点二：利用位似图形进行作图6.画出图中位似图形的位似中心..7.利用位似的方法把下图缩小一倍，要求所作的图形在原图内部8.如图，已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点，且EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似，并说明你的理由.16 / 3131 8题图9. 如图，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°.9题图(1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线l为对称轴的图案.17 /知识点三：位似图形的应用10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映的银幕的规格是2 m×2 m,若影机的光源距胶片20 cm时,问银幕应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?11.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5，求矩形.ABCD与矩形EFGH的面积比12.在直角坐标系中，有一个Rt△AOB，且两直角边长分别为OA=4，OB=3，如图.(1)请直接写出A、B两点的坐标.(2)将△AOB作下列运动，画出相应的图形，指出3个顶点的坐标发生的变化(不必写计算过程).①关于原点对称；18 / 3119 / 31②将△AOB 以O 点为位似中心，缩小1倍.12题图课时达标1.如图，BC ∥ED ，下列说法不正确的是（ ）A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．B 与D 、C 与E 是对应位似点 D ．AE ︰AD 是相似比1题图 2题图2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD 的长是( ) A. 61 cm B .31 cm C. 21cm D.1 cm3.在图中，①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两个图形不是位似图形.(1)分别指出图①③各自的位似中心.(2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗?4.如图，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，则AB∥A′B′，BC∥B′C′吗?说明理.由5.如图中的图案是由A字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似变换吗?为什么?20 / 3131 5题图6.如图,△ABC和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC和△A′B′C′的位似比.6题图7.已知图，作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1.7题图21 /8.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1、P2、O在一条直线上时，在点O 处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2 cm，b2=2 cm，①号“E”的测试距离l1=8 m,要使测得的视力相同,?则②号“E”的测试距离l2应为多少9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32 dm2,上下空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为x dm,四周空白处的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式;(2)当要求空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?.(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由22 / 31拓展探究1.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中，能将△ABC变换成△PQR的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③1题图2题图2.如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________.3.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图所示，23 / 3124 /313题图解答下列问题：(1)⊙A 的半径为__________；(2)请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形知⊙D 的圆心D 点的坐标是__________；⊙D 与x 轴的位置关系是__________；⊙D 与y 轴的位置关系是__________；⊙D 与⊙A 的位置关系是__________.(3)画出以点E(-8，0)为位似中心，将⊙D 缩小为原来的21的⊙F.27.3位似（第1课时）答案自主预习1. C. 解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应25 / 31点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC ∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC 与△A′B′C′也是位似的,且位似比为B A AB '',即为原多边形的位似比.因而④对.答案：C2. 之间，同侧，内部. 解析：根据位似图形的意义.3. (1) P 点；(2) P 点. 解析：由位似图形意义.4. DP 、EP 、DE . 解析：对应点到位似中心的距离的比等于相似比. 互动训练1. C. 解析：位似是相似的特例，选项A 、B 都正确；选项C 不能确定两张照片的位置，它们不一定位似；选项D 是正确的.答案：C2. A. 解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比. 相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.答案：A3. D. 解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为OB OE =21,即△ABC ∽△DEF,且相似比为12=OE OB .因而周长为2∶1,面积比为4∶1. 答案：D4. 9. 解析：由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案.5.解：∵△ADE 与△ABC 是位似图形,∴△ADE ∽△ABC .所以BCDE AB AD =. ∵DE =1, BC =3, AB =6, ∴316=AD . ∴AD =2,即AD 的长为2. 6.如图所示26 /317. 解：(1)在五边形ABCDE 内部任取一点O .(2)以点O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE .(3)分别在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上取点A′、B′、C′、D′，使OA ∶OA′=OB ∶OB′=OC ∶OC′=OD ∶OD′=OE ∶OE′=2.(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).7题图8. 解：四边形EFGH ∽四边形ABCD .理由：∵EH ∥AD ，∴△OEH ∽△OAD .∴∠1=∠A ，∠2=∠3，OD OH AD EH OA OE ==. 同理∠4=∠5，∠6=∠7，OCOG DC HG OD OH ==，27 / 31∠8=∠9，∠10=∠B，OB OF BC FG OC OG ==. ∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG =∠ADC .∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF =∠DCB .∴k ADEH OB OF OA OE ===. ∴OE =k·OA ，OF =k·OB .∴k OB OA OB OA k OB OA OF OE =++=++)(，即k ABEF =. ∴∠1=∠A ，∠EHG =∠ADC ，∠HGF =∠DCB ，∠10=∠B ，BCFG DC HG AD EH AB EF ===. ∴四边形EFGH ∽四边形ABCD .∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O ，不经过点O 的其它三边平行,∴四边形EFGH 与四边形ABCD 是位似形.9. 如图，9题图10. 解：位似比为k=74005.3200=,设出银幕应拉在离镜头x m 的地方,则由位似图形的性质得740020=x,所以x=780m,故银幕应拉在离镜头780m的地方.11. 解：由位似可得,两个矩形相似,∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=(OB∶OF)2.∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=9∶2512. 解：(1) A (4, 0), B(0,3).(2) ①A1(-4,0), B1(0,-3), O(0,0). 如图:②如图, A2(2,0), B2(0,23), O(0,0).课时达标1. D.2. D. 解析：易得△ABO∽△CDO, 所以212=CDAB. 所以CD=1(cm).答案：D 3. (1)①③的位似中心分别为O、P点.(2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比.4. 解：AB∥A′B′，BC∥B′C′.理由如下:因为△ABC和△A′B′C′是位似图形，所以△ABC∽△A′B′C′.所以OAAO'=ABBAOBBO''='. 所以△OA′B′∽△OAB.所以∠OA′B′=∠OAB.所以A′B′∥AB.同理可得BC∥B′C′.28 / 315. 解：不是位似变换,原因一是看形状不同,二是4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例.所以不是位似变换.6.解：六个顶点坐标为A(-1,4)，A′(-0.5,2)，B(6,2)，B′(3,1)，C(2,1)，C′(1,0.5)，位似比为2∶1.7. 解法一：(1)取关键点A、B、C、D,在图外取点P，作射线AP、BP、CP、DP；(2)在它们上面分别取A′、B′、C′、D′,使得P A′=2P A，PB′=2PB，PC′=2PC，PD′=2PD.(3)顺次连结A′、B′、C′、D′，四边形A′B′C′D′即为所求.如图(1),(1) (2) (3)解法二：(1)如图(2),在原图上取关键点A、B、C、D，在图形外取一点P，作出射线P A、PB、PC、PD；(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A′=2P A,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.解法三:(1)如图(3),在原图上取关键点A,B,C,D,在图内取一点P,作射线P A,PB,PC,PD;(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.8. 解：(1)∵△OD2P2∽△OD1P1, ∴b1∶b2=l1∶l2.29 / 3130 / 31 (2)由b 1∶b 2=l 1∶l 2, 得l 2=5 m.9. 解：(1)根据题意,得S=2×x×0.5+2×x 32×1+4×1×0.5=x+x 64+2, 即S=x+x64+2. (2)根据题意,得x+x64+2=18,整理,得x 2-16x+64=0.所以(x-8)2=0. 所以x=8.所以x+2=10.所以这张广告纸的长为10(dm),宽为832+2×0.5=5(dm). (3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为2, 所以45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . 因为矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D′.因为AC 和BD ，A′C′和B′D′都相交于O 点,所以矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′是位似图形.拓展探究1. D. 解析：本题考查图形变换的各种特征. 答案：D2. (5，4).3. (1)5. (2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切.(3)连接DE ，取DE 的中点F ，以F 为圆心，2.5为半径作圆.解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.(1)连接AC ，根据垂径定理，有勾股定理可以计算；(2)⊙A 的平移实质是圆心的平移，因此点D 的坐标为(-5,6)，由点D 的坐标看，⊙D 与x 轴相离，与y 轴相切，与⊙A 外切；(3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.31 /31。

人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C D．16：812、如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的长是（）A．92B．4 C．6 D．23、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA．B．26 C．D．134、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB ，AC ，ACB ∠的平分线交边AB 于点D ，则点D 就是线段AB 的一个黄金分割点，即0.618AD AB≈，已知10cm AC =，那么该正五边形的周长为（ ）A ．19．1cmB ．25cmC ．30．9cmD ．40cm5、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．36、在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个点，并且DE ∥BC ，AD ：BD ＝3：2，则ADE 与四边形BCED 的面积之比为（ ）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：257、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ．BC ＝8，则AC ＝（ ）A ． 4B ． 4C ．16D ．128、如图, 点 E 是线段 BC 的中点, B C AED ∠∠∠==, 下列结论中, 说法错误的是（ ）A ．ABE △ 与 ECD 相似B ．ABE △ 与 AED 相似C ．AB AE AE AD = D ．BAE ADE ∠=∠9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(4,1) 10、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点；下列结论：①∠AMD=45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3;④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 _____．（填写序号即可）3、如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使BAC EAD△∽△成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________4、如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，45BCD ︒∠=，132AC =，则BC 的长为________．5、若3x ＝7y ，则x y＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB ）50m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到塔尖A ，再测得DE ＝2.4m ，小豪目高CD ＝1.68m ，求塔的高度AB ．2、阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．（1）理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；（2）运用：如图（2），已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”，AB=AC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线．求证：点D 是AC 的黄金分割点．3、如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作射线CP AB ∥，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与,B C 重合）且45DAE ∠=︒，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：ADC AEB △△；（2）求证：ADE ACB ；（3）如果CD CE =，求证：2CD CO CA =．4、如图，在ABCD 中，BE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，且:1:2AE EB =．（1）求证：AEF CDF∽△△；（2）求AEF与AFD的面积比．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、A【解析】【分析】由直线////a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由4AC=，6CE=，3BD=，即可求得DF的长即可．【详解】解：////a b c，∴AC BDCE DF=，4AC=，6CE=，3BD=，∴436DF=， 解得：92DF =，故选择A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长:1=⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，∴宽：长:1=⎝⎭， ∵长是26cm ，∴宽2613==，故选D ．【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．4、C【解析】【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到ADC AEC ≅△△ ，得到AE AD = ，再根据0.618AD AB≈求出AD 即可求解 ．【详解】解：∵正五边形每个内角＝540=1085︒︒ ，每条边相等，AB AC = ， ∴108AEC ECB ∠=∠=︒ ，∵AE EC = ， ∴180108362EAC ECA ︒-︒∠=∠==︒ ， ∴1083672ACB ECB ECA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，∵DC 为∠ACB 的平分线，∴1362ACD ACB ∠=∠=︒ ， ∵AB AC = ，∴72ABC ACB ∠=∠=︒ ， ∴36BAC ∠=︒ ， ∵AC AC = ，∴()ADC AEC ASA ≅ ， ∴AE AD = ， ∵0.618ADAB≈，10cm AB AC ==， ∴100.618 6.18cm AE AD ==⨯= ， ∴该五边形周长=6.185=30.9cm ⨯ ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键． 5、D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EFAB DC+=，代入求出即可． 【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BFDC BD =， ∴1EF EFAB DC+=， ∵AB =4，CD =12， ∴EF =3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键． 6、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．7、A【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180362︒-︒=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴AD=BD=BC=8．∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，∴BC ACCD BC=，即888ACAC=-，整理得：AC2-8AC-64=0，解方程得：AC AC舍去)，故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC 的长． 8、D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得BAE DEC ∠=∠，结合已知条件即可证明ABE ECD ∽△△，从而判断A ，进而可得AB AEEC ED=，根据E 是中点，代换BE CE =，进而根据两边成比例夹角相等可证ABE △∽AED ，进而判断B ，C ，对于D 选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：AEC BAE B AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，AED B ∠=∠BAE DEC ∴∠=∠又B C ∠=∠ABE ECD ∴∽故A 选项正确ABE ECD ∽△△AB AEEC ED∴= E 为BE 的中点∴BE CE =AB AEBE ED∴= 又B AED ∠=∠∴ABE △∽AED故B 、C 选项正确ABE △∽AEDDAE BAE ∴∠=∠若BAE ADE ∠=∠ 则DAE ADE ∠=∠AE DE ∴=根据现有条件无法判断AE DE =，故BAE ADE ∠∠≠ 故D 选项不正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9、A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标． 【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴端点C 的坐标为：（3，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AH：BC=1 3∴△AHK∽△CBK，∴13 AK AHKC BC==故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．二、填空题1、（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【解析】【分析】点D 在y 轴上，根据△AOB ∽△DOA ，可得BO OA AO OD=，即211OD =；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，根据△AOB ∽△D 1AO ，1BO OA OA D A =，即1211D A =；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，ABOD 2A ∽△AOB ，2BO ABAD OA =，即22AD △D 2EA ∽△DOA ，22AD D E AE AD AO OD ==2112D E AE ==，求出AE =45，D 2E =25，当点D 3在0D 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3，根据△OD 3A ∽△BOA ，3BO ABOD AO =，即32OD，3OD =△D 3FO ∽△D 1AO ，3311OD D F OF OD OA AD ==3112D F OF ==，求出OE =45，D 3F =25即可． 【详解】解：点D 在y 轴上，△AOB ∽△DOA ， ∴BO OA AO OD=，即211OD =，解得OD =12， 点D （0，-12）；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，△AOB ∽△D 1AO ，∴1BO OA OA D A =，即1211D A =， 解得D 1A =12， 点D 1（1，-12）；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，AB= ∵△OD 2A ∽△AOB ，∴2BO AB AD OA =，即22AD =∴2AD =在Rt △OAD 中，AD= ∵D 2E ⊥x 轴于E ，，OD ⊥x 轴， ∴D 2E∥OD ，∴∠AD 2E =∠ADO ，∠D 2EA =∠DOA =90°， ∴△D 2EA ∽△DOA ，∴22AD D EAE AD AO OD ==2112D E AE ==， ∴AE =45，D 2E =25，∴OE =OA -AE =1-45=15，∴D 2（15，25-）当点D 3在OD 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3， ∵△OD 3A ∽△BOA ，∴3BO AB OD AO =，即32OD ，∴3OD =在Rt △OAD 1中，0D 1=， ∵D 3F ⊥x 轴于F ，OD ⊥x 轴， ∴D 3F∥OD ，∴∠OD 3F =∠QD 1A ，∠D 3FO =∠D 1AO =90°， ∴△D 3FO ∽△D 1AO ，∴3311OD D F OF OD OA AD ==3112D FOF ==， ∴OE =45，D 3F =25，∴D 3（45，25-）；△AOB 和△OAD 相似（不包括全等），则点D 的坐标为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）． 故答案为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．2、①②③【解析】【分析】①利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论②正确；③先证明△BDE∽△CME，可得出CMEM＝BDDE＝2，进而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判断结论③正确；④先证明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再证明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，进而得出S△BED＜2S△DNE，即可判断结论④不正确．【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN =DM ，∵∠MDN =90°，∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN =45°，∴∠AMD =90°-45°=45°，故①正确；②如图1，由（1）知，DN =DM ，过点D 作DF ⊥MN 于点F ，则∠DFE =90°=∠CME ，∵DN ⊥MD ，∴DF =FN ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =CE ，在△DEF 和△CEM 中，DEF CEM DFE CME DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ），∴ME =EF ，CM =DF ，∴FN =CM ，∵NE-EF=FN，∴NE-EM=MC，故②正确；③由①知，∠DBN=∠DCM，又∵∠BED=∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴CMEM＝BDDE＝2，∴CM=2EM，NE=3EM，∴EM：MC：NE=1：2：3，故③正确；④如图2，∵CD⊥AB，∴∠BDE=∠CDA=90°，由①知：∠DBN=∠DCM，BD=CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED=S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∴BN=FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．3、AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【解析】【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角A∠，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．【详解】解：由图可知，在BAC EAD∠=∠△与△中，BAC EAD∴添加的条件为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB故答案为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．4、【分析】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC，得到BH=CH，△ABH∽△DBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解．【详解】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC∵AB AC=∴BH=CH，设BC=10a∴BH=CH=5a∵132AC==AB，4BD AD=∴BD=426 55 AB=∵AH⊥BC，DE⊥BC ∴DE∥AH∴△ABH∽△DBE∴AB HBDB EB=∵4BD AD=∴5=4 AB HB DB EB=∴BE=4a∴CE=10a-4a=6a∵45BCD︒∠=，DE⊥BC∴∠CDE=180°-45°-90°=45°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=CE=6a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2即（265）2=（6a）2+（4a）2解得a∴BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用．5、7 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】解：若3x＝7y，则73 xy故答案为：7 3【点睛】此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．三、解答题1、35m【解析】【分析】根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BB=50m BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，从而得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴BBBB=BBBB，∴BB1.68=502.4，解得：BB=35m，即塔的高度为35m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“黄金三角形”的定义进行分割即可；（2）证明△CBD∽△CAB，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）如图，（2）∴∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD＝72°∴AD＝BD，BC＝BD即AD＝BC＝BD·又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A∴△CBD∽△CAB∴BBBB=BBBB∴BBBB=BBBB·即D点是AC的黄金分割点【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，∴∠BBB=∠B=45°，∵∠BBB=45°，BB∥BB，∴∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB=∠B=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（2）证明：∵ΔBBB∼ΔBBB∴BBBB=BBBB，即BBBB=BBBB，∵∠BBB=∠BBB=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（3）∵∠BBB=45°,∠BBB=90°，∴∠BBB+∠BBB=180°−90°−45°=45°，∵CD CE=，∴∠BBB=∠BBB=22.5°，∵ΔBBB∼ΔBBB，∴∠BBB=∠BBB=90°，∴∠BBB=180°−∠BBB−∠BBB−∠BBB=180°−90°−22.5°−45°=22.5°∴∠BBB=∠BBB，又∵∠BBB=∠BBB，∴ΔBBB∼ΔBBB，∴BBBB=BBBB，∴2CD CO CA=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．4、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由ABCD得出BB∥BB，由平行线的性质得∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB，即可证明△BBB∼△BBB；（2）由:1:2AE EB=得出BB:BB=1:3，由相似三角形的性质得BBBB =BBBB=13由BE AB⊥得∠BBB=90°，由三角形的面积公式得B△BBB=12×BB×BB，B△BBB=12×BB×BB，即可求出B△BBB:B△BBB．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BB ∥BB ，∴∠BBB =∠BBB ，∠BBB =∠BBB ，∴△BBB ∼△BBB ；（2）∵BB :BB =1:2，∴BB :BB =BB :BB =1:3，∵△BBB ∼△BBB ，∴BB BB =BB BB =13，∵BB ⊥BB ，∴∠BBB =90°，∵B △BBB =12×BB ×BB ，B △BBB =12×BB ×BB ，∴B △BBB :B △BBB =BB :BB =1:3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．5、（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =CE =【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（2）方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（3）由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴= ()290ACB ∠=①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴= ②成立.如图3，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m∴==， DE n DF m∴=． ()3由()2有，ADE ∽CDF ， 12DE AC DF BC ==， 12AD AE DE CD CF DF ∴===， 2CF AE ∴=，如图4图5图6，连接EF ．在Rt DEF △中，DE =DF =EF ∴= ①如图4，当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=CE =舍) ②如图5，当E 在AC 延长线上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF = 根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴CE =-舍)，③如图6，当E 在CA 延长线上时，在Rt CEF 中，()(222CF AE CE AC CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，(22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴=CE =，综上：CE =CE =【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．。