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人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后进行的，是学习更高级数学知识的基础。
教材通过简单的实例引入直接开平方法，让学生了解并掌握开平方运算的法则，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能对于抽象的开平方运算存在一定的困难，需要通过具体的实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生了解直接开平方法的概念和意义。
2.让学生掌握直接开平方法的运算规则。
3.培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和运算规则。
2.难点：对于复杂数的开平方运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来形象地展示开平方运算的过程。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学PPT。
3.练习题和学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出直接开平方法的概念，例如：“一块土地的面积是4平方米，它的长和宽各是多少？”让学生思考并尝试解答。
2.呈现（15分钟）讲解直接开平方法的概念和运算规则，通过PPT展示相关的动画和图形，让学生直观地理解开平方运算的过程。
3.操练（15分钟）让学生进行一些简单的练习题，巩固直接开平方法的应用。
教师可以设置一些问题，引导学生运用直接开平方法解决问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些复杂的练习题，加深对直接开平方法的理解。
教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们解决问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索直接开平方法在实际问题中的应用，例如：“一个立方体的体积是64立方米，求它的棱长。
直接开平方法说课稿人教版直接开平方法教学设计一、教学目标1. 知识与技能目标：学生能够理解并掌握直接开平方法的概念，能够运用该方法解决一元二次方程的求解问题。
2. 过程与方法目标：培养学生观察、分析问题的能力，通过实例引导学生发现并总结直接开平方法的规律。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生勇于探索和合作交流的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：明确直接开平方法适用的一元二次方程类型，掌握求解步骤。
2. 教学难点：学生对于何时使用直接开平方法的判断，以及对方程特殊情况的处理。
三、教学准备1. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔、教学挂图等。
2. 学生准备：预习一元二次方程的相关知识，准备练习本和笔。
四、教学过程1. 导入新课通过回顾一元二次方程的解法，引出直接开平方法，并提出问题：“当一元二次方程的左边是完全平方时，我们能否直接开平方求解？”2. 讲解新知（1）介绍直接开平方法的定义和适用条件。
（2）通过具体例子，演示直接开平方法的求解步骤。
（3）总结直接开平方法的操作要领。
3. 课堂练习设计不同难度的练习题，让学生尝试使用直接开平方法解题，教师巡回指导，及时解答学生疑问。
4. 归纳总结邀请学生分享解题过程和心得，教师点评并总结直接开平方法的关键点。
5. 拓展延伸探讨直接开平方法在其他数学问题中的应用，如二次函数的顶点求解等。
五、作业布置1. 完成课后习题中与直接开平方法相关的题目。
2. 自主寻找并解决生活中的实际问题，尝试运用直接开平方法。
六、板书设计```一元二次方程的解法——直接开平方法适用条件：方程左边为完全平方求解步骤：1. 观察方程，确认是否符合直接开平条件2. 对方程两边同时开平方3. 求解得到的一元一次方程注意事项：- 检查开平方后的式子是否正确- 注意正负号的处理```七、教学反思1. 学生掌握情况：通过课堂练习和作业反馈，了解学生对直接开平方法的掌握程度。
1.1 教学目标(1) 知识与技能：理解直接开方法的概念，掌握其解题步骤，能够运用直接开方法解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识与团队精神，提高学生解决问题的能力。
(3) 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，培养学生的自信心。
1.2 教学内容本节课主要讲解直接开方法的概念、解题步骤及应用。
1.3 教学重点与难点(1) 重点：直接开方法的概念和解题步骤。
(2) 难点：如何运用直接开方法解决实际问题。
1.4 教学策略采用问题驱动的教学方法，通过引入实例，引导学生探索、讨论，从而掌握直接开方法。
1.5 教学过程(1) 导入：引入实例，让学生尝试解决，感受直接开方法的魅力。
(2) 新课讲解：讲解直接开方法的概念、解题步骤。
(3) 案例分析：分析具体案例，让学生理解直接开方法在实际问题中的应用。
(4) 小组讨论：让学生分组讨论，探索直接开方法的其他应用。
(5) 总结提高：总结本节课所学内容，引导学生思考如何运用直接开方法解决实二、学案2.1 学习目标(1) 知识与技能：理解直接开方法的概念，掌握其解题步骤，能够运用直接开方法解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识与团队精神，提高学生解决问题的能力。
(3) 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学问题的热情，培养学生的自信心。
2.2 学习内容本节课主要学习直接开方法的概念、解题步骤及应用。
2.3 自主学习(1) 预习直接开方法的相关知识。
(2) 分析实例，理解直接开方法的应用。
2.4 合作学习(1) 分组讨论，探索直接开方法的其他应用。
(2) 分享学习心得，互相交流。
2.5 练习与巩固完成课后练习，巩固所学知识。
三、说课稿3.1 说课内容3.2 说课重点与难点(1) 重点：直接开方法的概念和解题步骤。
(2) 难点：如何运用直接开方法解决实际问题。
人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行讲解的，旨在让学生掌握开平方运算的方法，进一步理解无理数的概念。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了初步的认识。
但是，学生对于无理数的理解仍然存在一定的困难，尤其是对于无理数的运算，因此，在教学过程中，需要引导学生理解无理数的概念，并通过实例让学生感受无理数的存在。
三. 教学目标1.让学生掌握直接开平方法，能够正确进行开平方运算。
2.引导学生理解无理数的概念，能够正确识别无理数。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法，无理数的概念。
2.难点：无理数的识别和运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来掌握开平方运算的方法。
2.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解无理数的概念。
3.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括开平方运算的步骤和实例。
2.准备一些有关无理数的实际问题，用于课堂讨论。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量物体长度、计算物体面积等，引导学生思考这些问题与开平方运算的关系。
2.呈现（15分钟）介绍直接开平方法的具体步骤，并通过PPT展示相关的实例，让学生理解开平方运算的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些开平方运算的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结开平方运算的规律和方法，并分享各自的经验和心得。
5.拓展（10分钟）介绍无理数的概念，并通过实例让学生识别无理数。
21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x2＝9，得x2＝94，两边直接开平方，得x＝±32，∴原方程的解是x1＝32，x2＝－32.(2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝± 2.∴x＋3＝2或x＋3＝－ 2.∴原方程的解是x1＝2－3，x2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m－4，则b a＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________． 解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.~。
21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．BCAQ P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2xx 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 2-12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．答案:一、1．B 2．D 3．B二、12．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1x2同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
九年级数学上册教案：直接开平方法一、教学目标：1.理解直接开平方法的定义和意义。
2.掌握直接开平方法的运用技巧。
3.能够熟练使用直接开平方法解决一元二次方程问题。
4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点：1.直接开平方法的定义和意义。
2.直接开平方法的运用技巧。
三、教学内容：1. 直接开平方法概述直接开平方法是解决一元二次方程的一种方法。
它的核心思想是将一元二次方程化为完全平方。
2. 直接开平方法的基本步骤使用直接开平方法，需要进行以下步骤：1.首先将一元二次方程的项按照相同的项分类，化为标准形式，即ax2+bx+c=0。
2.再将方程两边同时加上一个常数k，使得方程变为ax2+bx+c+k=0。
3.将ax2+bx部分使用配方法化为一个完全平方，即$(\\sqrt a x+\\frac{b}{2\\sqrt a})^2$。
4.把 $(\\sqrt a x+\\frac{b}{2\\sqrt a})^2$ 的形式代入ax2+bx+c+k=0中，进行化简。
5.化简以后，解出方程。
考虑到方程已经化为完全平方，解的个数不会超过1个。
例如，题目为：解x2+4x−5=0。
我们可以先将x2+4x−5=0化为标准形式(1)x2+(4)x+(−5)=0。
然后，我们在方程的两边同时加上9，即x2+4x−5+9=9。
接着，我们可以将x2+4x部分进行配方法，得到$(\\sqrt 1 x+\\frac{4}{2\\sqrt 1})^2$，即(x+2)2。
这样就化为一个完全平方。
将(x+2)2的形式代入x2+4x−5+9=9中，即(x+2)2=14。
解这个完全平方后，得到 $x=\\pm\\sqrt{14}-2$，这就是原方程的解。
3. 直接开平方法的练习练习题目：1.解x2+6x+5=0。
2.解x2+10x+9=0。
3.解4x2−4x−15=0。
四、教学方法：1.示范授课法。
教师通过举一反三的方式，以示范为主导，引导学生理解直接开平方法的基本理论和应用技巧。
21.2.1 直接開平方法教學目標 理解一元二次方程“降次”──轉化的數學思想，並能應用它解決一些具體問題． 提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax 2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然後知識遷移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重難點1．重點：運用開平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；領會降次──轉化的數學思想．2．難點：通過根據平方根的意義解形如x 2=n ，知識遷移到根據平方根的意義解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題問題1 填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．問題2 如圖，在△ABC 中，∠B=90°，點P 從點B 開始，沿AB 邊向點B 以1cm/s•的速度移動，點Q 從點B 開始，沿BC 邊向點C 以2cm/s 的速度移動，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都從B 點同時出發，幾秒後△PBQ 的面積等於8cm 2？老師點評： 問題1：根據完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 問題2：設x 秒後△PBQ 的面積等於8cm 2則PB=x ，BQ=2xBCAQ P 2p 2p依題意，得：x ·2x=8 x 2=8根據平方根的意義，得x=±即x 1，x 2可以驗證，和都是方程x ·2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值．所以秒後△PBQ 的面積等於8cm 2．二、探索新知上面我們已經講了x 2=8，根據平方根的意義，直接開平方得x=±，如果x 換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？老師點評：回答是肯定的，把2t+1變為上面的x ，那麼2t+1=±即，方程的兩根為t 1-，t 2- 例1 解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一個完全平方公式，那麼原方程就轉化為（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接開平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的兩根x 1=-1，x 2=-3例2 市政府計畫2年內將人均住房面積由現在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面積增長率．分析：設每年人均住房面積增長率為x ．•一年後人均住房面積就應該是10+•10x=1012121212（1+x ）；二年後人均住房面積就應該是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：設每年人均住房面積增長率為x ，則：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接開平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x 2=-2.2應舍去．所以，每年人均住房面積增長率應為20%．（學生小結）老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什麼？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程．•我們把這種思想稱為“降次轉化思想”．三、應用拓展例3 某公司一月份營業額為1萬元，第一季度總營業額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業額平均增長率是多少？分析：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x ，•那麼二月份的營業額就應該是（1+x ），三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x ）2．解：設該公司二、三月份營業額平均增長率為x ．那麼1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）當成一個數，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x 1=10%，x 2=-3.11232323232因為增長率為正數，所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%．四、歸納小結 本節課應掌握：由應用直接開平方法解形如x 2=p （p ≥0），那麼x=如（mx+n ）2=p （p ≥0），那麼mx+n=，達到降次轉化之目的． 五、作業習題一、選擇題 1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那麼p 、q 的值分別是（ ）．A ．p=4，q=2 B ．p=4，q=-2 C ．p=-4，q=2 D ．p=-4，q=-22．方程3x 2+9=0的根為（ ）．A ．3B ．-3C ．±3D ．無實數根3．用配方法解方程x 2-x+1=0正確的解法是（ ）． A ．（x-）2=，x=± B ．（x-）2=-，原方程無解 C ．（x-）2=，x 1=，x 2 D ．（x-）2=1，x 1=，x 2=- 二、填空題1．若8x 2-16=0，則x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那麼，這個一元二次方程的兩根是________．3．如果a 、b +b 2-12b+36=0，那麼ab 的值是_______．2313891331389235923235313三、綜合提高題1．解關於x的方程（x+m）2=n．2．某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠牆（牆長25m），•另三邊用木欄圍成，木欄長40m．（1）雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？（2）雞場的面積能達到210m2嗎？3．在一次手工製作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由於需要，現在要製成一個矩形方框，並且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學製成方框，•並說明你製作的理由嗎？答案:一、1．B 2．D 3．B二、12．9或-3 3．-8三、1．當n≥0時，x+m=，x1-m，x2-m．當n<0時，無解2．（1）都能達到．設寬為x，則長為40-2x，依題意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1，x2；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長為40-20=20．（2）不能達到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，無解，即不能達到．3．因要制矩形方框，面積盡可能大，所以，應是正方形，即每邊長為1米的正方形．。
直接开平方法教学目标：1、知识与技能①会用直接开平方法解形如的一元二次方程；②理解配方法的思想，掌握用配方法解形如的一元二次方程;③能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
2、数学思考通过利用平方根的意义解形如的方程，进而迁移到解形如的方程．3、情感态度与价值观：培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：通过平方根的意义解形如的方程，进而迁移到形如的方程。
教学关键：理解一元二次方程求解的策略是“降次──转化”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。
内容教学方式与师生活动过程反思一．温故而知新你能想出下列方程的根呢？教师归纳：一般地,对于形如：的方程,根据平方根的定义,可解得，这种解一元二次方程的方法叫做开在引导学生复习了方程的相关知识，学生能根据平方根的意义，可以得到方程的解。
它们一边是一个完全平方式，另一边是一个非负数，形如：通过两边开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
学生通过自主学习教材内容，尝试解决求方程，给学生充分探索的空间。
教师就一元二次方程的有两个根进行说明启发学生观察方程的特点，体会解一元二次方程的降次思想，给出直接开平方法的概平方法。
二、巩固练习：1.（1）方程4x2－36=0 的根是。
（2）方程(3x－4)2=25的根是。
（3）方程(x－3)2=7的根是。
三、合作探究能否把方程x2－6x＋2＝0变形为（）2=a的形式（ａ为非负常数）？四、阶段汇总通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
呈现过程让学生感受：配方是为了降次（二次方程转化到一次方程）填空：(1)x2＋8x ＋ =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ =(x － )2(3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2五．例题讲解：解方程：x2+12x-15=0在学生的充分讨论后，教师引导：x2+12x-15=0a2 + 2 a b+b2 = (a+b)2学生通过比较，分析它们与方程x2=0.25的异同，从而获得求解一元二次方程的思路策略。
配方法第1课时直接开平方法1.了解降次将一元二次方程转化为一元一次方程.2.能用直接开平方法解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程.【重点难点】会用直接开平方法解一元二次方程.【新课导入】1.你能求出方程x2=16中的未知数吗?2.把方程(x-1)2=9中的x-1看作一个整体,你能转化为两个一元一次方程吗? 【课堂探究】一、用直接开平方法解形如x2=p的一元二次方程1.一元二次方程2x2-6=0的解为x1=,x2=-.2.解方程4x2=9.解:由4x2=9,得x2=,两边直接开平方,得x=±,所以原方程的解为:x1=,x2=-.二、用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程3.解方程2(x+3)2-4=0.解:x1=-3+,x2=-3-.4. 解方程(2x+1)2=(x-1)2.解:两边直接开平方,得到2x+1=±(x-1),即2x+1=x-1或2x+1=-(x-1), 解得x1=-2,x2=0.1.只有二次项和常数项的方程x2=p(p≥0),方程两根为x=±.2.方程左边是完全平方式,右边是常数的方程(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)方程可转化为两个一元一次方程mx+n=±p,解得x1=,x2=.1.方程x2-4=0的根是(C)(A)x=2 (B)x=-2(C)x1=2,x2=-2 (D)x=42.(2013某某)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)(A)x-6=-4 (B)x-6=4(C)x+6=4 (D)x+6=-43.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(B)(A)14 (B)12(C)12或14 (D)以上都不对4.关于x的一元二次方程(x-k)2+k=0,当k>0时的解为(D)(A)k+ (B)k-(C)k±(D)无实数解5.解方程:2y2=8.解:两边同除以2,得y2=4,所以y1=2,y2=-2.6.解方程:4(3x-2)2-32=0.解:移项,得4(3x-2)2=32,方程两边同除以4,得(3x-2)2=8.两边直接开平方,得3x-2=±2,所以3x-2=2或3x-2=-2.因此,原方程的解是:x1=,x2=.第2课时配方法1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程. 【重点难点】配方法解一元二次方程.【新课导入】1.将x2+6x配成完全平方式且原整式不变(x+3)2-9.2.你能将方程x2-2x-5=0的左边配成完全平方式吗?【课堂探究】一、多项式的配方1.填空: x2-8x+16=(x-4)2.2.应用配方法把关于x的二次三项式x2-4x+6变形,然后证明:无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.解:x2-4x+6=x2-4x+4-4+6=(x-2)2+2,无论x取任何实数值,(x-1)2≥0,则(x-1)2+2>0.所以无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.二、配方法解一元二次方程3.解方程x2-2x-1=0.解:移项,得x2-2x=1,配方,得(x-1)2=2,两边开平方,得x-1=±,所以x1=1+,x2=1-.4.用配方法解方程4x2-12x-1=0.解:二次项系数化为1,得x2-3x-=0,移项,得x2-3x=,配方,得x2-3x+-2=+-2,得到x-2=,则x-=±,∴x1=+,x2=-.小结:配方法解一元二次方程的关键一步是:配方,即方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.1.配方法:通过配成完全平方式来解一元二次2.配方法解一元二次方程的步骤方程的方法. (1)移项:方程右边只有常数项,(2)化1:二次项系数化为1,(3)配方:方程化为(x+m)2=n形式,(4)开方:n≥0时,方程两边直接开方,n<0时,无解,(5)求解:解两个一元一次方程得原方程解.1.(2013某某)用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为(D)(A)(x+1)2=0 (B)(x-1)2=0(C)(x+1)2=2 (D)(x-1)2=22.用配方法解方程x2-x-1=0应该先变形为(C)(A)x-2= (B)x-2=-(C)x-2= (D)x-2=03.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为(B)(A)12 (B)15(C)12或15 (D)不能确定4.解方程:x(x+4)=21.解:原方程即x2+4x=21,配方,得(x+2)2=25,两边开平方,得x+2=±5,所以x1=-7,x2=3.5.解方程:-2x2+2x+1=0.解:化二次项系数为1,得x2-x-=0,移项,配方, 得x2-x+=+即x-2=,两边开平方, 得x-=±,所以x1=,x2=.。
21.2.1 配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p ≥0)或（m+n）=p(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）2－2＝0; （2）162－25＝0.
（3）（＋1）2－4＝0；（4）12（2－）2－9＝0.
总结归纳
如果方程能化成=p或（m+n）=p(p≥0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评。
九年级数学上册教案：直接开平方法一、教学目标1.了解直接开平方法的概念和基本性质；2.掌握用直接开平方法解二次方程的方法；3.运用直接开平方法解决实际问题。
二、教学重难点1.基本概念和基本性质；2.解二次方程的方法；3.实际问题的应用。
三、教学过程1. 概念和性质1.定义：直接开平方法是指将二次方程ax2+bx+c=0化为$(x+\\frac{b}{2a})^2=\\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ 的方法。
2.举例：将3x2−2x−1=0化为 $(x-\\frac{1}{3})^2=\\frac{10}{9}$。
3.性质1：该方法只适用于a eq0的二次方程。
4.性质2：用该方法解得的两个根之和为 $-\\frac{b}{a}$，两个根之积为$\\frac{c}{a}$。
2. 解二次方程的方法1.用直接开平方法解3x2−2x−1=0。
–将3x2−2x−1=0化为 $(x-\\frac{1}{3})^2=\\frac{10}{9}$。
–开方得到 $x-\\frac{1}{3}=\\pm\\frac{\\sqrt{10}}{3}$。
–解得 $x=\\frac{1\\pm\\sqrt{10}}{3}$。
2.用直接开平方法解2x2+4x−6=0。
–将2x2+4x−6=0化为(x+1)2=4。
–开方得到 $x+1=\\pm2$。
–解得x=−3或x=−1。
3. 实际问题的应用1.一个数的两倍与它的平方之和的差是15，求这个数。
–解方程2x−(x2+2)=15。
–化为x2−2x−17=0。
–用直接开平方法解得 $x=1\\pm\\sqrt{18}$。
–取正根 $x=1+\\sqrt{18}$。
–所求的数为 $2(1+\\sqrt{18})$。
2.一个矩形的长比宽多4，面积是24，求矩形的长和宽。
–设矩形的宽为x，则长为x+4。
–解方程(x+4)x=24。
–化为x2+4x−24=0。
–用直接开平方法解得 $x=2\\sqrt{7}-2$。
21．2.1 配方法
第1课时直接开平方法
1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．
3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．
一、情境导入
一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
二、合作探究
探究点：直接开平方法
【类型一】用直接开平方法解一元二次方程
运用开平方法解下列方程：
(1)4x2＝9；
(2)(x＋3)2－2＝0.
解析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．
解：(1)由4x2＝9，得x2＝9
4
，两边直接开平方，得x＝±
3
2
，∴原方程的
解是x
1＝
3
2
，x
2
＝－
3
2
.
(2)移项，得(x＋3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝± 2.∴x＋3＝2
或x＋3＝－ 2.∴原方程的解是x
1＝2－3，x
2
＝－2－3.
方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一
般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x
1
＝a，
x
2
＝－ a.
【类型二】直接开平方法的应用
(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分
别是m＋1与2m－4，则b
a
＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±b
a
，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1
＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2
与－2，∴b
a
＝2，∴
b
a
＝4，故答案为4.
【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用
若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝
________．
解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.
【类型四】直接开平方法的实际应用
有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？
分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然
后再用开平方计算．
解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.
方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．
三、板书设计
教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。
