第7章 三角形学案

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系［考纲解读]1。

理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点) [考向预测］从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题．预测2021年高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1．空间两条直线的位置关系（1）位置关系分类错误!错误!（2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围:错误!(0°，90°]．(3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角错误!相等或互补．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交错误!a∩α＝A□021个平行错误!a∥α错误!0个在平面内错误!a⊂α错误!无数个续表图形语言符号语言公共点平面与平面平行错误!α∥β错误!0个相交错误!α∩β＝l错误!无数个3．必记结论（1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．1．概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．（)（2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b 不可能是平行直线．(）（4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()答案(1)×(2）×（3）√（4)×2．小题热身（1）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案C解析不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m 使得m⊥l。

新苏科版七年级数学下册第七章《多边形的内角和与外角和3》学案教学三维目标知识与技能知道多边形的外角与外角和，知道三角形外角与外角的关系并进行简单应用。

过程与方法通过操作、计算认识多边形的外角，探索出三角形外角和。

情感态度与价值观经历观察、分析、操作概括等过程，培养学生探索创新的精神。

教学重点掌握三角形外角和的特点。

教学难点三角形外角和的特点的应用。

教学设计预习作业检查1、如图∠α，∠β，∠γ都是三角形ABC的外角多边形的外角是指2、（1）画出三角形的每个顶点处的一个外角，把3个外角剪下来，然后将它们的顶点A、B、C重合在同一点O，你发现什么？为什么∠α+∠β+∠γ=结论：三角形的外角和等于360°。

（2）图中∠α+∠2= °∠1+∠2+∠3= °则∠α= ，同理可以得到∠β= ∠γ=结论：三角形的任意一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和。

3、（1）根据三角形的外角画法画出五边形ABCDE的每个顶点处的一个外角。

（2）五边形的外角和等于多少度？仿照上面的方法试一试。

（3）你能求出六边形的外角和吗？（4）猜想：n边形的外角和等于多少度？结论：任意多边形的外角和等于360°教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为“15分钟温故、自学、群学”环节1、n边形的内角和等于，多边形的外角和．六边形的内角和是，外角和是．2、一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是边形．3、n边形的每个外角都是300，n=4.如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．“20分钟展示、例1．（1）一个多边形，它的外角最多有几个是钝角？说说你的理由．EDCFBAγβα312CBA4321ODCBA第4题图交流、质疑、训练、点拨、提高”环节（2）一个多边形的外角和是内角和的15，它是几边形？例2．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为多少度？例3．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A应等于90º，∠B、∠C应分别是29º和21º，检验人员度量得∠BDC ＝141º，就断定这个零件不合格．例4如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数。

解三角形知识点1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---7．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 8．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.9、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．10、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。

课题: §7．1．1 三角形的边【学习目标】1．知道三角形的边、角等有关概念，能用三角形三边关系解决有关问题；2．领会数形结合、转化、对比的数学思想和方法，从而提高分析问题和解决问题的能力．【活动方案】活动一认识三角形及相关概念1．阅读课本P63～64探究上面的内容，先独立完成下列问题，然后小组交流：（1）什么叫三角形? 什么叫等腰三角形?什么叫等边三角形?（2）如图，三角形可记作，读作；图中线段是三角形的边；点是三角形的顶点；_____是三角形的内角，简称三角形的角．图中△ABC的三边，也分别可用________表示．顶点A的对边为或_______，∠B对边为__ 或______；边AB、AC边的夹角为，∠A、∠B的夹边为．2．如右图，图中三角形的个数有（）A.4个B.5个C.6个D.8个活动二合作探究三角形的三边关系1．是否任意的三条线段都能围成三角形？同学之间利用带来的小棒进行实验．2．能围成三角形的三条线段应满足什么条件？（小组交流）如图，将其中一根小棒用橡皮筋代替，进行实验探究．有BC＜AB+AC（为什么？）结论三角形三边关系为：①．②．3．应用以上结论完成下列问题(先独立完成，后小组交流)①下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）．A.3cm，5cm ，8cmB.8cm，8cm，18cmC.0．1cm，0．1cm，0．1cmD.3cm，40cm，8cm②如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）．A、1∶2∶4B、1∶3∶4C、3∶4∶7D、2∶3∶4③若等腰三角形的两边长分别为7和8，求其周长；c bCaAB若等腰三角形的两边长分别为3和6，求其周长．④三角形两边长分别为3和6，则第三边的取值范围是．课堂小结: 请谈谈你本节课的收获．【检测反馈】1．如图，图中有个三角形，在△ABE中，边AE所对的角是，∠ABE所对的边是；边AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，边DC是的对边．2．如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）．A.5B.6C.7D.83．（1）已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长；（2）已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长．课题：§7.1.2 三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1．通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；2．会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸，了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．【活动方案】活动一认识三角形的高线、角平分线、中线．（先自己动手后小组交流）1．阅读课本P65～66页，和同伴说说什么是三角形的高、角平分线、中线?在课本上画出相关概念．2．做一个三角形纸片(△ABC)，操作并思考：（1）怎样作出一个三角形的高？（在纸上画出）高有几条？（2）用折纸的方法找出你准备好的三角形的高（3）用折纸折出的高与用三角板画出的高一致吗？（4）三角形的三条高有何特点？同样的方法研究三角形的角平分线及中线，你能得出哪些结论?活动二应用三角形的高线、角平分线、中线解决问题．独立完成下列各题，然后小组交流、展示1．如图：CD，BE是∆ABC的角平分线，它们相交于点I，则⑴∠ACD=∠= ∠ACB，∠ABC ∠ABE；⑵BI是∆的角平分线，CI是∆的角平分线；⑶若∠ABC=60度，∠ACB=80度，则∠BIC= 度；⑷你能画出∆ABC的第三条角平分线吗？2．如图：⑴若AD是∆ABC的中线，则BD= = BC，BC= BD，若BD=CD，则AD是∆ABC的；⑵已知AD是∆ABC的中线，则∆ABD的面积与∆ADC的面积有什么关系？课堂小结：学了本节课你有什么收获与体会?【检测反馈】（每题5分，共30分）1．在下列线段中，能把三角形分成两个面积相等的三角形的是（）A．角平分线B．中线C．高D．以上都不对2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是（）A．65°B．115°C．130°D．100°3．如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△的角平分线，AN为△的角平分线．4．如图，如果D是BC的中点，则AD是△ABC的，BD＝DC＝．5．画一画如图，在△ABC中：（1）画出∠C的平分线CD，（2）画出BC边上的中线AE，（3）画出△ABC的边AC上的高BF．AB CDBAＣ2C3NMB1A课题：§7.1.3 三角形的稳定性【学习目标】：1．通过实践感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性；2．感悟三角形的稳定性和四边形的不稳定性的实质；3．了解三角形的稳定性与四边形的不稳定性在生活中的应用．【活动方案】活动一自主探究，感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性1．每小组利用准备的木条（或硬纸板），用钉子钉成一个三角形木架和一个四边形木架，然后拉动它，它的形状会改变吗？实验结果：拉动三角形木架形状__________，拉动四边形木架形状__________．实验结论：三角形具有________性；四边形具有_________性．2．在四边形木架上怎样处理一下使得这个木架形状稳定？处理方法是___________________________________．画出示意图：向你的同伴说说你这样做的理由是________________________．活动二理性思考，感悟三角形的稳定性和四边形的不稳定性的实质．1．了解其他同学是怎样使得四边形木架形状稳定的？画出几种示意图：2．探究三角形稳定性和四边形不稳定性的实质：（1）用三根长度确定的木条钉成一个三角形木架，拉动时这个三角形的每个角的度数变化吗？答案是___________．（2）在问题1中也许有同学的方法如图所示：这个图中不全是三角形，但它的形状也能稳定，为什么？（可与同伴交流）结论：当三角形的各边确定时，它的_______也确定了，所以三角形具有稳定性．当四边形的各边确定时，它的_______还不确定，所以四边形具有不稳定性．所以：三角形具有稳定性的实质是：_____________________________________________．四边形具有不稳定性的实质是：___________________________________________．3．巧用三角形的稳定性：例1．如图所示，用6条钢管铰接而成的六边形钢架，为使这一钢架稳固请问至少用几根钢管？如何连接？画出你的示意图（备用图）活动三三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生活中的应用．1．在小组内交流，举例说明三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生活中的应用．2．如图，是一个四腿木椅的左视图，座的时间长了，椅子总有些摇晃，请你将修复加固的零件画在图中，并说明你这样做的道理．3．以色列国旗上有一个图案是两个叠加的黄色三角形（如图），意义是“团结、稳定”，试用你所学的数学道理加以说明．【检测反馈】（每题5分，总分30分，时间8分钟）1．摄影机架通常是三脚架，这是利用了_____________________．2．绘制图纸时经常用到的放缩尺常常设计成四边形形状，这是利用了______________________．3．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．梯形D．直角三角形4．下列各图具有稳定性的是（）A．B．C．D．5．根据三角形的稳定性，想稳定一个四边形木框，至少要钉一根木条，五边形至少要钉两根，那么六边形至少要_______根；n边形至少要_______根．课题: §7.2.1 三角形的内角【学习目标】 ：1．经历实验活动的过程，知道三角形的内角和定理，会用平行线的性质推出这一定理； 2．会应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题． 课前准备:每人准备好两个一样大的三角形（用纸裁剪） 【活动方案】活动一 发现并证明“三角形的内角和等于180°”1． 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．在小组内展示拼合的方法.2． 从上面的操作过程中，你能找到证明“三角形三个内角的和等于180°”的思路吗？在小组内说说你的思路．3．请你自选一种作辅助线的方法，证明“三角形三个内角的和等于180°”．已知：△ABC （如图）．求证：∠A +∠B +∠C =180°． 证明：活动二 三角形内角和定理的应用 1． 求下列各图中的x 值．x = ； x = ； x = ．2． 在△ABC 中，∠A =40°，∠B －∠C = 20°，求∠C 的度数．AB C31°81° 72°x °x °x °x °x °3． 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？4． 趣题设计数学小故事：在数学王国里，住着三兄弟，他们分别是一个直角三角形的三个内角．平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大——直角说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．阅读后，填空：（1）一个三角形中最多有 个直角；（2）一个三角形中最多有 个钝角； （3）一个三角形中至少有 个锐角．完成以上各题后小组交流：（1）在几何计算题中，常用什么方法进行求解？（2）第3题你是用的与课本相同的求解方法吗？还能想出其他解法吗？ （3）通过对其他解法的交流，你发现了什么？课堂小结：你学会什么？（知识和方法） 有什么收获？ 有什么质疑？ 【检测反馈】（1～4题每题5分，第5题10分，共30分） 1．求出下列图中x 的值：（每小题2分，共8分）x = ； x = ； x = ．2．（本小题10分） 如图，从A 处观测C 处时仰角∠CAD =30°，从B 处观测C 处时仰角∠CBD =45°．从C 处观测A ，B 两处时视角∠ACB 是多少？3．（本小题10分） 如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB ．北 北 A BC DE A B C x ° x ° （1）x ° x °x ° AB C （2）ACB （3）95°x ° 2x °AB DC 南北ABC课题: §7.2.2 三角形的外角【学习目标】1．使学生在操作活动中，探索并知道三角形的外角的两条性质； 2．利用学过的定理论证这些性质；3．能利用三角形的外角性质解决实际问题． 【活动方案】活动一 认识三角形的外角1． 阅读课本并思考: 把ABC ∆的一边BC 延长到D 得ACD ∠， 它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？三角形的外角的定义：_________________________________________________．2．想一想：三角形的外角有几个？(小组交流并了解它们之间的关系)活动二 探究三角形外角与内角之间的关系．1．如上图:ACD ∠与ABC ∆的内角有什么关系？（用符号语言表示） （1）___________________________________ （2）___________________________________ 归纳:你能试着用几何语言叙述这个性质吗：______________________________________________ ______________________________________________ 2．你能用学过的定理说明这些定理成立吗？ 已知：ACD ∠是ABC ∆的外角说明：（1）B A ACD ∠+∠=∠（2）A ACD ∠>∠，B ACD ∠>∠结合下面图形给予说明（先独立完成后小组交流）思考：如图：∠1、∠2、∠3是⊿ABC 的三个外角，试说明它们的和是多少？ （小组交流还有没有其他证明方法）课堂小结：今天学习到了什么 ？【检测反馈】（每空5分，共40分）1．三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角．2．ABC ∆的两个内角的角平分线交于点E ，52=∠A ，则=∠BEC ．3．已知ABC ∆的C B ∠∠,的外角平分线交于点D ，40=∠A ，那么D ∠= ． 4．在ABC ∆中，A ∠等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B ∠的两倍，那么=∠A ，=∠B ，=∠C ．课题: §7.3.1 多边形【学习目标】1．知道多边形及有关概念；2．能区别凸多边形与凹多边形．【活动方案】活动一认识多边形1．阅读课本P79图7.3-l．从书上找出几个由一些线段围成的图形，把这些图形画在下面，并试着说出它们的名称.2．⑴仿照三角形的定义给多边形定义:_____________________________________________叫做多边形．说说下图是几边形? 如何表示?⑵指出下列多边形的边、顶点、内角和外角．⑶画出以上多边形的对角线．思考：n边形的共有几条对角线呢?(组内交流)活动二识别凸多边形与凹多边形及正多边形．(先独立完成后小组交流)1．阅读课本P80．图7．3—6，说说哪个是凸多边形? 哪个是凹多边形?如何识别?2．观察下列正多边形，你能说出它们各自的特征吗?课堂小结：本课你学习了哪些知识？有哪些收获或疑惑？【检测反馈】（1-3题每空3分，4-5题每题10分，共48分）1．连接多边形_______ 的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的任何_________ 所在的直线，整个多边形都在这条直线的______________，这样的多边形叫凸多边形．3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．4．画出下图中的六边形ABCDEF的所有对角线．5．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？课题: §7.3.2 多边形的内角和【学习目标】1．知道多边形的内角和与外角和公式，进一步懂得转化的数学思想；2．通过探索多边形的内角和与外角和，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法．【活动方案】活动一 回顾三角形内角和，探究多边形的内角和．（独立思考，小组交流）1．三角形的内角和是多少度？2．你能将任意一个四边形分割成三角形吗?由此你知道四边形的内角和是多少吗？3．类似的，你能推出五边形和六边形的内角和吗？A EB 从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和D 为180°×CA E从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线 它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和B D 为180°×C归纳：从n 边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将n 边形分为 个三角形，n 边形的内角和=180°× .活动二 应用多边形的内角和解决问题．（独立完成，小组交流、展示）1．阅读课本P ．82的例1，得出下列结论:如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角 ．(画出图形，结合图形，说明理由．)2．阅读课本P82的例2至P83的内容，得出下列结论:所有多边形的外角和为 ．(画出图形，结合图形，说明理由．)DCB A课堂小结:谈谈本节课你有哪些收获？【课堂检测】: (共20分)1．求下图中x的值．（共6分）2．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）．（4分）A．80°B．90°C．170°D．20°3．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）．（4分）A．9 B．8 C．7 D．64．一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？(6分)5．一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形?（10分）课题: §7．4 课题学习镶嵌【学习目标】1．知道什么是镶嵌，会用简单正多边形镶嵌；2．在探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验．课前准备：小组内准备若干一样大的正三角形、正四边形、正六边形．【活动方案】活动一会进行单一正多边形的镶嵌．（小组合作完成）1．阅读课本P87的内容，和组员说说什么是镶嵌?2．操作与思考:⑴小组合作将正三角形进行镶嵌．⑵小组合作将正四边形、正六边形进行镶嵌．思考：哪几种正多边形能进行镶嵌? 为什么？活动二会进行两种正多边形的镶嵌．（小组合作完成）1.小组合作是否能将正三角形、正四边形镶嵌成一个平面图形？怎样做？2.小组合作是否能将正三角形、正六边形镶嵌成一个平面图形？怎样做？3.在小组内交流，1、2两题中的两个正多边形为什么能镶嵌？再想想还有其它两种正多边形能形成镶嵌吗？活动三会进行单一任意形状的多边形的镶嵌．1.小组将任意形状、大小相同的三角形拼拼看，能否镶嵌成平面图案？2.小组将任意形状、大小相同的四边形拼拼看，能否镶嵌成平面图案？3.交流1、2题中能镶嵌的道理，再想想还有其它单一任意形状的多边形的能镶嵌成平面图案吗？课堂小结:本节课你有哪些收获？【检测反馈】（每题10分，共30分）1．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就拼成一个平面图形．2．用一种正多边形铺满整个地面的正多边形有三种，分别是．3．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）．A 正方形B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形。

ca bAB C第一课时三角形的边一、新课导入1、三角形是我们早已熟悉的图形,你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？2、对于三角形,你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？二、学习目标1、三角形的三边关系。

2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

(一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程.研读一、认真阅读课本(P63至P64“探究”前，时间：5分钟）要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。

一边阅读一边完成检测一。

检测练习一、1、的图形叫三角形。

2、如图线段AB，BC,CA是三角形的，点A，B,C是三角形的，∠ A、∠ B、∠ C是 ,叫做，简称。

3、用符号语言表示上图的三角形.顶点是的三角形，记作，读作：。

4、按照三个内角的大小，可以将三角形分为5、三角形按边可分为研读二、认真阅读课本( P64“探究”，时间:3分钟）要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边；游戏：用棍子摆三角形.检测练习二、6、在三角形ABC中，AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有路线。

路线最近，根据是: ，于是有：（得出的结论） .8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？(1）3、4、8 （2)5、6、11 （3）5、6、10研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟）要求:(1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。

(2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的?(3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。

检测练习三、9、一个等腰三角形的周长为28cm。

①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长；②已知其中一边的长为6cm，求其它两边的长.（要有完整的过程啊！)解：（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？四、归纳小结(一）这节课我们学到了什么? （二）你认为应该注意什么问题?五、强化训练【A】组1、下列说法正确的是（1）等边三角形是等腰三角形（2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（3）三角形的两边之差大于第三边（4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形其中正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（ )A、1B、2C、3D、43、下列长度的各边能组成三角形的是（）A、3cm、12cm、8cmB、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6。

图（4）CB A 设计人：李军刚 审核：初一数学组 NO.57【课前热身】1.90°的角叫做直角， 叫做锐角， 叫做钝角.2.三角形内角和是3.如图(1)所示，直线l 与直线l 外一点A ，点B 、C 、D 是直线l 上的点，且AD ⊥l ，线段AB 、AC 、AD 中，最短的是线段 ，理由是： .B DC B A C B A图（1） 图（2） 图（3）4.量出图（2）中，线段AB 、AC 、BC 的长度.5.预习教材144-145页，回答下列问题： （1）由不在同一条直线 组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的 ；相邻两边的公共端点叫做三角形的 .（2）三角形的表示：如图(2)所示，“三角形ABC ”用符号表示为： .（3） ，叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图（2）所示,三角形的角是：（4） 叫做三角形的外角.如图(2)所示,三角形的外角是 .6.预习教材145页，回答下列问题：（1） 叫做等腰三角形，如图（3）所示，在△ABC 中，AB=AC ，则它的腰是 ，顶角是 ，底角是 ，底边是 .（2） 叫做等边三角形，也叫做 .7.预习教材146页，回答下列问题： （1） 叫做锐角三角形.（2） 叫做钝角三角形.（3） 叫做直角三角形；如图（4）所示，∠C=90°，直角三角形记作： ，AB 叫做直角三角形的 ，AC 、BC 叫做直角三角形的 .D CB A 【学习目标】1.了解三角形的内角、外角等有关概念，认识等腰三角形、等边三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.2.能将三角形按照边、角进行分类.3.通过探究，发现三角形的三边关系，会判断长度已知的三条线段能否组成三角形.【学习过程】一、交流展示1.请同学们对[课前热身]的题目进行5分钟交流.2.展示[课前热身]的第5题 [小试牛刀]观察图形，回答问题：⑴ 图中有 个三角形，它们分别是⑵指出△ADC 的角分别是 ， ⑶∠BDC 是△BCD 的 角，是△ACD 的 角.⑷CD 是△ADC 与△BDC 的公共边吗？⑸∠BCD 是△ACD 的外角吗？⑹画出与△BCD 的内角∠B 相邻的外角.3.展示[课前热身]的第6题.[小试牛刀]思考下列问题：⑴等边三角形与等腰三角形是什么关系？⑵就三角形的边长而言，除等腰三角形外，还有其他情况吗？[归纳总结]：按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩_____________三角形_______________ _______________4.展示[课前热身]的第7题[小试牛刀]⑴三角形按照角进行分类为：（2）在直角三角形中 ，哪条边最长，为什么？（3）在一个三角形中，最多有 个锐角， 个直角， 个钝角.CB A 二、探究·交流·发现1.看老师的的演示.2.观察[课前热身]第4题中的三角形三边的长度.比较三角形任意两边的长度和与第三边的大小有什么关系？概括：如图：AB+BC>AC,AB+AC>BC,AC+BC>AB[拓展提高]（1）你能用以前我们学过的什么知识来解释我们得到的结论？[小试牛刀]分别用下列长度的三条线段作为边长，能组成三角形吗？为什么？（1） 4，10，6 （2）5, 6, 7[技巧总结]：三、综合应用1.等腰三角形的周长为21厘米，如果它的一边长为5厘米，求其他两边的长.[技巧总结]四、生活中的数学1.有人说自己的步子很大，一步能走两米多，你能相信吗？为什么？五、课堂小结谈谈本节课你学习到的知识.六、当堂测试1.一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2.下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）A.2，3，5B. 5，6，10C. 1，1，3D.3，4，93.等边三角形的边长为6cm ，则等边三角形的周长是 cm4.一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm15.1三角形课后案【基础知识】1．如图所示，共有( )个三角形.A.5个B.6个C.7个D.8个2．如图，三角形被遮住的两个角不可能是（ ）Ａ．一个锐角，一个钝角 Ｂ．两个锐角Ｃ．一个锐角，一个直角 Ｄ．两个钝角3.下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边的和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形是等腰三角形，其中正确的说法个数是（ ）A.1B.2C. 3D.44.在活动课上，小红已有两根长为4cm ，8cm 的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长为 cm.5.小华要从长度分别为5cm,6cm,11cm,16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是 .【拓展应用】1.用7根火柴首尾顺次相接摆成一个三角形，能摆成的不同三角形的个数有几个？2.平面上有四个点A 、B 、C 、D ，用他们为顶点组成三角形，能有几种不同的情形？每种情形中，能组成几个三角形？第2题3．如图，△ＡＢＣ的边上有２００9个点1D 、2D 、…、2009D ，分别连结1D Ａ、2D Ａ、…、2009D Ａ．试设法探索出图中共有多少个三角形？D 2005D 2D 1CB A解：三角形的个数为：2010＋2009＋2008＋…＋２＋１＝（１＋2010）×2010÷２＝2021055按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按边分类：⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形等边三角形（正三角形）按边分类：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形。

§1.1 正弦定理高考导航CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.2 余弦定理高考导航和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3b=，c=，求三角形的最大内角．a=，4变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222+=，则角C是直角；a b c若222+<，则角C是钝角；a b c若222+>，则角C是锐角．a b c※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C.2D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC⋅的值.§1.3 正弦定理和余弦定理（练习）高考导航已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC中，已知 A ＝6π，a ＝，b ＝二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6π，a ＝25，b ＝； ② A ＝6π，a ，b ＝ ③ A ＝6π，a ＝50，b ＝.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？※典型例题例1. 在∆ABC中，已知80a=，100b=，45A∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1a=，12c=，40C∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。

5上－第7章－数学广角·植树问题－02基本题型－2封闭路线植树植树问题2：封闭路线植树1、封闭路线的类型。

⑴曲线图形，如圆，椭圆、半圆等。

⑵折线图形：如三角形、正方形、五角星等。

2、数量关系。

有2组数量关系。

⑴总长、间距和段数之间的关系：总长＝间距×段数段数＝总长÷间距间距＝总长÷段数⑵段数和棵数的关系。

一端植树：棵数＝段数⑶这两组关系通过“段数”相联通。

3、重要提示。

⑴曲线图形，不用考虑点上的树会重复计算。

⑵折线图形：如三角形、正方形、五角星等图形上植树，如果每个顶点都要植树。

可以这样考虑：①将点单独计算，算边上棵数时，不把点上的棵数计算在内；②每边上都有两点，将一点算在一边上，另一点算在另一边上，形成首尾相接的图形；③每边都统计点上的棵数，最后从总数中减去点数。

封闭路线植树：巩固练习1、封闭路线的类型。

⑴曲线图形，如、、等。

⑵折线图形：如、、等。

2、数量关系。

有2组数量关系。

⑴总长、间距和段数之间的关系：总长＝段数＝间距＝⑵段数和棵数的关系。

一端植树：棵数＝⑶这两组关系通过相联通。

3、重要提示。

⑴曲线图形，不用考虑点上的树会重复计算。

⑵折线图形：如三角形、正方形、五角星等图形上植树，如果每个顶点都要植树。

可以这样考虑：①将点单独计算，算边上棵数时，不把点上的棵数计算在内；②每边上都有两点，将一点算在一边上，另一点算在另一边上，形成首尾相接的图形；③每边都统计点上的棵数，最后从总数中减去点数。

知识点1、曲线图形：求总长、段长、段数、棵数。

例1-1、一个圆形水库，每隔9米种1棵柳树，共种了300棵，这个水库一周有多长？分析：这是封闭线路上植树问题，总长＝段数×段长解：9×300＝2700（米）答：这个水库一周长2700米。

例1-2、一个圆形水库一周长2700米，共种了300棵柳树，每两棵柳树之间是几米？分析：这是封闭线路上植树问题，段长＝总长÷段数解：2700÷300＝9（米）答：每两棵柳树之间是9米。