_圆的方程_教学实录与反思

教学反思——圆的标准方程圆是我们在学习了曲线方程后初次运用所学知识讨论已知曲线的方程，在初中学生已经学习过圆的几何性质，并且前面讨论了直线与方程，因此该部分的重点是运用解析几何来体现圆的性质，在第一课时的教学中，我的教学设计分了以下几步：一、情景创设通过多媒体展示“嫦娥二号”升空过程，指出其在宇宙中的飞行轨迹近似是一个圆，让同学类比直线与方程的思想，探究是否可以在平面直角坐标系中用方程表示圆。

该情境不仅引入本节新课的课题，还升华了学生的爱国主义情操，为我国的高科技迅速发展感到骄傲，同时也激励了学生努力学习，将来做一个对国家有用的人。

二、探究新知$提问：“如何确定一个圆”“在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的曲线方程的求解，应该如何建立圆的方程”（学生推导）：建立平面直角坐标系，设M （x,y ）是圆上任意一点，因为点M 到圆心C 的距离等于r,所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为r b y a x =-+-22)()( ①把①式两边平方，得(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2 ②根据曲线与方程思想，确定②为在平面直角坐标系中圆的标准方程。

此处通过学生分组合作探究，不仅是对数学知识技能的提高，还锻炼了学生自主思考、主动探索、积极合作的能力。

并且我在教学中以比赛的性质鼓励学生，通过学习上的成功引发学生继续学习的兴趣，为后续知识的学习提供了良好的环境。

三、经典例题1、已知圆的方程为(x+1)2＋(y ＋3)2＝2；《⑴指出圆的圆心和半径（进一步分析圆标准方程的特征）⑵点A(1,-2)在圆上吗点B （4，1）呢能给出确定点与圆的位置关系的一般方法吗2、求出满足下列条件的圆的方程⑴圆心在（1，-3）且与X 轴相切⑵半径为2且与X 轴Y 轴都相切⑶求以点C(1,3)为圆心，并和直线3470x y --=相切的圆的方程。

该部分我着重以曲线与方程思想为主体，用解析几何诠释圆的几何性质。

对圆的一般方程的教学反思几何学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小和位置关系。

而对于圆的一般方程的教学，旨在让学生了解圆的基本特性以及如何使用数学的语言来描述圆。

然而，在教学实践中，我发现一些问题和困惑，以下是对圆的一般方程的教学反思。

一、教学目标设定不够明确在课堂上，我发现学生对于圆的一般方程往往存在一些混淆和误解。

这可能是因为我在设定教学目标时不够明确。

在今后的教学中，我打算明确地表达教学目标，例如“通过学习，学生应该能够理解圆的一般方程并能够使用它来解决相关问题”。

二、缺乏实际应用的示例在教学中，我往往只注重理论的讲解，而忽略了实际应用的示例。

这导致学生对于圆的一般方程的应用能力有所欠缺。

在今后的教学中，我计划引入一些实际生活中的例子，如汽车的轮胎、建筑物的圆形窗户等，以激发学生对于圆的一般方程的兴趣，并帮助他们将理论与实际问题相结合。

三、教学方法单一在我以往的教学中，主要采用了讲解和演示的形式，缺乏互动和多元化的教学方法。

这使得学生的参与度较低，难以全面理解和掌握圆的一般方程。

为了改变这种情况，我打算采用更多的小组讨论、问题解决和实践操作等活动，以提高学生的学习兴趣和主动性。

四、评价方式不够灵活在对学生的学习成果进行评价时，我通常只使用传统的笔试形式，这往往无法全面地反映学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。

因此，在今后的教学中，我计划采取更多的形式，如小组讨论、项目展示和实践操作，以便全面了解学生的学习情况。

总结：通过对圆的一般方程的教学反思，我意识到教学目标设定、实际应用示例、教学方法和评价方式等方面存在的问题。

在今后的教学中，我将更加明确地设定教学目标，并引入实际应用的示例，采用多样化的教学方法，灵活运用评价方式，以提高学生对于圆的一般方程的理解和应用能力。

我相信通过这些改进，学生对于圆的一般方程的学习效果将会得到进一步提高。

圆的一般方程教学反思圆的一般方程教学反思1成功之处：“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。

通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

根据本节课的内容及学生的`实际水平，我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。

教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，使教学目标更完美地体现。

不足之处：本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。

总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。

培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。

具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。

<圆的一般方程教学反思2数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。

这是对数学与生活的精彩描述。

数学是生活的组成部分，数学问题来源于生活，而应用于生活。

生活中常用的各种知识像按比例分配水电费、计算储蓄利息、日常购物问题均发生在身边，我们买东西、做衣服、外出旅游，都离不开数学。

既然如此，那么，数学教师能否布置让学生写日记或周记之类的“数学生活”手记呢?让学生把用数学知识解决生活中实际问题的事例、感受或自己的独特想法记录下来，让他们体验到生活须臾离不开数学，从而增强他们对数学的应用意识，使其对数学产生亲切感和浓厚的兴趣，并且养成事事、时时、处处吸收运用数学知识的习惯，调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。

圆的标准方程教学反思引言圆是数学中十分基础的概念，在高中数学课程中的学习也占据了重要的地位。

圆的标准方程的教学也是其中的一部分，对于学生来说，掌握圆的标准方程不仅是考试需要，更是掌握圆的基础知识的必要条件。

但是，在教学中我们是否真正将圆的标准方程教好了呢？本文将对圆的标准方程的教学进行反思，并提出一些改进的建议。

圆的标准方程首先，我们需要清楚什么是圆的标准方程。

圆是平面内与给定定点距离相等的所有点组成的集合，这个定点被称为圆心，所有在圆上的点到圆心的距离都相等。

圆的标准方程就是对于一个圆心坐标为(a,b)，半径为r的圆，其满足以下方程：(x−a)2+(y−b)2=r2教师在讲解时或让学生灵活运用这个方程时，往往都是通过举一些例题进行讲解，但存在一些问题。

问题反思在教学中，我们常常将一些例子作为教材引导学生掌握概念。

但是用一些例子作为教材，很容易使得学生对概念的掌握停留在“做这道题的方式”上，而没有对概念本质的深入理解。

关于圆的标准方程的教学，我们也存在这样的问题。

用例题引导学生掌握圆的标准方程，使得学生在掌握了基本的解题思路之后，对圆这一概念的本质没有进一步的理解。

此外，在教学过程中，也存在着一些先入为主的问题。

我们总是习惯于把某些概念“规定死”，这样很容易形成一种“题海战术”，给学生带来消极的影响。

例如，在讲解圆的标准方程时，教师总是将其解释成“一个圆的标准方程只有一种形式”，这就导致了学生在学习过程中，很难想到将圆的标准方程表示成不同的形式。

最后，教材的内容也是需要反思的。

在教学中，我们多数情况下都是使用教材中的例题进行讲解与训练。

然而，这些例子中的问题都是“规范的”，很难贴近实际，这就导致了学生在学习后，往往难以将概念应用于实际问题中。

这一点尤其需要引起教师的注意。

在授课过程中，我们不仅要教授基本概念，还要着重训练学生的实际运用能力。

解决方案对于圆的标准方程的教学，我们可以尝试着进行相应的改进。

高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。

优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。

高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。

(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。

2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。

(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。

7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。

7代入，得即在离隧道中心线2。

7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

圆的标准方程王翠花睢县回族高级中学一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)六、板书设计七、教学后反思本节课的教学设计，通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣，然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程，使学生的探究活动贯穿始终。

圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。

2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。

二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。

2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。

三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。

3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。

它包括圆心、半径的信息。

c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。

4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。

可以用勾股定理表示。

c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。

-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。

-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。

其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。

d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。

5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。

《圆的标准方程》教学反思
这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。

它的研究方法坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。

如果学生掌握得好，后面的学习“圆锥曲线与方程”会轻松许多。

标准方程的推导，先通过学生的切身体验，来发现决定圆的要素圆心和半径，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以（3,5）为圆心，4为半径的圆的标准方程，再由特殊到一般，归纳出以（a,b）为圆心,r为半径的圆的标准方程。

并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆。

例题教学的设计，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。

例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。

课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标。

这节课几乎是按自己的教学设计顺利完成。

在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。

另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。

对“圆的一般方程”的教学反思“圆的一般方程”一直是高中生学习的难点和重点，此部分知识具有一定的抽象性，使得高中生在学习中经常出现吃力的状况，甚至产生厌学心理，无法激发高中生的数学潜能。

基于此，本文就“圆的一般方程”的教学设计展开探讨，供广大教师参考。

标签：苏教版高中数学圆的一般方程教学设计教学案例引言圆的一般方程（x2+y2+Dx+Ey+F=0且D2+E2-4F〉0），高中生要想快速掌握，需要具备一定的基础知识。

教师在“圆的一般方程”授课阶段，需要结合高中生的学习特点，以高中生为主体，合理设置教学问题，严格做好教学设计，确保高中生能够主动探究，高效学习。

一、“圆的一般方程”教学要注重推导过程的详细讲解众所周知，圆的标准方程为（x-a）+（y-b）=r2，高中生对圆的标准方程都有非常细致的了解。

在此种情况下，教师就可以通过圆的标准方程推导圆的一般方程，将圆的标准方程（x-a）+（y-b）=r2的左边展开，整理得到圆的一般方程。

然后教师还要利用配方法，将一般方程化为标准方程的形式，从而让学生在对比中了解半径、圆心坐标的求法。

圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程式的特点，便于区分曲线的形状。

在标准方程和一般方程的互化过程中，每位学生对圆的一般方程有了更加准确的了解，为后续的教学奠定了坚实的基础。

二、“圆的一般方程”教学要注重问题引导问题训练对培养高中生发散思维，数学思维能力等多要素有着非常重要的意义，在苏教版高中数学课本中，涉及“圆的一般方程”的数学习题非常多。

教师要引导高中生探索一些与圆有关的数学习题，帮助高中生锻炼数学思维能力，提升高中生的数学综合素养。

又因为x+y+3x+1=（x+1）+（y+2）x+1=1+y+2x+1，所以题目转化为求y+2x+1的最小值，令k=y+2x+1，则k表示半圆上的点和点P（-1，-2）连线的斜率，当这条直线与圆相切时斜率最小，设切点为Q，分别连接OQ、OP，设直线的方程为y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，所以|OQ|=|k-2|1+k2=1，解得k=34，所以原式的最小值为1+34=74。

案例分析㊀㊀ 圆的一般方程 教学实录与反思曾小娟１ꎬ张朋举２(１.江苏省南京市大厂高级中学ꎬ２１００４４ꎻ２.江苏省南京师范大学附属扬子中学ꎬ２１００４８)㊀㊀章建跃博士认为 教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键. 纵观现在的高中数学课堂教学设计ꎬ大致分三类:一是 基于教材 ꎬ二是 基于考试 ꎬ三是 基于经验 ꎬ以上三类教学设计的存在都有其特定的原因.然而ꎬ任何行业都有自己的质量标准ꎬ数学的教学应该基于«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»中的内容标准ꎬ确定教学目标ꎬ合理设计问题任务和师生活动.近日ꎬ笔者在一次区教研活动中ꎬ开设了一节 圆的一般方程 (苏教版)公开课ꎬ获得了学生与听课老师的好评.下面笔者将本节课的课堂实录与大家分享㊁交流ꎬ如有不妥ꎬ恳请斧正.１㊀学习目标(１)回顾圆的标准方程ꎬ由圆的标准方程展开ꎬ归纳记忆圆的一般方程的代数特征ꎬ掌握方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０表示圆的条件.(２)通过配方法能把圆的一般方程化为圆的标准方程ꎬ掌握一般方程与标准方程的关系. (３)能用待定系数法求圆的方程ꎬ培养学生探索发现及解决问题的能力.(４)渗透数形结合㊁化归与转化等数学思想方法ꎬ提高学生的整体素质ꎬ激励学生创新ꎬ勇于探索.２㊀教学重难点重点:圆的一般方程代数特征ꎬ以及用待定系数法求圆的方程.难点:二元二次方程与圆的一般方程的关系及圆的一般方程的应用.３㊀课堂实录环节１:问题驱动ꎬ引入课题问题１:回顾上节课学习的圆的标准方程ꎬ并判断下列方程是否是圆的方程ꎬ如是ꎬ指出圆心和半径.①(ｘ－１)２＋(ｙ＋２)２＝４ꎻ②(ｘ－１)２＋(ｙ＋２)２＝ａ２ꎻ③(ｘ－１)２＋(３ｙ＋２)２＝１９ꎻ④ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋４ｙ＋１＝０.生:①表示以(１ꎬ－２)为圆心ꎬ２为半径的圆ꎻ②当ａʂ０时ꎬ表示以(１ꎬ－２)为圆心ꎬ｜ａ｜为半径的圆ꎬ当ａ＝０时ꎬ表示点(１ꎬ－２)ꎻ③不是圆的方程ꎻ④通过配方ꎬ方程可以化为①ꎬ所以④表示以(１ꎬ－２)为圆心ꎬ２为半径的圆.师:太棒了.问题２:直线方程是一个二元一次方程ꎬ二元一次方程也能表示直线ꎬ问题１中④方程表示圆ꎬ那么④方程是什么样的方程?生:关于ｘ㊁ｙ的二元二次方程.师追问:圆的方程未必要写成标准形式(比如④)ꎬ关于ｘ㊁ｙ的二元二次方程都能表示圆吗?生:不是ꎬ比如问题１中③展开为ｘ２＋９ｙ２－２ｘ＋１２ｙ－１４＝０ꎬ但不表示圆.问题３:什么样的二元二次方程表示圆?生:将圆的标准方程展开后得到的二元二次方程可以表示圆ꎬ换言之ꎬ即可以通过配方变回标准方程的.师:非常好ꎬ为了简洁ꎬ可把上述方程写成:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０ꎬ可见任何一个圆的方程都可以写成这样的形式.反过来ꎬ方程:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０ꎬ一定表示圆吗?生众:不一定.设计意图:引导学生回顾圆的标准方程ꎬ为新知识的学习做好必要的服务和预备知识ꎬ唤醒学生在研究曲线方程问题方面的知识储备.学生通过类比的思想ꎬ从特殊到一般尝试解决问题２㊁３ꎬ了解圆的方程两种形式之间可以互化.环节２:探究方程ꎬ形成概念问题４:方程:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０在什么条件下表示圆的方程?２４活动１:将学生分成６个学习小组ꎬ思考㊁谈论ꎬ达成共识.生１:通过配方ꎬ可见ꎬ当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝０时ꎬ方程:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０表示以－Ｄ２ꎬ－Ｅ２æèçöø÷为圆心以Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ２为半径的圆ꎻ当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝０时ꎬ表示点－Ｄ２ꎬ－Ｅ２æèçöø÷(如问题１②中ａ＝０的情况)ꎻ当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ<０时ꎬ不表示任何图形.师:非常好ꎬ通常把ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０(Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ>０)称为圆的一般方程.问题５:圆的一般方程有何特点?和圆的标准方程相比有何联系?活动２:学生独立思考后ꎬ以小组为单位讨论㊁交流㊁完善ꎬ达成共识ꎬ并写下来(教师巡视).生２:①ｘ２和ｙ２的系数均为１ꎻ②没有ｘｙ这样的二次项ꎻ③含有Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ三个参数.师:总结得很好ꎬ那么和圆的标准方程相比有何联系?请同学代表上台展示成果.生３:将圆的标准方程展开即得圆的一般方程ꎬ将圆的一般方程配方即得圆的标准方程ꎬ对比如下表(利用实物投影展示成果).师:同学们总结非常好.圆的标准方程圆的一般方程方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２(ｒ>０)ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０(Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ>０)圆心(ａꎬｂ)－Ｄ２ꎬ－Ｅ２()半径ｒＤ２＋Ｅ２－４Ｆ２特征突出其 形 的几何特征突出其数 数 的方程特征㊀㊀问题６:对于一般的二元二次方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０能够表示圆吗?生４:可以ꎬ根据圆的一般方程的特点ꎬ必须有Ｂ＝０ꎬＡ＝Ｃʂ０.师:都赞同吗?生５:不全面ꎬ必须有Ｂ＝０ꎬＡ＝Ｃ＝１ꎬＤ２＋Ｅ２－４Ｆ>０.师:现在全面了?都同意吗?生６:不同意ꎬ结合１㊁２两位同学给出的条件ꎬ上式表示圆的条件应该为:Ｂ＝０ꎬＡ＝Ｃʂ０(不一定等于１)ꎬＤ２＋Ｅ２－４ＡＦ>０.众生纷纷点头.师:太棒了ꎬ认真欣赏圆的方程的两种形式ꎬ如此对称和谐ꎬ完美匹配圆的几何形态.设计意图:在方程探究的过程中ꎬ用 慢节奏 教学ꎬ充分调动学生积极参与知识的学习ꎬ让学生经历联系与对比ꎬ有利于学生知识的建构ꎬ进而培养联系的观点.环节３:深化理解ꎬ简单应用问题７:(１)请同学们给出一些二元二次方程ꎬ让同桌判定是否表示圆?若是ꎬ指出圆心和半径.(２)若(２ｍ２＋ｍ－１)ｘ２＋(ｍ２－ｍ＋２)ｙ２＋ｍ＋２＝０的图形表示一个圆ꎬ则ｍ的值是㊀㊀.生:省略.问题８:求过三点Ａ(０ꎬ１)㊁Ｂ(２ꎬ１)㊁Ｃ(３ꎬ４)的圆的方程.片刻后ꎬ成果展示.生７:(法１)设圆的标准方程:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２(ｒ>０)代入Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点得到关于ａ㊁ｂ㊁ｒ的三个方程ꎬ解方程组的圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－３)２＝５.生８:(法２)设圆的一般方程:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０(Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ>０)代入Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点得到关于Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ的三个方程构成方程组ꎬ解得圆的一般方程:ｘ２＋ｙ２－２ｘ－６ｙ＋５＝０.生９:(法３)先求ＡＢ和ＡＣ的中垂线方程ꎬ则两中垂线的交点即为所求圆的圆心ꎬ由此可得半径ꎬ所以圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－３)２＝５.师:以上展示了三种解法ꎬ大家认为哪种解法更简洁?生１０:法１㊁法２从 数 的角度ꎬ利用待定系数法求方程ꎬ应该法２利用一般式较好ꎬ因为法１构造的是三元二次方程组ꎬ计算繁琐.生１１:法３从 形 的角度ꎬ利用圆的几何性质从而解得圆的标准方程ꎬ和法１殊途同归ꎬ因为法１所得方程消去ｒ后的方程即为两中垂线方程.师:太棒了ꎬ搞清了方法的本质ꎬ３种方法ꎬ如何选择?生１２:已知圆上的三点多用一般方程求解ꎬ容易确定半径和圆心的选用标准方程求解.师:结合问题ꎬ请同学们合理选择解题方法.当３４然ꎬ如果圆上给出的三点构成直角三角形ꎬ则圆心就是直角三角形斜边的中点ꎬ这样就更轻松得到圆的方程.设计意图:通过问题７(１)的设置ꎬ培养学生提出问题的能力ꎬ增强问题意识.通过问题８的探究ꎬ让学生明白用待定系数法求曲线方程是重要的手段之一ꎬ对待定系数再认识.让学生体会求圆的方程时ꎬ恰当选用圆的方程的必要性ꎬ提高学生解决问题时方法择优意识.环节４:总结提炼ꎬ反思升华问题９:通过本节课ꎬ你学到哪些知识?体会了哪些思想?自我评价下本节课的学习情况ꎬ有什么收获?生:掌握了圆的一般方程ꎬ知道了圆的一般方程和标准方程的区别和联系.生:体会了数形结合㊁等价转化及分类讨论的思想ꎬ学会了用待定系数法求圆的方程.生:一道题有多种方法可求解ꎬ要学会方法的比较㊁选择㊁优化.师:都说得非常好ꎬ这节课我们不仅学习了以上的知识ꎬ还领略到了数学思想和意识ꎬ这些思想和意识是解决数学问题的关键和灵魂.设计意图:在师生互动中ꎬ既锻炼了学生的表达能力ꎬ又提升了学生对本节知识㊁方法的提炼㊁理解.４㊀教后反思４.１㊀注重教学目标引领目标设计不是给别人看的ꎬ必须在教学中有与之匹配的学习活动.实用的学习目标是有效教学活动的前提ꎬ导向着学习行为ꎬ影响着学习效果.教师应从教学课堂需要㊁学生能力和素养的需要出发ꎬ对内容标准分解成为清晰的㊁可检测的学习目标ꎬ使每一个分目标都能附着在认知加工的某个活动或活动阶段中ꎬ进而设计匹配的学生活动.这样ꎬ教师的教学才会显得更加清晰明确ꎬ课堂才会更加高效.本节课ꎬ笔者根据课标和学情ꎬ确立了４个清晰的教学目标ꎬ设计了４个环节ꎬ对应了９不同的问题ꎬ让课堂教学的每一个环节都具有针对性.比如:目标(１)对应环节１ꎬ通过３个有效问题导学ꎬ从学生学习的最近发展区出发ꎬ由圆的标准方程展开ꎬ归纳出圆的一般方程ꎬ环节３中ꎬ问题７和问题８的解决ꎬ实现了 通过配方法能把圆的一般方程化为圆的标准方程ꎬ能用待定系数法求圆的方程 这一要求ꎬ进而落实目标(３).４.２㊀注重有效问题导学问题导学 可以看作是对 讲授法 的改进ꎬ设计具备 导学 功能的 问题 是促进教学有效性达成的途径.问题是数学的心脏ꎬ它既是数学思维活动的载体ꎬ也是数学教学活动的载体.数学教学应该围绕有效的问题进行ꎬ有效的问题和问题解决能引起学生的思考ꎬ促进教学的有效性.本节课ꎬ笔者共提出了９个问题ꎬ形成问题串ꎬ使每个新知识有机整合ꎬ启发学生思考.通过问题１㊁２㊁３让学生产生圆的一般方程的直观猜想ꎻ通过问题４㊁５㊁６ꎬ引导学生进一步探究ꎬ对圆的一般方程有了本质认识ꎬ同时和圆的标准方程对比ꎬ发现两个方程间的联系ꎻ问题７和８的设置ꎬ旨在运用圆的两种方程形式解题ꎬ加深学生对圆的一般方程的认识ꎬ提高学生解题时选择方法的意识ꎻ问题９有效地促进了学生的反思ꎬ升华了对知识的理解ꎬ同时培养了学生归纳概括的能力.在这些有效问题的导学下ꎬ学生探究深入而且流畅ꎬ课堂结构严谨而且高效.参考文献:[１]张朋举. 目标分解ꎬ问题导学 下课堂教学设计与思考[Ｊ].中小学数学(下旬)ꎬ２０１７ꎬ(９):１９－２３.[２]缪林ꎬ季刚祥.问题驱动思维ꎬ探究促成高效 圆的一般方程教学过程即感悟[Ｊ].中学数学教学参考(上旬)ꎬ２０１６ꎬ(１－２):４３－４５. [３]宁连华ꎬ蔡甜甜.对学生发现和提出问题的理性思考与建议[Ｊ].江苏教育ꎬ２０１８ꎬ(６７):２１－２４.[４]于川ꎬ朱小岸ꎬ邬楠ꎬ等.高中生数学学科核心素养水平调查及分析[Ｊ].数学教育学报ꎬ２０１８ꎬ２７(２):５９－６４.[５]张舒ꎬ曹一鸣. 问题 理论 与 方法 :如何做好数学教育研究 论国家数学教育委员会前秘书长ＭｏｇｅｎｓＮｉｓｓ教授[Ｊ].数学教育学报ꎬ２０１８ꎬ２７(６):５０－５４.[６]蔡甜甜ꎬ宁连华.数学教材章头课的理性分析及数学建议[Ｊ].数学通报ꎬ２０１８ꎬ５７(４):２２－２６.４４。