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二次根式的化简及运算一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab＝a·b（a≥0，b≥0）2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
a b ＝ab（a≥0，b＞0）4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a b ＝ab（a≥0，b＞0）二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
类似于合并同类项。
化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘；2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。
总结：1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。
例题1a b c d ex－31－27 1231 （1）除实数a 外，与k 的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。
解析：（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，可求k 的值。
1. 已知，则的取值范围是（）．A．B．C．D．2. 设4-的整数部分为，小数部分为，则的值为（）．A．1-B．C．D．-3．成立，那么的取值范围是（）．A．B．C．D．或4．若，则可化简为（）A．B．C．D．5．已知，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果最简根式和是同类根式，那么的值是（）A．a=1，b=1 B．a=1，b=-1 C．a=-1，b=1 D．a=-1，b=-17．已知，则的值为__________．8．化简：(7－5)2000·(－7－5)2001＝__________．9．化简：__________．10．若是一个正整数，则正整数m的取小值是________．11．比较大小：________（填>、=或<）。
12．代数式的最小值是________．13．在中，，则AC=__________．14．计算：（1）÷；（2）；（3）；（4）.15．如图，在四边形ABCD中，，求AB．参考答案：1．C ；提示：，∴2．A ；提示：∵，∴4-的整数部分2，小数部分4--2=2-，∴=1-3. B；提示：由4. C；提示：∵∴原式==|x-y|+|x+y|=y-x-x-y=-2x5. B；提示：∵，，∴，原式=6. A；提示：由题意得，解得7．5；提示：∵=8. ；提示：原式=9．；提示：∵∴10. 5；提示：=，∴m最小值=5时，是一个正整数。
11．＜；提示：＜12. 13；提示：设A（0,2）,B（x,0）,C(12,3),原式可看成即AB+BC的最小值，如图所示，作A关于x轴的对称点，连接，为AB+BC的最小值，，∴13．；提示：过C作CD⊥AB的延长线于D点，如图所示，由勾股定理可得：，解得14．（1）原式===2（2）原式==2-3-36+=（3）原式==4（4）原式==15．提示：延长AD，与BC延长线交于点E，如图所示，则∠E=30°，则在Rt△CDE 中，CE=2CD=4，BE=BC+CE=7，在直角三角形ABE中，2AB=AE，∴AB=。
二次根式训练题一、选择题1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（A （B （C（D2.a 的取值范围是（ ）（A ）0a ≥ （B ）0a ≤ （C ）3a ≥ （D ）3a ≤3.被开方数相同的是（ ）（A ） （B（C （D4.已知1a >a 的结果正确的是（ ）（ A ）12a - （B ）21a - （C ）1- （D ）15.下列计算正确的是（ ）（A 4== （B 112==（C ）5+= （D =6、若ba 是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b a 二、填空题：1、当 时，xx －11-在实数范围内有意义。
2、在a ，2a ，4，2+x ，12-x 中，是二次根式的有： 。
3、请列举三个与20是同类二次根式的式子： 。
4、比较大小：)"","",""--=f p 填。
5、若024=-++b a ，则=ab 。
6.若 72=m ，则m=_________.7.若4)(2=a ,则a=____；若 42=a ，则a=______.8若a ，b ，c 是三角形的三边，则_______4)4(2=+-+--a b b a 9、把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是________________ 10、10001001)52()52(+⋅-＝ 。
三、计算题：1、x x x 26416++2、521312311⨯÷ 3、)2781(2112--- 4、)63)(23()132(2+-+-5、若82--y x +12++y x =0 求x y6、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+xx7、已知102-=x ，求代数式642--x x 的值8、分)把下列各式写成平方差的形式，再分解742-a 2223y x -．。
一、选择题1．下列运算正确的是（ ）．A +=B ．3=C =D 2= 2．下列各式中，正确的是（ ）A ．3=B 3=±C 3=-D 3= 3．下列计算正确的是( )A =±B ．=C =D 2=4．的结果估计在（ ） A ．10到11之间 B ．9到10之间C ．8到9之间D ．7到8之间5．已知0<x<3，化简=的结果是（ ）A ．3x-4B ．x-4C ．3x+6D ．-x+66x 的取值范围是（ ）A ．1≥xB ．1x >C ．1x ≤D ．1x =7．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A B C D 8．下列计算中，正确的是（）A ．=B ．10==C ．(33+-=-D ．2a b =+ 9．下列各式不是最简二次根式的是（ ）A B C D 10．下列运算正确的是（ ）A +=B 132= CD ．1)1=11． ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．已知a =，b =，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无法确定二、填空题13．已知关于x 的不等式(2)2a x a +>+的解集为1x <______．14．3÷-__．15．若6y =，则xy 的平方根为________．16．已知4y x =+，当x 分别取1，2，3，⋯，99时，所对应的y 值的总和是___．17．若1＜x ＜4=___________18．已知263(5)36m n m -+-=-m n -=_______．19．比较大小：“＞”、“＜”或“＝”）．20．11|1()2--+的值是_____ 三、解答题 21．计算：（1）1301(2)(2)53π-⎛⎫+-⨯-+ ⎪⎝⎭；（2）21)-++-． 22．计算：（1+（2）23．计算：（11-+（2）3)(3--24．计算：（1（2）32⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭25．（1（2）计算：21)2)+；（3）用适当的方法解方程组：3,43 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩26．计算：（12- （2） 248(31)(31)(31)(31)1++++-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．【详解】A ∴A 选项不符合题意；B 选项：原式=∴B 选项不符合题意；C 选项：原式==∴C 选项符合题意；D =∴D 选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键． 2．D解析：D【分析】根据二次根式的性质化简判断．【详解】A 、3=±，故该项不符合题意；B 3=，故该项不符合题意；C 3=，故该项不符合题意；D 3=，故该项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据二次根式的性质进行化简和计算，然后进行判断即可．【详解】解：A =，所以此选项错误；B ，33==⨯=C -D ，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．4．D解析：D 【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为4的范围，即可得出答案．【详解】解：原式4=== ∵34<<，∴748<<，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 5．A解析：A【分析】先根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．【详解】解：∵0<x<3∴2x+1＞0，x-5＜0∴=2x+1+x-5=3x-4．故答案为A．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可．【详解】解：由题意得：x-1≥0，解得：x≥1，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．7．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．【详解】A是最简二次根式，此项符合题意；B===C aD==故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．8．C解析：C【分析】根据二次根式的加法、乘法运算法则对每个选项的式子计算，判断正误即可．【详解】A 、=A 选项错误．B 、=B 选项错误．C 、22(339123+-=-=-=-，故C 选项正确．D 、2a b =+，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的加法、乘法运算，熟记二次根数的加法、乘法运算法则是解题关键．9．D解析：D【分析】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可．【详解】A 是最简二次根式，故本选项错误；B 是最简二次根式，故本选项错误；C 是最简二次根式，故本选项错误；D =，不是最简二次根式. 故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式条件，是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式运算求解即可.【详解】A. 原式不能合并，不符合题意；B. 原式==C.原式=D. 原式=2−1=1，符合题意，故选：D.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.11．B解析：B【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．【详解】被开方数不同，故不是同类二次根式；被开方数不同，故不是同类二次根式；被开方数相同，故是同类二次根式；2被开方数相同，故是同类二次根式．2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．12．B解析：B【分析】将a=，b=进行分母有理化，再比较即可．【详解】解：451451 515151a，46262 626262b，∵<1<∴16+<+∴a b<．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据不等式的性质得到再根据二次根式的性质化简即可【详解】∵的解集为∴∴故答案为：-a-2【点睛】此题考查不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数不等号的方向改变以及二次根式的性质及化简 解析：2a --【分析】根据不等式的性质得到20a +<，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵(2)2a x a +>+的解集为1x <，∴20a +<，∴|2|(2)2a a a =+=-+=--．故答案为：-a-2．【点睛】此题考查不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，以及二次根式的性质及化简，掌握不等式的性质是解题的关键．14．【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可得到答案【详解】解：原式＝3÷3﹣2＝﹣2＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查了二次根式的混合运算二次根式的性质解题的关键是掌握运算法则进行计算解析：【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，即可得到答案．【详解】解：原式＝﹣【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则进行计算．15．±3【分析】根据二次根式有意义的条件求出x 进而求出y 根据平方根的概念解答即可【详解】解：要使有意义则x-3≥0同理3-x≥0解得x=3则y=6∴xy=18∵18的平方根是±3∴xy 的平方根为±3故答解析：．【分析】根据二次根式有意义的条件求出x ，进而求出y ，根据平方根的概念解答即可．【详解】有意义，则x-3≥0，同理，3-x≥0，解得，x=3，则y=6，∴xy=18，∵18的平方根是，∴xy 的平方根为，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 16．105【分析】先化简二次根式求出y 的表达式再将x 的取值依次代入然后求和即可得【详解】解：①当时此时②当时此时当分别取12399时故答案为：105【点睛】本题考查了二次根式的化简求值绝对值运算等知识点解析：105【分析】先化简二次根式求出y 的表达式，再将x 的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】解：434y x x x =+=--+，①当3x 时，|3|3x x -=-，此时43472y x x x x =+=--+=-， 1x =，725y x =-=，2x =，723y x =-=，3x =，721y x =-=，②当3x >时，33x x -=-，此时4341y x x x =-+=--+=，∴当x 分别取1，2，3，⋯，99时，4y x =+，5311(993)105=+++⨯-=．故答案为：105．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．17．【分析】原式利用二次根式的性质得到然后利用的范围去绝对值后合并即可【详解】∵原式故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键解析：52x -【分析】 原式利用二次根式的性质得到41x x ---，然后利用x 的范围去绝对值后合并即可．【详解】∵14x <<，原式41x x =---()()41x x =----4152x x x =-+-+=-．故答案为：52x -．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 18．-2【分析】先根据二次根式的定义判断出m 的范围从而化简绝对值再根据非负性分别求解mn 的具体值从而得出结果【详解】由题意：则∴原式化简为：即：根据非负性：∴故答案为：-2【点睛】本题考查二次根式的定义 解析：-2【分析】先根据二次根式的定义判断出m 的范围，从而化简绝对值，再根据非负性分别求解m ，n 的具体值，从而得出结果．【详解】由题意：()230m n -≥，则3m ≥，630m -<，∴原式化简为：236(5)36m n m -+-=-即：2(5)n -，根据非负性：()25030n m n -=-=，， ∴53n m ==，，352m n -=-=-，故答案为：-2．【点睛】本题考查二次根式的定义，及绝对值的非负性，熟练根据定义进行推理证明是解题关键． 19．＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内再比较大小即可【详解】∵==＜∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键解析：＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】 ∵，∴故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．20．【分析】直接利用二次根式的性质绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质正确掌握相关运算法则是解题关键解析：3【分析】直接利用二次根式的性质，绝对值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】11|1()2---+21=3=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．三、解答题21．（1）0；（2）7-【分析】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂，再计算有理数的乘法与加法即可得；（2）先利用平方差公式、完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．【详解】（1）原式3(8)15+-=⨯+，385=-+，0=；（2）原式5231=-+-，7=-【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、乘法公式、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．22．（1）6；（2）7．【分析】（1）利用二次根式的除法运算计算后，再分别计算算术平方根，相加、减即可； （2）利用二次根式的除法运算计算后，再分别计算算术平方根，相加、减即可．【详解】解：（1）原式=3-2+5=6；（2==4-3+6=7．【点睛】0,0)a b=≥>是解题关键．23．（1）；（2）-15．【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则计算即可；（2）根据平方差公式计算．【详解】（1）原式=6-（2）原式=22(33(3)92415-+--=--=-=-【点睛】本题考查了二次根式的加减法及平方差公式，掌握二次根式的加减法的运算法则是解题的关键．24．（1；（2）【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（2）用单项式乘多项式的法则进行二次根式的混合运算．【详解】解：（1（2）+⎝⎭【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式的混合运算等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．（12）2+；（3）21xy=⎧⎨=-⎩【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类项即可解答；（2）先利用完全平方公式、平方差公式运算，再合并同类项即可解答；（3）根据加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：原式510=⨯+=2=；（2）解：原式2134=++-2=+（3）3,43 5.x yx y-=⎧⎨+=⎩①②解：3⨯+①②，得714x=，解得2x=，把2x=代入①，得23y-=，解得1y=-，所以方程组的解为21xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式、解二元一次方程组，熟记公式，掌握二次根式的性质和二元一次方程组的解法是解答的关键．26．（1）52；（2）16332-【分析】（1）先由二次根式的性质、立方根、绝对值的意义进行化简，然后进行计算，即可得到答案；（2）由平方差公式进行化简，然后得到答案．【详解】解：（1）原式31322=++52=；（2）原式248(31)(31)(31)(31)(31)12-++++=-16163133122--=-=．【点睛】本题考查了平方差公式，实数的混合运算，二次根式的性质，以及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．。
解析平方根和立方根1、 算术平方根（1）定义:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
即:如果a x =2（x ≥0）,则a x =。
a读作“根号a 或二次根号a ”,a 叫做被开方数,2叫根指数,可以省略,简写为a 。
规定:0的算术平方根是0。
（2）性质:①正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
②()20a a =≥()()00a a a a a ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩ 注意:a 的双重非负性,即00a ≥≥⎪⎩（3）被开方数与算术平方根的关系当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时,它的算术平方根也缩小。
一般来说,被开方数扩大（或缩小）a 倍,算术平方根扩大（或缩小）a 倍,如:25＝5,2500＝50。
2、 平方根（1）平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根。
即:如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根,表示为()0x a =≥,其中a 叫做被开方数。
（2）性质:①正数有两个平方根,它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
注意:① 开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义；② 乘方与开方互为逆运算。
3、 立方根（1）定义:如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,即:如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根,读作:“三次根号a ”。
其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
（2）性质:①正数有一个正的立方根；②0的立方根是0；③负数有一个负的立方根。
注意:任何数都有唯一的立方根。
公式:3a ==)0a =>。
注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（3）被开方数与立方根的关系当被开方数扩大时,它的立方根也扩大；当被开方数缩小时,它的立方根也缩小。
第16章 二次根式 专题训练 二次根式的运算与化简求值类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 2．计算： (1)24＋0.5－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋6. (2)248－1813＋318－818；(3)32－212－418＋348. (4)239x ＋6x 4－2x 1x. (5)a 2b ＋ab a －b a b－ab 2. (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝ ；(2)（－14）×（－112）＝ ； (3)－0.45－0.5＝ ； (4)59÷127＝ . 4．计算：2318÷(－3)×1327.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. (2)12－1＋3(3－6)＋8. (3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.(4)（－3）2＋18－6×22； (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. (6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2.(2)(32＋12)(18－23)． (3)(3＋2)2－(3－2)2. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4.9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求yx y ＋x yx的值．16．已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值.(1)x2－y2；(2)＋.参考答案类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 【答案】2 2．计算： (1)24＋0.5－⎝⎛⎭⎪⎫18＋6. 解：原式＝6＋14 2. (2)248－1813＋318－818；解：原式＝83－63＋92－2 2 ＝23＋7 2. (3)32－212－418＋348. 解：原式＝83＋2 2. (4)239x ＋6x 4－2x 1x . 解：原式＝3x . (5)a 2b ＋ab a －ba b－ab 2. 解：原式＝a b －b a . (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.解：原式＝－1＋4－4＋23＋1－3 3 ＝－ 3.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝ ；(2)（－14）×（－112）＝ ； (3)－0.45－0.5＝ ； (4)59÷127＝ .【答案】1 28 2 31010 15 4．计算：2318÷(－3)×1327.解：原式＝⎝⎛⎭⎫－23×1318×13×27＝－29×9 2 ＝－2 2.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 【答案】12 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. 解：原式＝1＋2＋4＝7. (2)12－1＋3(3－6)＋8. 解：原式＝4.(3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.解：原式＝－9 2.(4)（－3）2＋18－6×22； 解：原式＝3＋32－32＝3. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. 解：原式＝(62－22＋42)÷2 2 ＝82÷2 2 ＝4.(6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.解：原式＝2.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2. 解：原式＝8＋215. (2)(32＋12)(18－23)． 解：原式＝6.(3)(3＋2)2－(3－2)2. 解：原式＝4 6. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；解：原式＝（2－3）2023×（2＋3）2023×（2－3）＝[（2－3）×（2＋3）]2023×（2－3）＝－1×（2－3）＝－2＋3.(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； 解：原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)× (2＋3－5－2＋3－5) ＝22×(23－25) ＝46－410.(6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．解：原式＝(3＋2)(3－2)[]（3＋2）－（3－2） ＝(9－2)×2 2 ＝14 2.类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4. 解：原式＝a 2－4＋a －a 2 ＝a －4.当a ＝5＋4时，原式＝5＋4－4＝ 5. 9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.【解】原式＝·＝－·＝－.当x ＝－1时，原式＝－＝－.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.解：原式＝x 2－1－3x ＋1×x （x ＋1）x －2＝（x ＋2）（x －2）x ＋1×x （x ＋1）x －2＝x (x ＋2)．把x ＝3－2代入，原式＝(3－2)(3－2＋2)＝3－2 3. 类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．解：∵x －3≥0，3－x ≥0， ∴x ＝3，∴y ＝－3， ∴x －y ＝6.12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？ 解：当x ＝15时，5x －1＋4的最小值为4.类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值． 解：原式＝(7＋43)(7－43)＋(2＋3)(2－3)＋ 3 ＝2＋ 3.类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值． 解：原式＝ab (a －b ) ＝4 2.15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求y xy ＋xyx 的值．解：∵x ＋y <0，xy >0，∴x <0，y <0， ∴原式＝y ·xy －y ＋x ·xy－x＝－2xy ＝－4 3. 16．已知x ＝1－，y ＝1＋，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值. 【解】∵x ＝1－，y ＝1＋，∴x －y ＝(1－)－(1＋)＝－2， xy ＝(1－)(1＋)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x ＝3＋，y ＝3－，求下列各式的值.(1)x 2－y 2； 【解】∵x ＝3＋，y ＝3－，∴x ＋y ＝3＋＋3－＝6， x －y ＝3＋－(3－)＝2， ∴x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝6×2＝12.(2)＋.【解】∵x＝3＋，y＝3－，∴x＋y＝3＋＋3－＝6，xy＝(3＋)×(3－)＝4，∴＋＝＝＝＝＝7.。
二次根式基本定义及其应用一、二次根式的定义一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。
注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0≥a 是a 为二次根式的前提条件，如5，12+x ，)1(1≥-x x 等是二次根式，而3-，52--x 等都不是二次根式。
二、二次根式的判定三、二次根式有意义的条件1. 单独的二次根式：被开方数大于等于0，如7，5等；2. 含有分母的二次根式：被开方数大于等于0，分母不等于0，二者要综合考虑，如：x 1），001(≠≥x x； 3. 二次根式永远有意义：被开方数为完全平方加正数，如22。
总结：1. 二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容；2. 所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式。
例题1 已知，y ＝20-x ＋x -30，且x 、y 均为整数，求x ＋y 的值。
解析：先求出x 的取值范围，再根据x ，y 均为整数，可得x 的值，再分情况得到x ＋y 的值。
答案：由题意知：20≤x≤30，又因为x ，y 均为整数，所以x －20，30－x 均需是一个整数的平方，因而x 只可以取21或29，当x ＝21时，y ＝4，x ＋y 的值为25；当x ＝29时，y ＝4，x ＋y 的值为33。
故x ＋y 的值为25或33。
点拨：考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x 、y 均为整数，得到x －20，30－x 均需是一个整数的平方。
例题2 已知点P （x ，y ）在函数y ＝x x-+21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0。
从而可以得到x ＜0，由x 2＞0，0≥-x 可以得到x x -+21＞0，∴y ＞0，即可求出点P 所在的象限。
二次根式特殊求值法一、二次根式具有双重非负性1。
非负性：)0(≥a a 是一个非负数。
包含双重非负性:a≥0；0≥a注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2。
二次根式基本性质：二次根式 化简根据()()a aa 20=≥注意：此性质既可正用，也可逆用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。
a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数；（2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替；(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外。
3。
公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系(1)a 2表示一个数的平方的算术平方根，a 的范围是一切实数；（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数；（3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的。
二、二次根式整数部分、小数部分确定一个二次根式的整数部分与小数部分，应先判断已知二次根式的取值范围，从而确定其整数部分,然后再确定其小数部分，小数部分=原数－整数部分。
如253<<，是整数部分为2，小数部分为52-。
总结:1. 注意使用根式性质进行化简；2. 化简时要注意被开方数中含有完全平方时开方结果是本身还是相反数，同时更要注意根号外的式子向根号内移动时,整体的正负性。
例题1 把二次根式（x －1）x-11中根号外的因式移到根号内，结果是（ )A. x -1B. −x -1C. −1-xD. 1-x 解析：根据二次根式的性质及二次根式的化简将括号外的数移到括号内时，要考虑正负数带来的影响。
答案：解：∵x-11≥0且1－x≠0，∴1－x ＞0，∴x－1＜0，∴（x －1）x -11=－xx --11)1(2=−x-1。
故选B 。
二次根式的化简及运算一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
4.二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
类似于合并同类项。
化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘；2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。
总结：1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。
例题1（1）除实数a 外，与k 的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。
解析：（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，可求k 的值。
答案：解：（1）∵|b －k|＝|－31|＝33，|c －k|＝|－27|＝33，|d －k|＝12＝23，|e －k|＝31＝33， ∴与k 的差的绝对值最大的实数是c ；（2）依题意，得a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33， 五式相加，得a ＋b ＋c ＋d ＋e －5k ＝x －3，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，所以x －3＝0，即x ＝3。
例题2 设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab 2D. 0.1a 2b 解析：先把54.0化为2、3的形式，再把a 、b 代入计算即可。
答案：解：∵54.0＝3209.0⨯⨯＝0.32•3，2＝a ，3＝b ，∴54.0＝0.3ab 。
故选A 。
点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。
有条件的根式求值利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。
例题 已知x 、y 为正数，且x （x ＋y ）＝3y （x ＋5y ），求yxy x y xy x -+++32的值。
解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。
答案：由已知条件得x －2xy －15y ＝0。
∴（x ＋3y ）（x －5y ）＝0，∵x ＋3y ＞0，∴x －5y ＝0， ∴x ＝5y ，x ＝25y ，∴yxy x y xy x -+++32＝y y y y y y -+++5253550＝yy2958＝2。
赋予新定义解决赋予一个新的运算定义的一类题，关键是理解新定义运算的含义，继而进行综合运算。
例题 若a ＋b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数。
（1）3与 是关于1的平衡数，5－2与 是关于1的平衡数； （2）若（m ＋3）×（1－3）＝－5＋33，判断m ＋3与5－3是否是关于1的平衡数，并说明理由。
解析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；（2）根据所给的等式，解出m 的值，进而再代入判断即可。
答案：（1）由题意得，3＋（－1）＝2，5－2＋（－3＋2）＝2， ∴3与－1是关于1的平衡数，5－2与－3＋2是关于1的平衡数。
（2）不是。
理由如下：∵（m ＋3）×（1－3）＝m －3m ＋3－3， 又∵（m ＋3）×（1－3）＝－5＋33，∴m －3m ＋3－3＝－5＋33， ∴m －3m ＝－2＋23。
即m （1－3）＝－2（1－3）， ∴m ＝－2。
∴（m ＋3）＋（5－3）＝（－2＋3）＋（5－3）＝3∴（m ＋3）与（5－3）不是关于1的平衡数。
（答题时间：45分钟）一、选择题 1. 化简aa3-的结果是（ ） A. a 3-B. a 3C. −a 3-D. 3-2. 下列运算错误的是（ ） A. －2)(π-＝π B.（−2.0）2＝0.2C. 210-＝10－1＝0.1D.（32）2＝32×（2）2＝18*3. 估算23250-的值（ ） A. 在0与1之间 B. 在0与2之间 C. 在2与3之间D. 在3与4之间**4. 已知y 1＝2x ，y 2＝12y ，y 3＝22y ，y 4＝32y …，y 2014＝20132y ，则y 1•y 2014等于（ ）A. 2x 2B. 1C. 2D. 2**5.=k ＝（ ）A. 3－15B. 3＋10＋15C. 310-－15D. 3＋10－15二、填空题*6. 若a －b ＝2＋3，b －c ＝2－3，则代数式a 2－2ac ＋c 2的值为 。
*7.10414-的整数部分为a ，小数部分为b ，则b a +1＋ ba -1＝ 。
**8. 非零实数x 、y 满足（20132+x －x ）（20132+y －y ）＝2013，则yx y x ++20122012＝ 。
**9. 若[x]表示不超过x 的最大整数（如[343]＝3，[－π]＝－4等），根据定义计算下面算式：[2121⨯-]＋[3231⨯-]＋…＋[2012201120121⨯-]＝ 。
三、解答题*10. 给出三个整式a 2，b 2和2ab 。
（1）当a ＝3－1，b ＝3＋1时，求a 2＋b 2＋2ab 的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。
请写出你所选的式子及因式分解的过程。
**11. 已知：y ＝x 81-＋18-x ＋21，求代数式2++x y y x −2-+xyy x 的值。
**12. 解阅读此题的解答过程，回答问题：化简：ab ab b a b a a 322442+--（0＜a ＜2b ）。
解：原式＝a b ab b a b a a 322442+--＝ab ab a b b a a )44(222+-- （1）＝22)2(2ab a ab b a a -- （2）＝22a b a a b a -⋅- （3）＝22a a ba b a -⋅- （4） ＝ab（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ； （2）请写出错误的原因： ； （3）写出本题的正确解答过程。
1. C 解析：由aa 3-可知，a ＜0，原式＝－)3()(2aa --＝－a 3-，故选C 。
2. A 解析：A. －2)(π-＝－π，本选项错误；B.（−2.0）2＝0.2，本选项正确；C. 210-＝10－1＝0.1＝10－1＝0.1，本选项正确；D.（32）2＝32×（2）2＝18，本选项正确，故选A 。
3. C 解析：23250-＝232250÷-÷＝5－6，∵2＜6＜3，∴－2＞－6＞－3，∴5－2＞5－6＞5－3，即2＜5－6＜3，∴2＜23250-＜3，故选C 。
4. C 解析：∵y 1＝2x ，∴y 2＝12y ＝x 22＝x 2；∴y 3＝22y ＝x22＝2x ；y 4＝32y ＝x 2；∴y 2014＝x 2，∴y 1·y 2014＝2x ·x2＝2。
故选C 。
5. D 解析：原式可化为)23)(35)(25(2235-++=-+k ，即2235-+k ＝3＋，∴k 3＝33＋30－35，即k ＝3＋10－15。
故选D 。
6. 16 解析：由已知两式相加，得：a －c ＝4，∴a 2－2ac ＋c 2＝（a －c ）2＝42＝16。
7.3310+ 解析：由10414-＝10−2，又3＜10＜4，∴0＜10−3＜1，∵10414-的整数部分为a ，小数部分为b ，则a ＝1，b ＝10−3，从而b a +1＋b a -1＝222aa b -＝3310+。
故答案为：3310+。
8. －1 解析：根据题意可知，当x ＋y ＝0，即x ＝－y 时，（20132+x －x－y ）＝2013恒成立，则y x y x ++20122012＝y y y y +-+-20122012＝yy20112011-＝－1。
故答案为：－1。
9. 2011 解析：2121⨯-＝)212)(212(212⨯+⨯-⨯+＝2212⨯+，而1＜1＋22＜2。
所以[2121⨯-]＝1，设第n ＋1个式子是：nn n ⨯--)1(1＝))1()()1(()1(n n n n n n nn n ⨯-+⨯--⨯-+＝nnn n ⨯-+)1(＝1＋n n 1-，则[nn n ⨯--)1(1]＝[1＋nn 1-]＝1，故可求得每个式子均为1，所以所求式子的和为2011。
10. 解：（1）当1,1a b ==时，2222()12a b ab a b ++=+=；（2）若选22,a b ，则22()()a b a b a b -=+-11. 解：根据二次根式有意义，得1−8x ≥0，8x −1≥0，解得x ＝81，∴y ＝21，2++xyy x − 2-+x yy x ＝2441++− 2441-+＝425－49＝25－23＝1。
12. 解：（1）（4） （2）∵0＜a ＜2b ，∴2b －a ＞0，∴a －2b ＜0，∴|a －2b|＝2b －a ，负数的绝对值等于它的相反数，不等于它本身（3）解：原式＝a b ab b a b a a 322442+--＝ab ab a b b a a )44(222+--＝22)2(2ab a ab b a a --＝22a b a a b a -⋅-(2)2a a b a b a --⋅-－ab。
