2012高三数学一轮复习阶段性测试题(10)：统计与概率1

.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级名学生的考试成绩，从中随机抽取了名学生的成绩，就这个问题来说，给出以下命题：①名学生是总体；②每个学生是个体；③名学生的成绩是一个个体；④样本的容量是.以上命题错误的是(填序号).解析名学生的成绩是总体，其容量是，名学生的成绩组成样本，其容量是. 答案①②③.(·柳州、北海、钦州三市联考)某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有个，个，个，个销售点.为了调查产品的质量，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本，记这项调查为①；在丙城市有个特大型销售点，要从中抽取个调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为.解析①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；②丙城市特大销售点数量不多，使用简单随机抽样即可.答案分层抽样、简单随机抽样.某中学有高中生人，初中生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取人，则为.解析样本抽取比例为)＝，该校总人数为＋＝，则)＝，故＝.答案.在一个容量为的总体中抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则，，的大小关系是.解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等.答案＝＝.(·武昌调研)已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：行调查，则：()样本容量为；()抽取的高中生中，近视人数为.解析()由题意知，样本容量为( ＋＋)×＝.()抽取的高中生中，近视人数为××＝.答案() ().(·湖南卷)在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为～号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间[，]上的运动员人数是.解析从人中用系统抽样方法抽取人，则可将这人分成组，每组人，从每一组中抽取人，而成绩在[，]上的有组，所以抽取人.答案.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取名学生.解析由题意知应抽取人数为×＝.答案.(·青岛模拟)某班级有名学生，现要采取系统抽样的方法在这名学生中抽出名学生，将这名学生随机编号～号，并分组，第一组～号，第二组～号，…，第十组～号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为的学生.。

.在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：①在这件产品中任意选出件，全部是一级品；②在这件产品中任意选出件，全部是二级品；③在这件产品中任意选出件，不全是二级品.其中是必然事件；是不可能事件；是随机事件(填序号).答案③②①.把红、蓝、黑、白张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是事件(填“对立”、“不可能”、“互斥但不对立”).解析由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.答案互斥但不对立.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是.解析乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，且两种情况互斥，故所求概率为＋＝.答案.设事件，，已知()＝，()＝，(∪)＝，则，之间的关系一定为(填“互斥事件”或“对立事件”).解析因为()＋()＝＋＝＝(∪)，所以，之间的关系一定为互斥事件.答案互斥事件.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字，，，，，)，事件表示“朝上一面的数是奇数”，事件表示“朝上一面的数不超过”，则(＋)＝.解析将事件＋分为：事件“朝上一面的数为，”与事件“朝上一面的数为，”.则，互斥，且()＝，()＝，∴(＋)＝(＋)＝()＋()＝.答案.(·南通调研)从装有个红球、个白球的袋中任取个球，则所取的个球中至少有个白球的概率是.解析记“从中取出个小球全是红球”为事件，则表示“所取的个球中至少有个白球”，从个红球，个白球的袋中任取个小球，共有种不同的试验结果.∴()＝，从而()＝－()＝.答案.从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，给出以下事件：①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有二个红球.那么互斥而不对立的事件是(填序号).解析对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个事件互斥而不对立.答案④.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，若红球有个，则黑球有个.解析摸出黑球的概率为－－＝，口袋内球的个数为÷＝，所以黑球的个数为×＝.答案.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[，)上为一等品，在区间[，)和[，)上为二等品，在区间[，)和[，]上为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取件，则其为二等品的概率是.解析由频率分布直方图可知，一等品的频率为×＝，三等品的频率为×＋×＝，所以二等品的频率为－(＋)＝.用频率估计概率可得其为二等品的概率为. 答案位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为.。

阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(2011·淄博一中期末)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )A ．15,16,19B ．15,17,18C ．14,17,19D ．14,16,20[答案] B [解析]50600＋680＋720＝140，600×140＝15,680×140＝17,720×140＝18，故选B.2．(文)(2011·山东实验中学期末)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样[答案] B[解析] ①总体中高收入、中等收入、低收入家庭有明显差异，故用分层抽样；②总体容量与样本容量都较小，故采用简单随机抽样．(理)(2011·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．15%C ．30%D ．45%[答案] D[解析] ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P (x <60)＝0.05， ∴P (90<x <120)＝12(1－2P (x <60))＝0.45，故选D.3．(文)(2011·四川资阳市模拟)对总数为m 的一批零件抽取一个容量为25的样本，若每个零件被抽取的概率都为14，则m 的值为( )A ．200B ．150C ．120D ．100 [答案] D[解析] ∵25m ＝14，∴m ＝100.(理)(2011·黄冈期末)某农科院在3×3的9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.156 B.17 C.114 D.314[答案] C[解析] 从9块试验田中选3块有C 39种选法，其中每行每列都有一块试验田种植水稻的选法有6种， ∴p ＝6C 39＝114.4．(文)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，向量a ＝(m ，n )和向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是( )A.56B.16C.712D.512 [答案] D[解析] ∵夹角θ为锐角，∴错误!，∴错误!， 又∵m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的结果数为15. 而连掷两次骰子得到的结果数为36， ∴满足条件的概率是P ＝1536＝512.(理)(2011·福州市期末)如图所示，正方形的四个顶点分别为O (0,0)、A (1,0)、B (1,1)、C (0,1)，曲线y ＝x 2经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A.12B.14 C.13 D.25[答案] C[解析] 阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|10＝13，正方形面积为1，∴p ＝13，故选C. 5．(文)(2011·福州市期末)如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1、a 2的大小不确定[答案] B[解析] ∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，故只须看个位数的和，乙的个位数总和37，甲的个位数字和为20＋m <37，∴a 2>a 1，故选B.(理)(2011·巢湖质检)在如图所示的茎叶图中，若甲、乙两组数据的中位数分别为λ1，λ2，平均数分别为μ1，μ2，则下列判断正确的是( )A.λ1>λ2，μ1<μ2 B ．λ1>λ2，μ1>μ2 C ．λ1<λ2，μ1<μ2 D ．λ1<λ2，μ1>μ2[答案] B[解析] 由茎叶图知λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝19.9，μ2＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故选B. 6．(文)(2011·温州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a ，b 是不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．(理)(2011·丰台区期末)有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种[答案] B[解析] 先安排甲有2种方法，其余4名同学可安排余下4天的任意一天值日，∴共有2A 44＝48种不同安排方法．7．(文)已知函数f (x )＝sin a π3x ，a 等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y ＝f (x )在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )A.13B.12 C.23 D.56[答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a ＝1,2时，y ＝f (x )在[0,4]上的零点少于5个；当a ＝3,4,5,6时，y ＝f (x )在[0,4]上的零点至少有5个，故P ＝46＝23，选C.(理)(2011·蚌埠二中质检)(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案] D[解析] T 3＝C 25(3y )5－2(x )2＝10xy ＝10，∴y ＝1x(x >0)，故选D. 8．(2011·咸阳模拟)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a ，则a 的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4[答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a ＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.9．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．点P 在直线l 2的右下方B ．点P 在直线l 2的右上方C ．点P 在直线l 2上D ．点P 在直线l 2的左下方[答案] D[解析] 易知当且仅当a b ≠12时，两条直线只有一个交点，而a b ＝12时有三种情况：a ＝1，b ＝2(此时两直线重合)；a ＝2，b ＝4(此时两直线平行)；a ＝3，b ＝6(此时两直线平行)．而投掷一颗骰子两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P 1＝236＝118，P 1＋P 2i所对应的点为P (118，1112)，易判断点P (118，1112)在直线l 2：x ＋2y ＝2的左下方，选D.10．(2011·河北冀州期末)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋9＝50x －102＋y －102＋1＋1＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝12，∴|x －y |＝4. 11．(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6[答案] B[解析] 以点O 为圆心，半径为1的半球的体积为V ＝12×43πR 3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P 到点O 的距离大于1的概率为P (A )＝1－23π8＝1－π12，故选B.12．(2011·江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A.4.5 C ．3.15 D ．3[答案] D[解析] 线性回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∵x －＝4.5，y －＝11＋t4，∴11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，∴t ＝3，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2011·浙江宁波八校联考)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．[答案] 1211[解析] 抽样比1503000＝120，第1组抽出号码为11，故第61组抽出号码为11＋20×(61－1)＝1211.14．(文)设集合A ＝{x |x 2－3x －10<0，x ∈Z }，从集合A 中任取两个元素a ，b 且a ·b ≠0，则方程x 2a＋y 2b＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________． [答案]310[解析] A ＝{x |－2<x <5，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3,4}，由条件知，(a ，b )的所有可能取法有：(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x 2a ＋y 2b ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，应有a >b >0，∴有(2,1，)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)共6种，∴所求概率P ＝620＝310.(理)如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________．[答案]115[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法6×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115.15．(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．[答案] 37[解析] ∵|AB →|＝k 2＋1≤4，∴－15≤k ≤15，∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0得2k ＋4＝0，∴k ＝－2，∵BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k (2－k )＋3＝0，∴k ＝－1或3，由AC →·BC →＝0得2(2－k )＋12＝0，∴k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3， ∴所求概率p ＝37.(理)(2011·豫南九校联考)(1－ax )2(1＋x )6的展开式中，x 3项的系数为－16，则实数a 的值为________． [答案] 2或3[解析] 展开式中x 3的系数为1×C 36－2a C 46＋a 2C 56＝－16，∴a 2－5a ＋6＝0，∴a ＝2或3.16．(文)(2011·山西太原调研)在圆O 上有一定点A ，则从这个圆上任意取一点B ，使得∠AOB ≤30°的概率是________．[答案] 16[解析] 如图∠AOE ＝∠AOF ＝30°，当点B 落在EAF 上时，∠AOB ≤30°， ∵∠EOF ＝60°，∴所求概率p ＝60°360°＝16.(理)(2011·河北冀州期末)从集合{－1，－2，－3,0,1,2,3,4}中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于．．．1，则取出这样的子集的概率为________．[答案] 835[解析] 从8个数中任取4个共有C 48＝70种取法，两数之和为1的取法有：－1＋2，－2＋3，－3＋4,0＋1共4种，要使取出的四个数中任何两数之和不等于1，则每组中的两个数只能取1个，故共有24种取法，故所求概率p ＝1670＝835.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x －甲＝85，x －乙＝85，甲的方差为S 2甲＝35.3，S 2乙＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由．(3)若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件A ，其概率为P (A )；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件B ，其概率为P (B )．则P (A )＋P (B )＝P (A ＋B )成立吗？请说明理由．[解析] (1)作出如图所示茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下： ∵x －甲＝85，x －乙＝85，S 2甲＝35.5，S 2乙＝41， ∴x －甲＝x －乙，S 2甲<S 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． (3)不成立．由已知可得P (A )＝68，P (B )＝78，P (A )＋P (B )＝138.而0<P (A ＋B )<1.所以P (A )＋P (B )＝P (A ＋B )不成立．[点评] P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )成立的条件是A 和B 互斥，而此问题中的A 和B 是不互斥的，故P (A )＋P (B )＝P (A ＋B )不成立．18．(本小题满分12分)某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．(1)估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数； (2)估计参赛学生成绩的中位数；(3)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．[解析] (1)设90～140分之间的人数是n ，由130～140分数段的人数为2人，可知0.005×10×n ＝2，得n ＝40. (2)设中位数为x ，则0．35＋(x －110)×0.045＝0.2＋(120－x )×0.045，解得x ＝3403≈113，即中位数约为113分．(3)依题意，第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A 1、A 2、A 3、A 4；第五组共有2人，记作B 1、B 2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 1，A 4}、{A 2，A 3}、{A 2，A 4}、{A 3，A 4}；{A 1，B 1}、{A 2，B 1}、{A 3，B 1}、{A 4，B 1}；{A 1，B 2}、{A 2，B 2}、{A 3，B 2}、{A 4，B 2}；{B 1，B 2}设事件A ：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P (A )＝815.19．(本小题满分12分)(文)(2011·湖南长沙一中期末)某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．[解析] (1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2， 所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4， 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(理)某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：表1：甲系列 表2：乙系列(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率； (2)若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． [解析] (1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140>115可能获得第一名 而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<115，不可能获得第一名 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A “该运动员完成D 动作得40分”为事件B 则P (A )＝34，P (B )＝34记“该运动员获得第一名”为事件C 依题意得P (C )＝P (AB )＋P (A －B ) ＝34×34＋14×34＝34. ∴运动员获得第一名的概率为34.(2)若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50,70,90,110，则P (ξ＝50)＝110×110＝1100，P (ξ＝70)＝110×910＝9100，P (ξ＝90)＝910×110＝9100；P (ξ＝110)＝910×910＝81100 ξ的分布列为∴E (ξ)＝50×1100＋70×9100＋90×9100＋110×81100＝104.20．(本小题满分12分)(文)(2011·广东佛山市质检)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽样进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求p 、x 的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选到的领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06，频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1000.由上可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以x ＝150×0.4＝60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽取4人，[45,50)岁中抽取2人．设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(a ，m )、(a ，n )、(b ，c )、(b ，d )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，d )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )、(m ，n )，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )、(a ，n )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为P ＝815.(理)(2011·河北冀州期末)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和期望E (ξ)的值． [解析] (1)设甲、乙两人同时到A 社区为事件E A ，则P (E A )＝A 22C 24A 33＝118，即甲、乙两人同时到A 社区的概率是118.(2)设甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么 P (E )＝3A 22C 24A 33＝16，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P (E －)＝1－P (E )＝56.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有i 个同学到A 社区，则P (ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13.所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝23， ξ的分布列是∴E (ξ)＝1×23＋2×13＝43.21．(本小题满分12分)(文)(2011·巢湖市质检)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．据《法制晚报》报道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图完成下表：(2)(3)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．[解析] (1)(2)P (3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ，[80,90)范围内应抽2人，记为d ，e ，则从总体中任取2人的所有情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d )，(a ，e )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(理)(2011·黄冈市期末)为预防“甲型H1N1流感”的扩散，某两个大国的研究所A 、B 均对其进行了研究．若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研究成功的概率分别为13和14；若资源共享，则提高了效率，即他们合作研究成功的概率比独立研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功获得经济效益a 万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配．请你给A 研究所参谋：是否应该采取与B 研究所合作的方式来研制疫苗，并说明理由．[解析] 若A 研究所独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，则其经济效益的期望为 0×23＋a ×13＝a3万元． 而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为 1－⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12所以两个研究所合作研究成功的概率为 12×(1＋50%)＝34于是A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗，所获得的经济效益的期望为0×14＋12a ×34＝38a万元，而38a >13a ，故应该建议A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗．22．(本小题满分12分)(2011·辽宁铁岭六校联考)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，a ^＝y －－b ^x －)[解析] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P (A )＝1－410＝35.故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35.(2)由数据，求得x －＝13(11＋13＋12)＝12，y －＝13(25＋30＋26)＝27,3x －y －＝972.∑i ＝13x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑i ＝13x 2i ＝112＋132＋122＝434,3x －2＝432.由公式求得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n ·x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝977－972434－432＝52，a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

n nnn高三数学第一轮复习单元测试（9）—《排列、组合、二项式、概率与统计》一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A ．从 10 只编号的球(0 号到 9 号)中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ(文)现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ）1 1 A ． ，1021 1B ． ，2 1011C ．，10 1019D ．，10 102．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有 45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900 个 B ．1080 个 C ．1260 个 D ．1800 个3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到 4 号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．10 种2n +1 与 A 3 的大小关系是（）2n +1 > A 3 2n +1 < A 3 2n +1 = A 3 D ．大小关系不定niilog 2 f (3) 5．(理)若 f (m )=∑ m Cn ，则i =01 A ．2 B ．2等于（）2 f (1) C ．1 D ．3（文）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A ．1320B ．288C ．1530D ．6706．(理)在二项式( x - i )6 的展开式中(其中i 2=－1)，各项系数的和为（）A ．64 iB ．－64 iC ．64D ．－643 4．A A ．A B ．A C ．A log（文）已知(2a3+ 1)n 的展开式的常数项是第7 项，则正整数n 的值为（）aA．7 B．8 C ．9 D．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。

高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》105精品练习一、选择题1．一个口袋中有12个红球，x 个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为1219，则x 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5[答案] B[解析] 由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于1212＋x ，∴1212＋x ＝1219，∴x ＝7.2．(2010·银川模拟)将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12 B.56 C.34D.23[答案] B[解析] 由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P ＝3036＝56，故选B. 3．(2010·大连一中)分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A.710B.310C.35D.25[答案] A[解析] 建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内，所以所求事件的概率为P ＝S 梯形OABD S 矩形OABC ＝710.4．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A 、B 、C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A 、C 通过的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23[答案] B[解析] 用(A ，B ，C )表示A 第一，B 第二，C 第三的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )共6种，其中B 先于A 、C通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )两种，故所求概率为P ＝26＝13.5．(文)(2010·陕西宝鸡)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π[答案] C[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|PA |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C.(理)(2010·广州市)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6[答案] B[解析] 到点O 的距离小于等于1的点，组成一个以O 为球心，1为半径的半球， ∵V 正方体＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝2π3.故所求概率为P ＝8－2π38＝1－π12.6．(2010·广东广州六中)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则使cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13 B.2πC.12D.23[答案] A[解析] ∵x ∈[－π2，π2]，∴要使0≤cos x ≤12，应有－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，由几何概型知，所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.7．m ∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x 2m ＋y 2n ＝1有意义，则方程x 2m ＋y 2n＝1可表示不同的双曲线的概率为( )A.3625 B ．1 C.925D.1325[答案] D[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ m >0n <0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0，1°⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0时有不同取法3×3＝9种．2°⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0时有不同取法2×2＝4种，∴所求概率P ＝9＋45×5＝1325.8．(文)(2010·山东肥城联考)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间内[0,2]任取的一个数，则关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率是( )A.34 B.23 C.49D.12[答案] B[解析] 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤30,0≤b ≤2}，由Δ＝4a 2－4b 2≥0及a >0，b >0知，构成事件“关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P ＝3×2－12×223×2＝23.(理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12f －2≤4的事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A.14 B.58 C.12D.38[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12f －2≤4得，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－2b ＋c ≤0，画出0≤b ≤4,0≤c ≤4表示的平面区域和事件A 所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P ＝12.9．(2010·广东罗湖区调研)已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13 B.23 C.19D.29[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0x ＋y ＝6得D (4,2)，区域Ω为△OAB ，区域A 为△OCD ，所求概率P ＝S △OCD S△OAB ＝12×4×212×6×6＝29.10．(2009·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20D ．0.15[答案] B[解析] 该运动员三次投篮恰有两次命中即在每组的三个随机数中，恰有两个数在集合{1,2,3,4}中，题中20组随机数中，满足条件的有5组：191,271,932,812,393，∴概率P ＝520＝14. 二、填空题11．现有三种股票和两种基金，欲购买其中任意两种，有且只有一种基金的概率为________．[答案] 35[解析] 记股票为a 、b 、c ，基金为d ，e ，从中购买两种，所有构买方法为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，其中有且仅有一种基金的购买方法有：(a ，d )，(a ，e )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，∴所求概率为P ＝610＝35.12．(文)(2010·湖北黄冈)在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．[答案] 78[解析] 设x ，y 是[－1,1]上的任意两个实数，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1－1≤y ≤1，则点(x ，y )构成区域为正方形ABCD ，它们的和x ＋y ≤1为图中阴影部分，则由几何概型知，所求概率P ＝78.(理)(2010·辽宁省实验中学等三校)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥－x2x －y －4≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．[答案]3π64[解析] 可行域M 为△ABO ，易求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，B (4,4)，C (2,0)，∴S △ABO ＝12|OC |×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43＝163，区域N 为扇形OMN ， ∵S 扇形OMN ＝14×π×12＝π4，∴所求概率P ＝π4163＝3π64.13．(2010·海南五校联考)设0<a <2,0<b <1，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．[答案] 18[解析] 由e >5得c 2a 2>5，即a 2＋b 2a2>5，∴b >2a ，在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.14．(文)(2010·江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b .将a ，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．[答案]718[分析] 本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析] 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况；当a ＝5时，b ∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况； 当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P ＝1436＝718.(理)(2010·新课标全国文)设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为________．[答案]N 1N[解析] 这是随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系SS 矩形＝N 1N，而矩形的面积为1，所以依据随机模拟方法估计面积S 的近似值为N 1N.三、解答题15．(文)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗救助，其中A 1，A 2，A 3是护理专家，B 1，B 2，B 3是外科专家，C 1，C 2是心理治疗专家．(1)求A 1恰被选中的概率； (2)求B 1和C 1不全被选中的概率．[解析] (1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，((A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)．共18个基本事件．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M 包括(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)．共有6个基本事件．所以P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1和C 1全被选中”这一事件，由于N －包括(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，共有3个基本事件， 所以P (N －)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56.(理)班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)为了选出表演独唱和朗诵节目的同学，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．[解析] (1)用(i，j)表示编号为i、j的两人来跳双人舞，则所有可能结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共十种，其中两人全是男生的有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故由对立事件概率公式知所有概率P＝1－310＝710.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其它卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.人演出的有5种，∴所求概率P＝525＝15.16．(文)(2010·天津文，18)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．[解析] (1)由题意可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种，②记事件B 为“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”，其所有可能的结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．∴P (B )＝615＝25.(理)(2010·福建文，18)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率． [解析] (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )得，a m ·(a m －b n )＝m (m －2)＋1·(1－n )＝m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18.17．(2010·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)将标号为2的小球记作a 1，a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．∴P(A)＝412＝1 3.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，∴P(B)＝S BSΩ＝2×2－π2×2＝1－π4.用心爱心专心- 11 -。

第十章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6B. 7C. 8D.92 ．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s ==C ．1212,x x s s =<D ．1212,x x s s =>3、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2⨯2列联表进行独立性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”． P(K≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.841 5.024 6.635 10.828(A)0．1％ (B)1％ (C)99％ (D)99．9％4、集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（ ）A ．23B ．13C ．12D ．165．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④6、对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为（ ）A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.457、如图面积为4的矩形ABCD 中有一个阴影部分，若往矩形ABCD 投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为 A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.88、从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14 D ．169、记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 10．在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2 x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．4011、总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08B ．07C ．02D ．0112、气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):① 甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;② 乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;③ 丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 ．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________.14 ．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号，若在第三组中抽得为12的学生，则在第八组中抽得为___的学生.15平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M 取自△ABE内部的概率为______．16、若在区域340x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P，则点P落在单位圆221x y+=内的概率为.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)（2013某某文17）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.18．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.19．(本小题满分12分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程ˆˆˆybx a =+中,1221ˆni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑,ˆˆay bx =-, 其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+.21．(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[]90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:K2=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.82822．(本小题满分12分) 某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数 3 4 5 6 7B 型车（1） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（2）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据 所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.参考答案一、选择题 1、【答案】C【解析】设从高二应抽取x 人，则有30:406:x =，解得8x =，选C.2、【答案】C【解析】由样本中数据可知115x =，215x =，由茎叶图得12s s <，所以选C. 3、4、【答案】B【解析】从A,B 中各取任意一个数,共有6种。

第十章统计与概率一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、（2012山东理）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 （ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 2 ．（2012陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则（ ）A ． x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙D ．x x >甲乙,m 甲<m 乙3、【2012武昌区高三年级元月调研】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算得附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”4、（2012江西理）样本(x 1,x 2,x n )的平均数为x,样本(y 1,y 2,,y n )的平均数为()y x y ≠.若样本(x 1,x 2,x n ,y 1,y 2,,y n )的平均数(1)z ax a y =+-,其中0<α<12,则n,m 的大小关系为（ ） A ．n<m B ．n>m C ．n=m D ．不能确定5．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率 6、【2012浙江宁波市期末】200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为（ ）（A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆95 7、（2012辽宁理）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．458、（2012湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）9、【2012广州一模理】在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．2310．在2012年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5y x y ^＝－3.2 x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40 11、（2012北京理）设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）12、（2012上海理）设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则 （ ） A ．1ξD >2ξD .B ．1ξD =2ξD .C ．1ξD <2ξD .D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13 ．（2012天津理）某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取_______所学校,中学中抽取_____所学校. 14 ．【2012韶关第一次调研理】某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 15 ．【广东东莞市2012届高三理科数学模拟 二】将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ．向量p =(m ,n ),q = (3,6)，则向量p 与q 共线的概率为[ ．]16、【2012深圳中学期末理】如果随机变量ξ～N (2,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）= .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2012广东理）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.19．(本小题满分12分) （2012北京文）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为12,,n x x x 的平均数)20．(本小题满分12分) 【广东省佛山市2012届高三第二次模拟理科二】空气质量指数PM2.5(单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:PM2.5日均浓度 0353575 75115 115150 150250 250>空气质量级别 一级 二级 三级四级五级 六级 空气质量类别优良轻度污染 中度污染重度污染严重污染某市2012年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得数据后得到如下条形图:（Ⅰ）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； （Ⅱ）在上述30个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优的天数,求X 的分布列.21．(本小题满分12分) （2012年朝阳区高三期末考试理16）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X的分布列及数学期望．22．(本小题满分12分)（2012北京理）近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位: “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;5 5 3 2 3 2A(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为12,,n x x x 的平均数)祥细答案一、选择题 1、答案：C【解析】从960中用系统抽样抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组号码为9,则第二组为39,公差为30.所以通项为2130)1(309-=-+=n n a n ,由7502130451≤-≤n ,即302125302215≤≤n ,所以25,17,16 =n ,共有1011625=+-人,选C 2、答案：B解析:直接根据茎叶图判断,选B 3、【答案】A【解析】2( 6.635)0.01199%P K ≥==- ∴有99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，选A 。

阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖南师大附中月考)我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 从24个班中抽取4个班，抽样间隔为6，设抽到的最小编号为x ，则x ＋(x ＋6)＋(x ＋12)＋(x ＋18)＝4x ＋36＝48，∴x ＝3.2．(文)(2015·河南开封二十二校联考)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图(其中a 、b 为数字0～9中的一个)，分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为x 1，x 2，得分的方差分别为y 1，y 2，则下列结论正确的是 ( )A.x 1>x 2，y 1<y 2 1212C ．x 1<x 2，y 1<y 2 D ．x 1<x 2，y 1>y 2[答案] C[解析] 由题计算可知x 1＝84，y 1＝85，x 2＝85，y 2＝125，∴x 1<x 2，y 1<y 2.(理)(2013·郑州质量预测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 [答案] A[解析] 因为ξ服从正态分布N (1，σ2)，所以P (ξ≤4)＝P (ξ≥－2)＝0.84，故P (ξ≤－2)＝1－P (ξ≥－2)＝1－0.84＝0.16.3．(文)(2015·湖南长沙市长郡中学月考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a 、b ，则使得函数f (x )＝4x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π2 D ．1－π2[答案] B[解析] 要使f (x )有零点，应有16a 2－16(－b 2＋π2)＝16(a 2＋b 2－π2)≥0， 由题意知这是一个几何概型，所求概率P ＝4π2－π·π24π2＝4－π4，故选B.(理)(2015·洛阳市期中)已知x ，y 都是区间[0，π2]内任取的一个实数，则使得y ≤sin x 的概率是( )A.12 B ．2πC.4π2 D ．2π2[答案] C[解析] 如图，正方形OABC 的面积S ＝π24，阴影部分的面积S 1＝∫π20sin x d x ＝(－cos x )|π20＝1，∴所求概率P ＝S 1S ＝4π2.4．(2015·内蒙古宁城县月考)甲、乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲<x 乙 甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙 乙比甲成绩稳定 C ．x 甲>x 乙 甲比乙成绩稳定D ．x 甲<x 乙 乙比甲成绩稳定 [答案] D[解析] x 甲＝15(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15(78＋88＋88＋91＋90)＝87，∴x 甲<x 乙；又甲的成绩较分散，∴乙比甲的成绩稳定，故选D.5．(2015·赣州市博雅文化学校月考)袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为( )A.15 B ．25C.35 D ．45[答案] B[解析] 从5个球中任取2个，共有10种不同取法，两球同色的情形为4种，∴所求概率P ＝410＝25.6．(2015·浙江慈溪市、余姚市联考)在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p 是“甲射中目标”，q 是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为( )A ．p ∨qB ．(¬p )∨(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q ) [答案] B[解析] 命题¬p ：甲没射中目标，¬q ：乙没射中目标；∵“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”，∴可表示为(¬p )∨(¬q )，故选B.7．(2014·北京市西城区二模)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －8≤0所表示的平面区域是α，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤10所表示的平面区域是β.从区域α中随机取一点P (x ，y )，则P 为区域β内的点的概率是( )A.14 B ．35C.34 D ．15[答案] C[解析] 如图所示，平面区域α为三角形OAB ，β与α重合的区域为直角梯形OCDB ，由图可知，α内的点P 落在β内的概率为12×(4＋8)×412×8×8＝34，故选C.8．(文)(2014·陕西宝鸡金台区月考)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B ．13C.59 D ．23[答案] D[解析] 求导数可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b ，又a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率P ＝69＝23，故选D.(理)(2014·江西师大附中检测)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为( )A.110 B ．14C.310 D ．25[答案] B[解析] 五人排队，甲、乙相邻的排法有A 22A 44，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有A 22A 33，故甲、丙相邻的概率为A 22A 33A 22A 44＝14.9．(文)(2015·江西师大附中、临川一中联考)已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110x i ＝20，∑i ＝110y i ＝30，则b 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1[答案] B[解析] ∵∑i ＝110x i ＝20，∑i ＝110y i ＝30，∴x －＝2，y －＝3，∵回归方程为y ^＝－3＋bx ，∴3＝－3＋2b ，∴b ＝3，故选B.(理)(2015·长春外国语学校期中)设随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45[答案] A[解析] ∵随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，∴np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，相除得p ＝0.2，n ＝8，故选A.10．(文)(2015·许昌、平顶山、新乡调研)从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为( )A.17 B ．114C.37 D ．47[答案] C[解析] ∵O 到正六边形各顶点的距离都等于其边长，∴距离大于边长的两点，只在其顶点中产生，从每个顶点能连三条大于边长的线，故共有3×62＝9条，从7个点中任取2个共有21种取法，∴所求概率P ＝921＝37.(理)(2015·福建宁化一中段测)若(x －2x )n 的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y ＝nx 与曲线y ＝x 2围成的封闭图形的面积为( )A ．36B ．12 C.323 D ．223[答案] C[解析] 由题意知C 1n ＝C 3n ，∴n ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0. ∴所求面积S ＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝(2x 2－13x 3)|40＝323. 11．(文)(2014·重庆模拟)如图是收集重庆市2013年9月各气象采集点处的平均气温(单位：℃)的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清．已知各采集点的平均气温范围是[20.5,26.5]，且平均气温低于22.5℃的采集点个数为11，则平均气温不低于25.5℃的采集点个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 依题意得2x ＝1－(0.10＋0.26＋0.22＋0.18)＝0.24，x ＝0.12.注意到(0.10＋0.12) 0.18＝22 18＝11 9，因此平均气温不低于25.5℃的采集点个数为9，故选D.(理)(2015·江西三县联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220 B ．2755C.27220 D ．2155[答案] C[解析] 旧球个数X 的可能取值为3,4,5,6，相应的取到新球的个数依次为ξ＝0,1,2,3，ξ服从超几何分布，∴P (X ＝4)＝P (ξ＝1)＝C 19·C 23C 312＝27220.12．(文)(2015·甘肃会宁二中模拟)某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分A ，男生平均分M 和女生平均分W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A ．T >0？，A ＝M ＋W50B ．T <0？，A ＝M ＋W50C ．T <0？，A ＝M －W50D ．T >0？，A ＝M －W50[答案] D[解析] M 是用来统计男生成绩的统计量，由于满足条件时，执行M ＝M ＋T ，故第一个判断框中条件应为T >0？，又第二个判断框中条件k <50不成立时，男生总成绩M 与女生总成绩W 都已求出，故处理框中应赋值A ＝M －W50计算全班成绩的平均分．(理)(2014·长安一中质检)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279[答案] B[解析] 有两个重复数字时，①含2个0，有9种，②含1个0,0不能排在百位，∴有C 12C 19＝18种；③不含0，有C 19C 13C 18＝216种(或C 29C 12C 13＝216种)；有三个重复数字时，有C 19＝9种，∴共有含重复数字的三位数9＋18＋216＋9＝252个，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19，则总体中的个体数为________．[答案] 180[解析] 因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为20÷19＝180.(理)(2015·普宁二中、中山一中、航天中学联考)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．[答案] 180[解析] 甲、乙都不选时，有A 35＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有C 12C 25A 33＝120种，根据分类计数原理，可得共有60＋120＝180种不同的填报专业志愿的方法．14．(2015·焦作市期中)学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估记这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是________．[答案] 800[解析] 成绩不低于60分的学生频率为(0.024＋0.028＋0.020＋0.008)×10＝0.8， ∴用频率作为概率的估计值可得这1000名学生中，成绩不低于60分的学生数是1000×0.8＝800.15．(文)(2015·湖南师大附中月考)从区间[－5,5]内随机取出一个数x ，从区间[－3,3]内随机取出一个数y ，则使得|x |＋|y |≤4的概率为________．[答案] 12[解析] 点(x ，y )所在区域为长方形ABCD ，其面积S ＝60，其中阴影部分的面积为S 1＝2×(2＋8)×3×12＝30.∴所求概率为P ＝S 1S ＝12.(理)(2015·长春外国语学校期中)袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为________．[答案] 34[解析] 由于是不放回取球，所以在第一次取到黑球的条件下，袋中还有3白1黑共4个球，从中取出一球，摸到白球的概率为34，即在第一次取到黑球的条件下，第2次摸到白球的概率为34.16．(文)(2014·海南省文昌市检测)在区域M ＝(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <4y >xx >0内撒一粒豆子，落在区域N ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤2}内的概率为________．[答案] π4[解析] ∵⊙C ：x 2＋(y －2)2＝2的圆心C (0,2)与直线y ＝x 和x ＋y ＝4都相切． ∴区域M 中落在区域N 内的部分为半圆．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，得A (2,2)，∴S △OAB ＝12×4×2＝4，又S 半圆＝π，∴所求概率P ＝π4.(理)(2015·宜春中学、新余四中联考)过椭圆x 216＋y 24＝1的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为________．[答案]512[解析] 过椭圆x 216＋y 24＝1的左焦点作直线与椭圆相交，最小弦长为通径2b 2a 2＝2，最大弦长为长轴长8，弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，共有2×5＋2＝12种情况，所取弦长不超过4，有2×2＋1＝5种情况，∴所求概率为P ＝512.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2015·湖南长沙长郡中学月考)已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.5 96 2 57 7 0 3 689 81[解析] (1)由题意，第5组抽出的号码为22， 因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x －＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.从10名职工中随机抽取两名体重不轻于71公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，体重为76公斤的职工被抽到有4种， 故所求概率为P (A )＝410＝25.(理)(2015·石光中学段测)下图是根据部分城市某年9月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11.(1)求抽取的样本个数和样本数据的众数；(2)若用分层抽样的方法在数据组[21.5,22.5)和[25.5，26.5]中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个城市，求恰好抽到2个城市在同一组中的概率．[解析] (1)设抽取的样本个数为N ，则11N ＝(0.10＋0.12)×1，解之得N ＝50.由图知样本数据的众数为23.5＋24.52＝24.所以抽取的样本个数为50，样本数据的众数为24.(2)由图知气温数据组[21.5,22.5)与[25.5,26.5]的概率比为0.12 0.18＝2 3，又用分层抽样共抽取5个城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×25＝2个城市，不妨设为甲、乙；在[25.5,26.5]中抽取5×35＝3个城市，不妨设为A ，B ，C .于是在这5个城市中抽到的2个城市有如下情况：甲乙、甲A 、甲B 、甲C 、乙A 、乙B 、乙C 、AB 、AC 、BC ，共10种情况.2个城市在同一气温数据组的有：甲乙、AB 、AC 、BC ，共4种情况．所以在这5个城市中恰好抽到2个城市在同一气温数据组的概率P ＝410＝25.18．(本小题满分12分)(文)(2015·山东师大附中模拟)某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．(1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由．[解析] (1)P ＝n m ＝460＝115，所以某职员被抽到的概率为115.设有x 名男职员，则4560＝x4，所以x ＝3，所以男、女职员的人数分别为3、1.(2)把3名男职员和1名女职员记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名职员的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中有一名女职员的有6种．所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为P ＝612＝12. (3)x －1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x －2＝69＋70＋70＋72＋745＝71，s 21＝(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋(70－71)2×2＋(72－71)2＋(74－71)25＝3.2，∵s 22<s 21，∴第二次做试验的职员做的实验更稳定．(理)(2015·江西师大附中、临川一中联考)为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛．并随机抽取了A 、B 两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：(1)并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？(2)用简单随机抽样方法从B 班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率．[解析] (1)X A ＝15(87＋88＋91＋91＋93)＝90，X B ＝15(85＋89＋91＋92＋93)＝90，S 2A ＝15[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝245， S 2B ＝15[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8. A 班法律知识的掌握更为稳定．(2)从B 班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)共有10个基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)共5个基本事件．∴P ＝510＝12.19．(本小题满分12分)(文)(2015·内蒙宁城县月考)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)下表是年龄的频率分布表，求正整数a ，b 的值；(2)2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．[解析] (1)由题设可知，a ＝0.08×5×500＝200，b ＝0.02×5×500＝50. (2)因为第1,2,3组共有50＋50＋200＝300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×50300＝1，第2组的人数为6×50300＝1，第3组的人数为6×200300＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为C 1，C 2，C 3，C 4，则从六位同学中抽两位同学有：(A ，B )，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，C 4)，(C 2，C 3)，(C 2，C 4)，(C 3，C 4)，共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的只有(A ，B )1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为1－115＝1415.(理)(2015·福建宁化一中段测)某校为了解高一年级期中考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n 份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如下图，其中成绩在[70,80)的人数为15，规定成绩≥80分为优秀．(1)求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期中考试数学成绩的优秀率； (2)从样本成绩在[50,60)和[60,70)这两组中随机抽取2名同学，求抽取的2名同学中不及格(成绩<60分为不及格)的人数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)由频率分布直方图可得[70,80)的频率：0.030×10＝0.30，所以，n ＝15÷0.30＝50，∴第四组[80,90)的频数：0.024×10×50＝12； 第五组[90,100]的频数：0.016×10×50＝8；所以，样本中优秀的试卷份数为20，样本的优秀率＝12＋850＝40%，∴估计该校高一年级期中考试数学成绩的优秀率为40%.(2)第一组[50,60)的频数：0.012×10×50＝6； 第二组[60,70)的频数：0.018×10×50＝9； ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意，得P (ξ＝0)＝C 29C 215＝1235，P (ξ＝1)＝C 16C 19C 215＝1835，P (ξ＝2)＝C 26C 215＝17.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×1235＋1×1835＋2×17＝45.20．(本小题满分12分)(文)(2014·广东执信中学期中)某校高三文科分为五个班．高三数学测试后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了18人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05，此分数段的人数为5人．(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率． [解析] (1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05＝100人． ∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ， 由5×18＋10d ＝100，解得d ＝1.∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人，22人．(2)在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的频率为0.35＋0.25＋0.1＋0.05＝0.75.用频率作为概率的估计值知所求概率约为0.75.(理)(2015·洛阳市期中)某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．(1)求恰有2条线路没有被选择的概率；(2)设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)恰有2条线路没有被选择的概率为P ＝C 24C 23A 2243＝916. (2)ξ＝0,1,2,3，P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 13·3243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23·343＝964，P (ξ＝3)＝143＝164.所以ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.21．(本小题满分12分)(文)(2015·韶关市十校联考)对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：(1)(2)在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？[解析] (1)该校教师总人数为66人，其中经常使用信息技术教学的教师有20人，不经常使用信息技术实施教学的有46人，所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率P ＝4666＝2333.(2)在教龄10年以下且经常使用信息技术教学的教师中，教龄在5年以下的有2人分别记为A 1，A 2；教龄5年至10年的有4人分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，从这6人中任选2人的情况有：(A 1A 2)，(A 1B 1)，(A 1B 2)，(A 1B 3)，(A 1B 4)，(A 2B 1)，(A 2B 2)，(A 2B 3)，(A 2B 4)，(B 1B 2)，(B 1B 3)，(B 1B 4)，(B 2B 3)，(B 2B 4)，(B 3B 4)，共15种．设其中恰有一人教龄在5年以下为事件A ，则事件A 包含的基本事件有8种． 所以P (A )＝815.答：在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是815.(理)(2015·豫南九校联考)某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求获得参赛资格的学生人数，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(2)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止答题，答对3题者方可参加复赛．已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．[解析] (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．设500名学生的平均成绩为x －，则x －＝(40×0.0065＋60×0.0140＋80×0.0170＋100×0.0050＋120×0.0043＋140×0.0032)×20＝78.48分．(2)设学生甲答对每道题的概率为P (A )，则 (1－P (A ))2＝19，∴P (A )＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5，则P (ξ＝3)＝(23)3＋(13)3，P (ξ＝4)＝C 13(13)(23)3＋C 13(23)(13)3＝1027， P (ξ＝5)＝C 24(13)2(23)2＝827.所以ξ的分布列为Eξ＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727.22．(本小题满分14分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考数据：[解析] 甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)因为K 2＝100×(30×25－20×25)50×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．(理)(2014·浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满4局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．[解析] 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3A 4)＋P (B 1C 2A 3B 4)＝124＋124＝18.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且 P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12，P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14.P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18.P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116.P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故分布列为∴E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716.。

1.【2012高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。

下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。

现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。

若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X 。

附：22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【答案】【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望()E X 和方差()D X ，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。

准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。

9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ。

【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3,P X<=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X≤<=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=.(900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.（Ⅱ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.由条件概率，得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67. 11.【2012高考江苏25】（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱。