数学-高中2年级-教案-2.3.2空间两点间的距离教案 苏教版必修2

空间两点间的距离
1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
重点：空间两点间的距离公式
阅读教材P109-P110
自学公示推导基本流程
得出结论：空间中任意两点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离为 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
例1（课本例1）．求空间两点P 1（3，－2，5），P 2（6，0，－1）的距离P 1P 2．
例2 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），试判断：△ABC是否是等腰三角形？是否是直角三角形？
说明：由于三点确定一个平面，因此平面几何中判定三角形形状的方法，在空间中仍然适用，但平面中用来判断四边形形状的一些结论，在空间可能不成立，比如在空间中四边都相等的四边形未必是菱形．
例3（课本例2）．
例4．已知A（3，3，1），B（1，0，5），求（1）线段AB的长度；（2）到A、B 两点距离相等的点P的坐标满足的条件。

说明：根据几何意义，到A、B两点距离相等的点形成一个经过线段AB中点且与线段AB垂直的一个平面，4x－6y＋8z＋7＝0可以看成该平面的一个方程，该方程是一个三元一次方程。

巩固练习：
1．已知B是A(3，7，－4)在xoz平面上的射影，则|OB|等于_________．2．x轴上到点A（1，1，1）距离等于6的点的坐标为 _________．
3．空间中与点（3，1，－1）距离等于2的点的坐标满足的条件是_________．4．已知A，B，C三点的坐标依次是（10，－1，6），（4，1，9），（2，4，3），则△ABC的周长为．。

3. . 3. .。

2直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程牙口方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系,，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。

难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点|^| = (%2-%2)2+()；2-^)77 ,分别向X轴和y轴作垂线，垂足分别为M(0, yj, M2(X20)直线AM与P2M相交于点Q。

在直角4BC中，为了计算其长度，过点占向x轴作垂线，垂足为M](x】,O)过点向y轴作垂线，垂足为N2(O, y2) ,于是有|片纱=阿2旳『=卜2 —寸,旬2 =冋化『=山—打所以，I明 2 = |也『+松旬 2 =血一打 2 +止—。

由此得到两点间的距离公式在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。

例1 ：以知点A (-1, 2), B (2,、/7 ),在x轴上求一点，使|PA| = |P5|拼求|PA|的值。

解：设所求点P (x, 0),于是有由|PA|=|PB|得x~ + 2x + 5 — -Y" —4.x +11 解得x= 1 o所以，所求点P (1, 0)且|P4| = J(l + l)2+(0_2『=2血通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

(1 2 +解法二：山已知得，线段AB的中点为M ,直线AB的斜率为I2 2 J心三二¥ =卜_0P Aid2 +(0-2)= 2 血三二线段AB的垂直平分线的方程是—丄］2 2 -V7 ( 2 丿在上述式子中，令y=0,解得x=l。

2019-2020年高中数学 2.17《空间两点间的距离》教案苏教版必修2【学习导航】知识网络学习要求1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；2．理解推导公式的方法【课堂互动】自学评价2．空间中点坐标公式连接空间两点、的线段的中点的坐标为．【精典范例】例1：求空间两点间的距离．【解】利用两点间距离公式，得．例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．【解】与坐标原点的距离为1的点的轨迹是一个球面，满足，即．因此，就是所求的球面方程．例3：已知三点、、，证明：三点在同一直线上．分析：只要证明即可【解】利用两点间距离公式，得、、，所以，所以三点在同一直线上．追踪训练一1.已知空间中两点和的距离为，求的值．答案：或2．已知，在轴上求一点，使．答案：或3．已知空间三点，，求证：在同一直线上．答案：，AB BC AC ∴===，在同一直线上．【选修延伸】一、球面方程例4: 讨论方程222(2)(6)(1)x y z ++-+- 的几何意义．分析：类比空间两点的距离公式，构造点【解】因为16)1()6()2(222=-+-++z y x ， 所以4)1()6()2(222=-+-++z y x即动点到定点的距离等于4，所以16)1()6()2(222=-+-++z y x ． 表示动点的轨迹：一个半径为4，球心为的球面思维点拔： 注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．追踪训练二1. 试解释方程222(12)(3)(5)x y z -+++-的几何意义．答案：方程表示点与点的距离为，即点在以点为球心，半径为的球面上．第17课 空间两点间的距离分层训练1．空间两点之间的距离等于 （ ）212．空间两点，且，则等于 （ ）4 2 6 2或63．已知空间两点，线段的中点为，则坐标原点到点的距离为 （ ）1 54．以、、三点为顶点的三角形是（）等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形5．轴上到点距离为等于的点的坐标为．6．与点距离等于3的点的坐标满足的条件是．7．三角形的三个顶点、、，则过点的中线长为．8．设是轴上的点，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标．拓展延伸9．如图，正三棱柱中，底面边长为1，侧棱长为，分别是边的中点，求线段的长．10．若点到三个顶点的距离的平方和最小，则点就是的重心．（1）已知的三个顶点分别为、、，求的重心的坐标；（2）的顶点坐标分别为，，，重心的坐标为，求的值．2019-2020年高中数学 2.1《函数的概念和图像1》教案苏教版必修1一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用；难点：运用函数解决问题：建立数学模型。

课堂导学三点剖析1.空间两点间的距离公式【例1】 如下图，在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA|1=2，作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离.思路分析：要求O 1D 距离，关键是要求出D 点坐标，利用垂直和点D 在直线AC 上恰好列两个方程解两个未知数.解：以O 点为坐标原点，分别以OA 、OC 、OO 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. ∵|OA|=2，|AB|=3，|AA 1|=2，∴O 1(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,3,0).在平面xOy 内.过D 作DE ⊥AO ，设D(x,y,0)， ∵,AOAE OC OE =， ∴223x y -=， ∴3x+2y=6. ①∵O 1D ⊥AC ，∴△O 1AD 为直角三角形.∴|O 1A|2=|O 1D|2+|AD|2.22+22=(0-x)2+(0-y)2+(2-0)2+(2-x)2+(y-0)2,整理得x 2+y 2-2x=0. ② 由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,1312,1318y x 或⎩⎨⎧==.0,2y x (舍) 故D 点坐标为(1312,1318,0). ∴|O 1D|=132862)20()01312()01318(222=-+-+-. 2.空间两点间距离公式的推导与应用【例2】 (1)已知点A(1，0，2)、B(1，-3，1)，求z 轴上一点P ，使|PA|=|PB|；(2)在坐标平面yOz 上，求与A(1，2，3)、B(-2，2，0)两点距离相等的点P.思路分析：根据题目条件，利用两点间的距离公式，可以求一些具有特定要求的点的坐标，方法是设点的坐标后，建立关于点的坐标的方程(组)求解即可.解：(1)设点P(0，0，z)，由|PA|=|PB|， 则22)1(91)2(01-++=-++z z ,化简得z=-3.∴点P(0，0，-3).(2)设点P(0，y,z),由|PA|=|PB|，则2222)2(4)3()2(1z y z y +-+=-+-+.解得⎩⎨⎧∈=,,1R y z ∴点P(0，y,1),其中y ∈R .各个击破类题演练1 求出［问题导入］中点A 与塔顶D 的距离AD.解：以塔底C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系.则D(0，0，5)，A(3，-4，0)；∴d(A,D)=255)4(3222=+-+，即A 与塔顶D 距离25 m.变式提升1 金红石(TiO 2)的晶胞如右图所示，图中空心点代表钛原子，黑点代表氧原子，长方体的8个顶点和中心是钛原子，长方体的长、宽、高分别是a 、b 、c ，4个氧原子的位置是A(0.31a,0.31b,0),B(0.69a,0.69b,0),C(0.81a,0,0.5c) 和D(0.19a,0.81b,0.5c).中心处钛原子与A 处氧原子间的距离叫做键长，当a=b 时，试求键长.解：中心处钛原子的坐标是E(0.5a,0.5b,0.5c).又A(0.31a,0.31b,0),所以键长222)5.0()31.05.0()31.05.0(||c b b a a AE +-+-=222)5.0()19.0()19.0(c b a ++=2222225.019.019.0c b a ++=.当a=b 时，键长|AE|=2225.027.0c a +.类题演练2 给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2) 的距离为30. 解：设P(x,0,0)，由题意，|P 0P|=30， 即3021)4(222=++-x ,∴(x-4)2=25,∴x=9或x=-1.∴P 点坐标为(9，0，0)或(-1，0，0).变式提升2 求到两定点A(2，3，0)、B(5，1，0)距离相等的P 点的坐标满足的条件.解：设P(x,y,z),则PA=222)3()2(z y x +-+-222)1()5(z y x PB +-+-=.∵PA=PB, ∴222222)1()5()3()2(z y x z y x +-+-=+-+-化简得6x-4y-13=0.∴P 点坐标满足的条件为：6x-4y-13=0.。

数学《两点间的距离》教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握两点间的距离的计算方法，能够熟练运用两点间的距离求解各种实际问题。

2. 过程与方法：掌握寻找两点间的距离的方法，培养学生思维能力、观察能力和分析问题的能力。

3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生良好的数学思想和数学素养。

二、教学重难点：1. 两点间距离的概念和计算方法。

2. 实际问题的转化和求解。

三、教学过程：1. 导入新课——引出两点间的距离的概念。

通过展示一张地图，询问学生若要从一个地方走到另一个地方，我们在规划路线时需要了解哪些数据。

引导学生思考到两处地点之间的距离数据是不可或缺的。

教师引导学生，两个点之间的距离叫作“两点间距离”。

2. 讲授两点间的距离的计算方法。

（1）首先确定两点在坐标系中的坐标。

（2）应用勾股定理（勾股定理即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方）求出斜边的长度，就是两点间的距离。

3. 讲解两点间的距离的实际问题的求解。

（1）给出一些实际问题，让学生运用两点间的距离的概念和计算方法解决。

例如：一架飞机在腾空时，速度最快是多少？答案：约290km/h。

它需要超过这个速度才能腾空。

（2）组织学生进行练习。

例如：⑴一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

答案：5cm。

⑵如图，在平面直角坐标系中，A（3，5），B（5，6）.求AB的长度。

答案：解题过程如下：两点间的距离：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]=√[(5-3)²+(6-5)²]=√4+1=√54. 拓展应用。

通过展示实际生活中的问题，让学生了解两点之间距离在生活中的应用，如万年历、地图测量等等。

四、教学反思：本课是一堂基础知识的课，主要是介绍了两点间距离的概念、计算方法及应用，但是内容较为简单。

在教学中，我在开头引导学生自己思考两点间距离在日常生活中的应用，引起了学生的好奇心和兴趣，促进学生的主动学习。

2．3.2 空间两点间的距离如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件点O处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？1．若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是(x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP2．在空间直角坐标系Oxyz中，设点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P23．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x0，y0，z0)到平面xOy的距离为|z0|，到x轴的空间两点间的距离公式(1)已知空间中两点A 、B 的坐标为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则这两点间的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.特别地点A (x ，y ，z )到原点的距离为：OA ＝x 2＋y 2＋z 2.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式．(2)空间两点间的距离公式的推导思路．思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．基础巩固知识点一 空间中两点间的距离公式1．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，33，66到原点的距离是________． 解析：由两点间距离公式可得．答案：12．在x 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点的坐标为________． 解析：设x 轴上的点的坐标为(x ，0，0)，则由距离公式得：(x ＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x －3)2＋(－5)2＋22.解得x ＝－2.答案：(－2，0，0)3．已知点P 在z 轴上，且满足PO ＝1(O 是坐标原点)，则点P 到A (1，1，1)的距离是________．解析：设P (0，0，c )，∵PO ＝1，∴c ＝±1.当c ＝1时，PA ＝2；当c ＝－1时，PA ＝ 6. 答案：2或 6知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用4．点B 是点A (1，2，3)在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于________．解析：∵A (1，2，3)在平面yOz 内的射影为B (0，2，3)，∴OB ＝13. 答案：135．设A (3，3，1)、B (1，0，5)、C (0，1，0)，AB 的中点M ，则CM ＝________．解析：由中点公式得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3， ∴CM ＝（2－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－0）2＝532. 答案：5326．已知空间三点A (0，0，3)、B (4，0，0)、C (4，5，0)，求△ABC 的周长． 解析：∵AB ＝（0－4）2＋02＋（3－0）2＝5， BC ＝（4－4）2＋（0－5）2＋02＝5，AC ＝（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2＝52，∴△ABC 的周长为10＋5 2.能力升级综合点一 空间中有关距离的计算问题7．在空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (x ，－1，6)的距离为86，则x 等于________．解析：由（x ＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2＝86，∴x ＝2或－8.答案：2或－88．已知点A (－3，1，4)关于原点的对称点为B ，则线段AB 的长为________． 解析：AB ＝2OA ＝2（－3）2＋12＋42＝226.答案：226综合点二 两点间距离公式的综合应用9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P (a ，b ，c )，则它在三个坐标轴上的射影为P 1(a ，0，0)、P 2(0，b ，0)、P 3(0，0，c )，由已知得：b 2＋c 2＝1，c 2＋a 2＝1，a 2＋b 2＝1.∴2(a 2＋b 2＋c 2)＝3.故PO ＝a 2＋b 2＋c 2＝32＝62. 答案：6210．已知A (1－t ，1－t ，t )、B (2，t ，t )，则AB 的最小值为________．解析：∵AB ＝（2－1＋t ）2＋（t －1＋t ）2＋（t －t ）2 ＝（t ＋1）2＋（2t －1）2 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，AB min ＝355. 答案：35511．在空间直角坐标系中，已知A (0，0，3)、B (2，0，0)、C (0，2，0)，则△ABC 的面积是多少？解析：AB ＝（0－2）2＋（0－0）2＋（3－0）2＝13，BC ＝（2－0）2＋（0－2）2＋（0－0）2＝22，AC ＝（0－0）2＋（0－2）2＋（3－0）2＝13，∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．则BC 边上的高h ＝（13）2－（2）2＝11，∴S △ABC ＝12BC ·h ＝12×22×11＝22.综合点三应用距离解决角度问题12．如图，已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中，B(3m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角；(2)若M为BC的中点，n＝32m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．解析：(1)如图，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正向夹角为30°.(2)连接AM、PM，∵AB＝AC＝2m，PB＝PC＝2m2＋n2，又M为BC中点，∴AM⊥BC，PM⊥BC.∴∠AMP为AM与其在面PBC内的射影所成的角．又n＝32m，∴PA＝AM＝3m.∴AM与其在面PBC内的射影所成角为45°.。

2.3.2 空间两点间的距离1．空间两点间的距离公式(1)平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为P 1P 2＝A (x ，y )到原点距离为OA (2)空间两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的距离公式是P 1P 2＝A (x ，y ，z )到原点的距离公式为OA2．空间两点的中点坐标公式连结空间两点P 1(x 1，y1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为 ⎛⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．1．点P (－2，－1，1)到原点的距离为________． 6 [PO ＝（－2）2＋（－1）2＋12＝ 6.]2．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则该点的坐标为__________．(9，0，0)或(－1，0，0) [设点P 的坐标是(x ，0，0)，由题意得，P 0P ＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30，∴(x －4)2＝25，解得x ＝9或x ＝－1. ∴点P 的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．]3．若O 为原点，P 点坐标为(2，－4，－6)，Q 为OP 中点，那么Q 点的坐标为________．(1，－2，－3) [设Q (x ，y ，z )， 则x ＝2＋02＝1，y ＝－4＋02＝－2， z ＝－6＋02＝－3， ∴Q (1，－2，－3)．]4．如图，在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 [∵OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，∴O (0，0，0)，B 1(2，3，2)． 又∵M 为OB 1的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.]点N 在A ′C ′上，且A ′N ＝3NC ′，试求MN 的长．思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M ，N 两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．[解] 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a ，所以B (a ，a ，0)，A ′(a ，0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0，0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a .因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a ，根据空间两点距离公式，可得 MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤 (1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； (2)代入空间两点间的距离公式求值．1．已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5)． (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度． [解] (1)由空间两点间距离公式得 AB ＝（1－2）2＋（5－3）2＋（2－4）2＝3， BC ＝（2－3）2＋（3－1）2＋（4－5）2＝6， AC ＝（1－3）2＋（5－1）2＋（2－5）2＝29，∴△ABC 中最短边是BC ，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72.∴AC 边上中线的长度为（2－2）2＋（3－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1．在空间直角坐标系中，已知点A (1，0，2)，B (1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是什么？[提示] 设M (0，a ，0)，由已知得MA ＝MB ，即12＋a 2＋22＝12＋（－3－a ）2＋12，解得a ＝－1，故M (0，－1，0)． 2．方程(x －1)2＋(y －2)2＋(z －3)2＝25的几何意义是什么？ [提示] 依题意（x －1）2＋（y －2）2＋（z －3）2＝5，点(x ，y ，z )是空间中到点(1，2，3)距离等于5的点，即以点(1，2，3)为球心，以5为半径的球面．【例2】 已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求AB 取最小值时A ，B 两点的坐标，并求此时的AB 的长度．思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB 关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．[解] 由空间两点间的距离公式得AB ＝（1－x ）2＋[（x ＋2）－（5－x ）]2＋[（2－x ）－（2x －1）]2＝ 14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时 ，AB 有最小值57＝357，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．2.如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)．(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．[解] 以B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且CM ＝BN ＝a (0<a <2)， ∴易得点M ，N 的坐标分别为 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1(0<a <2)．(2)∵MN ＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，MN 的长最小，且最小值为22.1．本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求空间中对称点坐标的规律． (2)空间两点间距离公式的应用．3．本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算．1．已知A (1，1，1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( ) A ．43 B ．2 3 C ．4 2 D ．3 2A [AB ＝（1＋3）2＋（1＋3）2＋（1＋3）2＝4 3.]2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3，1，2)，B (4，－2，－2)，C (0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．302 [∵B (4，－2，－2)，C (0，5，1)， ∴BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，－12，∴BC 边上的中线长为（3－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＝302.]3．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且AB ＝26，则实数x 的值是________． －2或6 [由题意得（x －2）2＋（1－3）2＋（2－4）2 ＝26，解得x＝－2或x＝6.]4．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．[证明]由空间两点间的距离公式得AB＝（4－1）2＋（2＋2）2＋（3－11）2＝89，BC＝（6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝14，AC＝（6－1）2＋（－1＋2）2＋（4－11）2＝75，∵AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．。

第二章 平面解析几何初步三节 空间直角坐标系第17课时 空间两点间的距离 【学习导航】知识网络学习要求1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；2．理解推导公式的方法 【课堂互动】自学评价2． 空间中点坐标公式连接空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 的线段12PP 的中点M 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．【精典范例】例1：求空间两点)1,0,6(),5,2,3(21--P P 间的距离21P P ．【解】利用两点间距离公式，得21P P7==．例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程． 【解】与坐标原点的距离为1的点),,(z y x P 的轨迹是一个球面，满足1=OP ，即1222=++z y x ．因此1222=++z y x ，就是所求的球面方程．例3：已知三点 (1,3,2)A 、(2,0,4)B -、(8,6,8)C--，证明：C B A ,,三点在同一直线上． 分析：只要证明AC BC AB =+即可【解】利用两点间距离公式，得 听课随笔22=AB 、222=BC 、223=AC ，所以AC BC AB =+，所以C B A ,,三点在同一直线上．追踪训练一1.已知空间中两点1(,2,3)P x 和2(5,4,7)P 的距离为6，求x 的值．答案：1x =或9x =2．已知(2,5,6)A ，在y 轴上求一点P ，使7PA =．答案：(0,2,0)P 或(0,8,0)P3．已知空间三点(1,0,1),(2,4,3)A B -，(5,8,5)C ，求证：,,A B C 在同一直线上． 答案：(1,0,1),(2,4,3)A B -Q ，(5,8,5)CAB BC AC ∴===．AB BC AC ∴+=，,,A B C ∴在同一直线上．【选修延伸】一、球面方程例4: 讨论方程222(2)(6)(1)x y z ++-+- 16=的几何意义．分析：类比空间两点的距离公式，构造点),,(z y x P【解】因为16)1()6()2(222=-+-++z y x ，所以4)1()6()2(222=-+-++z y x即动点),,(z y x P 到定点)1,6,2(-M 的距离等于4，所以16)1()6()2(222=-+-++z y x ． 表示动点P 的轨迹：一个半径为4，球心为)1,6,2(-M 的球面思维点拔：注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．追踪训练二1. 试解释方程222(12)(3)(5)x y z -+++- 36=的几何意义．答案：方程表示点),,(z y x P 与点(12,3,5)C -的距离为6，即点P 在以点C 为球心，半径为6的球面上．。