2020_2021学年高中数学课时分层作业指数函数的图像和性质的应用北师大版必修

课时分层作业(十四) 函数概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．若f (x )＝x －1x ，则方程f (4x )＝x 的根是( ) A ．12 B ．－12 C ．2 D ．－2 A [∵f (4x )＝4x －14x ＝x ，∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12.] 2．函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( ) A ．[2，3)B ．(3，＋∞)C ．[2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)C [由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x ≥2，且x ≠3.故函数f (x )的定义域为[2，3)∪(3，＋∞).]3．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1C [对于A 选项，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，∴不是同一函数．对于B 选项，f (x )的定义域为{x |x ≠1}，g (x )的定义域为R ，∴不是同一函数． 对于C 选项，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数．对于D 选项，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴不是同一函数．故选C.]4．下列对应是从集合A 到集合B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →1|x | B ．A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →|x －1| C ．A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →x 2 D ．A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ≥0}，f ：x →xC [A 中，x ＝0时，绝对值还为0，集合B 中没有0；B 中，x ＝1时|x －1|＝0，集合B 中没有0；C 正确；D 不正确．]5．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1C ．35D ．－35 B [∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35，∴f （2）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.]二、填空题6．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________． [2，＋∞) [要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，所以x ≥2.]7．函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈{－1，0，1}的值域为________.{3，0，－1} [因为f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f (0)＝02－2×0＝0，f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (x )的值域为{3，0，－1}．]8．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________． 3 [f (1)＝f (2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.]三、解答题9．已知函数f (x ＋1)的定义域为[－2，3]，求f (2x 2－2)的定义域． [解] ∵f (x ＋1)的定义域为[－2，3]， ∴－1≤x ＋1≤4.令t ＝x ＋1，∴－1≤t ≤4， ∴f (t )的定义域为[－1，4]， 即f (x )的定义域为[－1，4]，要使f (2x 2－2)有意义，须使－1≤2x 2－2≤4， ∴－3≤x ≤－22或22≤x ≤ 3. 故函数f (2x2－2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3≤x ≤－22或22≤x ≤3.10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x ；(2)y ＝2xx ＋1；(3)f (x )＝3－2x ，x ∈[0，2]. [解] (1)∵函数的定义域为{x |x ≥0}，∴x ≥0. ∴1－x ≤1.∴函数y ＝1－x 的值域为(－∞，1]. (2)∵y ＝2x x ＋1＝2－2x ＋1，且其定义域为{x |x ≠－1}，∴2x ＋1≠0，即y ≠2. ∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠2}． (3)∵0≤x ≤2，∴0≤2x ≤4.∴－1≤3－2x ≤3，即－1≤f (x )≤3， 故函数f (x )的值域是[－1，3].11．下列各式子中，y 不是x 的函数的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝yA [B 中，y ＝2x 2＋1是二次函数；C 中，y ＝12x －3；D 中，y ＝x 2，x ≥0；A 中，y ＝±x －1，y 不是x 的函数．]12．已知函数y ＝f ()x 对任意的x ，y ∈R 都有f ()x ＋y ＝f ()x ＋f ()y ，且f ()2＝4，则f ()1＝( )A ．－2B ．1C ．0.5D ．2 D [在f ()x ＋y ＝f ()x ＋f ()y 中，令x ＝y ＝1， 则f ()2＝f ()1＋f ()1＝4，∴f ()1＝2.]13．若一系列函数的关系式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数关系式为y ＝2x 2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个B [由2x 2－1＝1，得x ＝±1；由2x 2－1＝7，得x ＝±2.因此当y ＝2x 2－1的定义域为{－2，－1}，{－1，2}，{－2，1}，{1，2}，{－2，2，1}，{－2，2，－1}，{2，－1，1}，{－2，－1，1}，{－1，1，2，－2}时，函数值域均为{1，7}．]14．函数f (x )＝ 2 019－x ＋x －2 019的定义域为________，值域为________. {2 019} {0} [由⎩⎪⎨⎪⎧2 019－x ≥0，x －2 019≥0，解得x ＝2 019.所以函数的定义域为{2 019}．显然f (2 019)＝0＋0＝0.所以函数的值域为{0}．]15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (9)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＋f (10)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110的值． [解] (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. (2)f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值．(3)由(2)知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，所以f (1)＋f (1)＝1， f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…f (10)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (9)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＋f (10)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝10.。

课时分层作业(十四) 指数函数的图像和性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．若集合M ＝{y |y ＝2－x}，N ＝{x |y＝x －1}，则M ∩N 等于( ) A ．{y |y >1} B ．{y |y ≥1} C ．{y |y >0}D ．{y |y ≥0}B [因为y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，所以M ＝(0，＋∞)，由x －1≥0得x ≥1，即N ＝[1，＋∞)，所以M ∩N ＝[1，＋∞)．]2．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图像为( )A B C DC [由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x的图像，故选C.]3．函数y ＝2x－12x ＋1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数A [函数y ＝2x－12x ＋1的定义域为R ，令f (x )＝2x－12x ＋1，则f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．]4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图像大致是( )A B C DA [因为g (x )＝－x ＋a 是R 上的减函数，所以排除选项C ，D. 由选项A ，B 的图像知，a >1. 因为g (0)＝a >1，故选A.]5．已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(－1,0)时，有f (x )＝2x，则当x ∈(－3，－2)时，f (x )等于( )A ．2xB ．－2xC ．2x ＋2D ．－2－(x ＋2)C [因为x ∈(－3，－2)，所以x ＋2∈(－1,0)，又f (x )＝f (x ＋2)， 所以f (x )＝f (x ＋2)＝2x ＋2.]二、填空题6．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是________． (－∞，－2)∪(2，＋∞) [因为当x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，所以a 2－1>1，所以a 2>2，解得a >2或a <－ 2.]7．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．(－∞，－2] [由题意知当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，所以m ≤－2.即实数m 的取值范围是(－∞，－2]．]8．已知f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)的图像如图，则f (3)＝________.33－3 [由题意知，f (x )的图像过点(0，－2)和(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋b ＝－2，a 2＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝3a >0，b ＝－3.所以f (x )＝(3)x－3，所以f (3)＝(3)3－3＝33－3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m ，最小值为n . (1)若m ＋n ＝6，求实数a 的值； (2)若m ＝2n ，求实数a 的值．[解] (1)∵无论0<a <1还是a >1，函数f (x )的最大值都是a 和a 2的其中一个，最小值为另一个，∴a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍)， 故a 的值为2.(2)当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，其最小值为f (2)＝a 2，最大值为f (1)＝a .由a ＝2a 2，解得a ＝0(舍)或a＝12，∴a ＝12.当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f (1)＝a ，最大值为f (2)＝a 2.由a 2＝2a ，解得a ＝0(舍)或a ＝2. ∴a ＝2.综上知，实数a 的值为12或2.10．求函数y ＝4x－2x ＋1－3在[－1,2]上的值域．[解] y ＝4x－2x ＋1－3＝(2x )2－2·2x－3令t ＝2x，由x ∈[－1,2]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 所以y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4， 所以，当t ＝1时，y 取最小值－4， 当t ＝4时，y 取最大值5. 故函数的值域为[－4,5]．1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2D [y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，由y ＝2x是增函数，得y 1>y 3>y 2.]2．函数f (x )＝xa x|x |(a >1)图像的大致形状是( )C [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a xx >0－a xx <0，又a >1，故选C.]3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤02－x，x >0的值域是________．(0,1] [该函数的图像如下：由图知，该函数的值域为(0,1]．]4．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x)>2的解集为________．(－1，＋∞) [因为f (x )为偶函数，在(－∞，0]上是减少的，所以f (x )在[0，＋∞)上是增加的，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2， 由f (2x)>2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以2x >12＝2－1，所以x >－1.]5．已知函数f (x )＝12x－1＋12. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性．[解] (1)由2x－1≠0，得2x≠1，所以x ≠0，所以f (x )的定义域是{x |x ≠0}． (2)因为f (－x )＝12－x －1＋12＝2x1－2x ＋12＝－1＋11－2x ＋12＝11－2x －12＝－f (x )．所以，f (x )是奇函数．。

§3 指数函数(2)课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图像的影响．1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1 3．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)5．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( ) A ．a <2 B ．a >2 C ．－1<a <0 D ．0<a <1一、选择题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．Q P B ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)} 2．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.324．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 5．函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝e x ＋2的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x－2 B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋2 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________． 9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．§3 指数函数(二)双基演练1．C 2.C 3.A4．B [∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]5．C [由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ， ∴a b <a a <b a .] 6．C 作业设计1．B [因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .] 2．C [∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)．]3．C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]4．B [∵f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )， g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]5．C [∵y ＝f (x )的图像与g (x )＝e x ＋2的图像关于原点对称， ∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1， ∴c <a <b .]7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)． 10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)． 又由y ＝2u 的增减性得()12g x <()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． (2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数． 根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数． 即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3， g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (22)<g (2)．∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2. ∴函数的值域为[2,5－22]． 12．A [当x →－∞时，2x →0， 所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除C 、D.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.] 13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4， 即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1.理解指数函数的概念和意义．2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质.精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页[基础认识]知识点指数函数预习教材P70－76，思考并完成以下问题(1)细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示：y＝2x.它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y ＝3·5x 是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义，指数函数的解析式必须满足：①自变量为x 在指数位置上；②底数a ＞0且a ≠1；③a x 的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a ＞0且a ≠1? 提示：(1)如果a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0； 当x ≤0，a x 无意义．(2)如果a ＜0，当x ＝12，14等时，a x 无意义．(3)如果a ＝1，当a x ＝1，无研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1.[自我检测]1．函数y ＝2－x 的图像是图中的( )解析：y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x . 答案：B2．函数y ＝(a －1)x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0，且a ≠1 B ．a ＞2 C ．a ＜2D ．1＜a ＜2解析：由0＜a －1＜1，解得1＜a ＜2. 答案：D3．若指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝________.解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，则f (π)＝e ，即a π＝e.∴f (－π)＝a －π＝1a π＝1e .答案：1e授课提示：对应学生用书第45页 探究一 指数函数的概念[例1] (1)下列函数中，哪些是指数函数？ ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x2－1；③y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1；④y ＝2·3x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，求a 的值．[思路点拨] 依据指数函数解析式满足的三个特征来判断或求解． [解析] (1)①中，底数－8＜0，故不是指数函数； ②中，指数不是自变量x ，故不是指数函数； ③中，∵a ＞12，且a ≠1，∴2a －1＞0，且2a －1≠1.∴y ＝(2a －1)x 是指数函数；④中，3x 前的系数是2，而不是1，故不是指数函数． 综上所述，仅有③是指数函数．(2)由y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ＞0，且a ≠1，∴a ＝2.方法技巧 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，其特征如下：跟踪探究 1.函数y ＝(4a －7)x 是一个指数函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝(4a －7)x是一个指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a －7＞0，4a －7≠1，解得a ＞74，且a ≠2，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫74，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫74，2∪(2，＋∞) 探究二 指数函数的图像 [例2] 如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c[解析]当0＜a＜1时，在x＜0时，y＞1，则0＜a＜1,0＜b＜1；当a＞1时，在x＞0时，y＞1，则c＞1，d＞1；令x＝1，从图像可以看出a＞b，c＞d，即c＞d＞1＞a＞b.[答案] B方法技巧无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．跟踪探究 2.如图，若0＜a＜1，则函数y＝a x与y＝(a－1)x2的图像可能是()解析：0＜a＜1，则函数y＝a x在R上是减函数，二次函数y＝(a－1)x2的图像开口向下，关于y轴对称．答案：D探究三指数函数的图像变换[例3]已知f(x)＝2x的图像，指出下列函数的图像是由y＝f(x)的图像通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解析](1)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向左平移一个单位得到．(2)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位得到．(3)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位得到．(4)∵y＝2－x与y＝2x的图像关于y轴对称，∴作y＝2x的图像关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图像．(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图像关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图像，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图像．方法技巧指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图像变换：(1)平移变换：把函数y＝a x的图像向左平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝a x＋φ的图像；若向右平移φ(φ＞0)个单位，则得到函数y＝a x－φ的图像；若向上平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝a x＋φ的图像；若向下平移φ(φ＞0)个单位，则得到y＝a x－φ的图像．即“左加右减，上加下减”．(2)对称变换：函数y＝a－x的图像与函数y＝a x的图像关于y轴对称；函数y＝－a x的图像与函数y＝a x的图像关于x轴对称；函数y＝－a－x的图像与函数y＝a x的图像关于原点对称；函数y＝a|x|的图像关于y轴对称；函数y＝|a x－b|的图像就是y＝a x－b在x轴上方的图像不动，把x轴下方的图像翻折到x轴上方．(3)一般的情形：①函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)在x轴上方图像与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y＝f(|x|)的图像由函数y＝f(x)在y 轴右方图像与其关于y轴对称的图像合并而成，简记为“右翻左，擦去左”．跟踪探究 3.(1)函数y＝|2x－2|的图像是()解析：将y＝2x的图像向下平移2个单位，然后保持x轴上方图像不变，把x轴下方的图像翻折到x轴上方即可．答案：B(2)直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．解析：当a＞1时，函数图像如图所示：两函数图像只有一个交点，不合题意；当0＜a＜1时，如图所示：若两图像有两个公共点，还需0＜2a ＜1， 解得0＜a ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 探究四 指数型函数的定义域、值域 [例4] 求下列函数的定义域和值域：[解析] (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．又1x －4≠0，即≠1.故y ＝的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0，∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)．(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4.∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (4)定义域为R .∵y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2， 又2x ＞0，∴y ＞1，故函数的值域为{y |y ＞1}．延伸探究 将底数变成不确定的数，求y ＝a |x |(a ＞0，a ≠1)的值域． 解析：当a ＞1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数， ∵|x |≥0，∴y ≥1；当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数， ∵|x |≥0，∴0＜y ≤1.综上所述，当a ＞1时，函数的值域是[1，＋∞)； 当0＜a ＜1时，函数的值域是(0,1]． 方法技巧 函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．(3)研究y ＝f (a x )型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设t ＝a x ，再由内层函数t ＝a x与外层函数y ＝f (t )的单调性来确定函数y ＝f (a x )的单调性．跟踪探究 4.已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值．解析：y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2.令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1. ①当a ＞1时，因为－1≤x ≤1，所以1a ≤a x ≤a .即1a ≤t ≤a ，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的， 所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14， 所以a ＝3.②当0＜a ＜1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x ≤1a ，即a ≤t ≤1a ，函数图像在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝1a 时有最大值，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14， 所以a ＝13.综合①②知，a 的值为3或13.授课提示：对应学生用书第46页[课后小结]1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1.2．当a ＞1时，a 的值越大，y 轴右侧的图像越靠近y 轴．当0＜a ＜1时，a 的值越大，y 轴右侧的图像越靠近y 轴．[素养培优]利用换元时，忽视中间变量的取值范围易错案例：求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．易错分析：求形如f (a x )的函数值域时，常用换元法，设a x ＝t ，根据f (a x )的定义域求得t 的取值范围，再转化为求f (t )的值域．如果忽视这一点，把t 的定义域当作R 来解就容易出错了．自我纠正：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，故原函数的值域是(1，＋∞).。

4.2.2 指数函数的图像和性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩，，， 函数exy -=为偶函数，且过()0,1，e0xy -=>，函数在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故C 符合. 故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数①x y a =；②xy b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，12，13C ．12，13354D ．13，12，543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而5113423>>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，13，3，54，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数327x y =- ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．()3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥． 故选：C.4．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1≥x ， 故选：A.6．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<， 又0.121>， ∴b c a <<． 故选：C ．7．（2022·四川宜宾·高一期末）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．22a b > D ．a b >【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-，满足a b >，显然有11a b>、22a b <、a b <成立，即选项A ，C ，D 都不正确； 指数函数2x y =在R 上单调递增，若a b >，则必有22a b >，B 正确. 故选：B8．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a >> D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解： 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=， 而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<. 故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（ ） A ．13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a =在[]22-,上为减函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=，解得：33a =， 当1a >时，函数()xf x a =在[]22-,上为增函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得：3a =． 综上，33a =或3． 故选：D10．（2022·全国·高一）已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过（ ）．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到， 所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B11．（2022·湖北武汉·高一期末）函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，x y a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D.12．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．a b c <<【答案】B【分析】根据中间值1比较大小即可.【详解】解：根据题意，01c a ==，134450.61,154a b -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭，所以a c b <<．故选：B ．二、多选题13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()33x xf x -=-，则（ ）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ，判断A 正确，D 错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项，根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误； 因为()3x g x =是递增函数，而()3xh x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x -=，得4x =，所以()0434f a =+=，所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,415．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xf x a -=+（0a >且1a ≠）恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=，求出x 的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令40x -=可得4x =，则()0423f a =+=，因此，函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.16．（2022·广东广州·高一期末）函数1()211xf x x =--的定义域为______． 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.17．（2022·上海市延安中学高一期末）函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <，又2x y =递增， ∴函数值域为(0,8). 故答案为：(0,8).四、解答题18．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）已知函数21()2x f x -=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （3）解不等式()f x 4≥．【答案】（1）R ；（2）详见解析；（3）{|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由()()f x f x -=可知函数为偶函数； （3）利用对数函数的单调性可知212242x-≥=，得212x -≥，从而得解.【详解】（1）易知函数()212x f x -=，x R ∈. 所以定义域为R . （2）由()()()221122x xf x f x ----===，从而知()f x 为偶函数；（3）由条件得212242x-≥=，得212x -≥，解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为：{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题. 19．（2022·全国·高一课时练习）已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值． 【答案】max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-， 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a 的值；(2)证明：函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】（1）根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可. （1）因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增，所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=，所以20117a a +++=，解得2a =±，又因为1a ＞，所以2a =． （2）由（1）知，()()()22x x F x f x f x -=--=-， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为12x x <，所以12220x x -<，211102x x ++>，所以()()120F x F x -<，即()()12F x F x <，所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 21．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解：作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示：22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩（1）在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞，单调递减区间为[0,)+∞，值域为(,1]-∞. 【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象； （2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为：（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞， 函数()f x 的值域为(,1]-∞23．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的R x ∈，不等式()()2240f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，-【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数； （2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--，再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. （1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，有()()f x f x -=-，所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增. （3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--，则2240x mx -+>，∴∆<0，故24240m -⨯⨯<，4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242，-. 24．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()3x x f x a =+．(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：()()2121f x f x -+<． 【答案】(1)3a = (2)是定值，证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得a 值； （2）由（1）所得参数值，直接计算()(1)f x f x +-可得； （3）根据（2）的结果化简不等式求得1()2f x <，再解之可得． （1）因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数，所以212a a +=，解得3a =或4a =-．因为0a >且1a ≠，所以3a =；由（1）得， ()333xx f x =+，所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++；（3）由（2）得，()()11f x f x -=-，且()0f x >，所以()()()2211f x f x f x <--=，所以 ()12f x <，所以31233x x<+，整理得，33x <，解得12x <， 所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(),2(1,)-∞-+∞ C ．()2,1- D ．(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-，可证得()g x 是奇函数，且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（R x ∈），则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 是奇函数；又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数，所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而有()()22g ag a >-，所以220a a +->， 解得2a <-或1a >. 故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C二、多选题3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数()2+1x xf x a =（0a >，1a ≠），则下列说法正确的是（ ）A ．函数图象关于y 轴对称B ．函数的图像关于(0,0)中心对称C ．当1a >时，函数在(0,)+∞上单调递增D ．当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠，当0x ≠时，则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=，故()f x 是偶函数，因此图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误， 当0x >时，()2+11x x xxf x a a+==，令1u x x=+，则()u f u a =， 当1a >时，()u f u a =单调递增，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故C 错误，当01a <<时，当0x >时， 由于()uf u a =单调递减，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值，且最大值为2(1)f a =，当0x <时，由于()f x 是偶函数，故最大值为()21f a -=，故D 正确，故选：AD4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元，设3x t =，[]1,1x ∈-，()2224212y t t t =-+=--+，再结合复合函数的单调性，判断AB ；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ．三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ，另一边是不含k 关于x 的式子，分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，所以f x （）的图像关于(0,)a 对称，由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立， 即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立， 所以28123(2)2x x k ≥-+，令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈， 设2233()81238()42h t t t t =-+=--，当2t =时，h t （）取得最大值11， 所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为：11k ≥.【点睛】①分离参数法：遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题，可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式，达到分离参数的目的，再求解y h x =（）的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()f x f x =-，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313xx f x =++；设120x x >>，则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． （1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =； （2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x<<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x-<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22xmf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t t t m t -=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】（1）将点M N 、代入函数()f x ，即可求出a b 、的值，则可求出答案；（2）当3x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时，不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，利用参变分离可得当3x ≤-时，min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，由此即可求出答案. （1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．9．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)设函数()()1=-g x f x ，求()g x 的定义域；(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0，()()121+=-+h x h x x ，求函数()()f h x 的单调递增区间． 【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】（1）根据条件求出()f x 解析式，再列出不等式即可求得()g x 定义域. （2）由待定系数法求得()h x 解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. （1）由题意知318a =，解得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得0x ≥．所以()g x 的定义域为[)0,+∞．（2）设()()20h x mx bx c m =++≠，则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++，()()22121h x x mx b x c -+=+-++，由()()121+=-+h x h x x ， 得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩，解得12m b =-⎧⎨=⎩，则()22h x x x c =-++， 又()00h c ==，所以()()22211h x x x x =-+=--+，所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减，又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．(1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值； (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案. （2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明.（3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案. （1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=， 解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =． （2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=， 所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x xf x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．【答案】答案见解析．【分析】应用换元法，令x t a =则()()212g t t =+-，讨论1a >、01a <<，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断g t 单调性，根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =，则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-．当1a >，0x ≥时，1t ≥，又g t 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()12g t g ≥=，即()2f x ≥；当01a <<，0x ≥时，01t <≤，又g t 在(]0,1上单调递增， ∴()12g t -<≤，即()12f x -<≤．综上，当1a >时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞； 当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2．12．（2022·全国·高一课时练习）对于函数1()2(1)+=-x a f x a （0a >且1a ≠）．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)当24a <<时，求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---．【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．（2）利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数，再由奇偶性可得答案. （1）由题意得11()12x f x a =+-， 由10x a -≠，得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----， ∴函数()f x 为奇函数； （2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---，∵120x x <<，当24a <<时，2101x x a a a >>=， ∴120x x a a ->，110x a ->，210x a ->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减．又函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，∴当24a <<时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减． ∴当13x ≤≤时，max 11()(1)012f x f a ==+>-，min 311()(3)012f x f a ==+>-， 当31x -≤≤-时，max ()(3)(3)0f x f f =-=-<，min ()(1)(1)0f x f f =-=-<， ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-， 最小值为11(1)12f a -=---． 13．（2022·湖南常德·高一期末）已知()12f x x x -=+-．(1)若0[1,1]x ∃∈-时，()00220x xf k -⋅≥，求实数k 的取值范围；(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)(,1]-∞；(2)[14，＋∞）【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离()212122x xk ≤+-，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k 的取值范围；（2）将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=，利用整体换元2xt e =-，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-，令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记()221F t t t =-+． ∴()()max 21F t F ==，∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞． (2)解：由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-， 即()()22232120x x e k e k --+-++=，且20xe -≠，令2x t e =-，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠．又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，由2x t e =-的图象可知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ，2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=．记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩，解得14k >或14k = 综上所述，k 的取值范围是[14，＋∞）．14．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使21()1e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据奇函数满足()00f =求解即可；（2）将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex xx t--≤-成立，根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈，21e e et t x t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值，再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)（1）因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数，故()00e e 010f k k =+=+=，故1k =-，此时()e e x x f x -=-为奇函数，故1k =- (2)因为e x y =为增函数，e x y -=为减函数，故()e e x xf x -=-为增函数，故“对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex x x t--≤-成立”，即“对任意的[]20,1x ∈， 21e e et tx t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时，2x t -在20x =时取最大值，故1e e e t tt -≤-，即2e 2t ≤，22ln t ≤，因为ln 2122<，故不成立； ②当12t时，2x t -在21x =时取最大值，11e e et tt --≤-成立，即2e 11e t -≤，即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述，1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

§3指数函数第1课时指数函数的概念、图象和性质学习目标核心素养1．理解指数函数的概念与意义．(重点)2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)3．掌握函数图象的简单变换．(易混点)1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．1．指数函数的定义函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.思考1：为什么规定y＝a x中a>0，且a≠1?提示：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任意实数；③当a＝1时，a x ＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.2．指数函数的图象和性质y＝a x a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x>0时，y＞1；当x<0时，0＜y＜1当x>0时，0＜y＜1；当x<0时，y＞1在()－∞，＋∞上是增函数在()－∞，＋∞上是减函数x x x xc，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示： c >d >1>a >b .规律：y 轴右侧，底大图高，底小图低；y 轴左侧，底大图低，底小图高．1．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4D ．a >0，且a ≠1C [由指数函数的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，且a ≠1a 2－5a ＋5＝1 ，解得a ＝4，故选C.]2．函数y ＝2－x的图象是( )A B C D[答案] B3．函数f (x )＝2x＋3的值域为________． [答案] (3，＋∞) 4．比较1.5－0.2,1.30.7，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313的大小． [解] 先比较1.5－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2315与⎝ ⎛⎭⎪⎫2313的大小． 由于底数23∈()0，1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上是减函数，∴ 13>15>0 ，∴ 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<⎝ ⎛⎭⎪⎫2315<⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，再考虑指数函数y ＝1.3x ，由于1.3>1, 所以y ＝1.3x 在R 上为增函数1.30.7>1.30＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<1.5－0.2<1.30.7.指数函数的概念【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ；③y ＝32x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 C [①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x是指数函数；③中，y ＝32x＝9x，故③是指数函数；④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y ＝a x(a >0，且a ≠1)的形式．[跟进训练]1．函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1C [由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）2＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]指数函数的图象角度一 指数型函数过定点问题 【例2】 函数y ＝a2－x＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________．(2，2) [在函数y ＝a2－x＋1中，令2－x ＝0，得x ＝2，此时y ＝1＋1＝2，即函数y ＝a2－x＋1的图象过定点(2，2).] 角度二 指数型函数图象的特征 【例3】 函数f ()x ＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0D [从图象的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1； 从曲线位置看，是由函数y ＝a x(0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到， 所以－b ＞0，即b ＜0.] 角度三 作指数型函数的图象【例4】 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f (x )＝2x的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x＋1；(2)y ＝－2x. [解] 如图．(1)y ＝2x＋1的图象是由y ＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的； (2)y ＝－2x的图象与y ＝2x的图象关于x 轴对称．利用已知的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位；对称变换需分清对称轴是什么．[跟进训练]2．利用函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，作出下列函数的图象：(1)f (x ＋1)；(2)－f (x )；(3)f (－x ).[解] 作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示：(1)f (x ＋1)的图象：需将f (x )的图象向左平移1个单位得f (x ＋1)的图象，如图(1).(2)－f (x )的图象：作f (x )的图象关于x 轴对称的图象得－f (x )的图象，如图(2). (3)f (－x )的图象：作f (x )的图象关于y 轴对称的图象得f (－x )的图象，如图(3).(1) (2) (3)指数函数的性质【例5】 (1)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________，值域是________． (1)A (2)[)0，＋∞ [0，1) [ (1)先比较b 与c ，构造函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x.∵0<25<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数，又35>25，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535<⎝ ⎛⎭⎪⎫2525＝c ；再比较a 与c ，构造函数y ＝x 25.∵25>0，∴y ＝x 25在()0，＋∞上为增函数，又35>25，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525＝c ，∴a >c ，故a >c >b .(2)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴x ≥0，∴定义域为[)0，＋∞.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，∴0≤y ＜1，∴此函数的值域为[0，1).]指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．[跟进训练]3．(1)若不等式2－x＋a ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1B ．a ≤－1C ．a >－1D ．a ≥－1(2)设y 1＝40.9，y 2＝80.44，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2(1)D (2)D [(1)原不等式可化为(12)x >－a －1，由于(12)x>0，所以要使原不等式对x ∈R 恒成立，只需－a －1≤0，即a ≥－1. (2)利用幂的运算性质可得y 1＝21.8，y 2＝21.32，y 3＝21.5，再由y ＝2x是增函数可知选D.]1．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．2．画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝x 2是指数函数． ( ) (2)y ＝2－x 在R 上单调递减．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．指数函数y ＝a x与y ＝b x的图象如图所示，则( )A.a <0，b <0 B ．a <0，b >0 C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1，0<b <1C [因为y ＝a x是减函数，y ＝b x是增函数，所以0<a <1，b >1.] 3．函数y ＝ax －3＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________．(3，4) [法一：因为指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y ＝ax －3＋3中，令x ＝3，得y ＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4).法二：将原函数变形，得y －3＝a x －3，然后把y －3看作是(x －3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y －3＝1，即x ＝3，y ＝4，所以原函数的图象过定点(3，4).]4．已知函数f (x )＝12x－1＋12. (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性．[解] (1)由2x－1≠0，得2x≠1，即x ≠0， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (2)因为函数f (x )的定义域关于坐标原点对称， 且f (－x )＝12－x －1＋12＝2x1－2x ＋12＝－－2x1－2x ＋12＝－1－2x 1－2x ＋11－2x ＋12＝－1＋12－12x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．。

课时分层作业(二十二) 指数函数的概念、图象和性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则下列等式不正确的是( )A ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y )B ．f [(xy )n ]＝f n (x )·f n (y )C ．f (x －y )＝f （x ）f （y ） D ．f (nx )＝f n (x )B [由a m ＋n ＝a m ·a n 及a m －n＝a ma n 知A 、C 、D 正确，故选B.] 2．为了得到函数y ＝2x －3＋1的图象，只需把函数y ＝2x上的所有点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C [y ＝2x ――――→右移3个单位y ＝2x －3――――→向上平移1个单位y ＝2x －3＋1. ] 3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的值域为( ) A ．{y |y >0}B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}D [由于|x |≥0，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |为偶函数，结合其图象知0<y ≤1.] 4．若函数y ＝a x＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a <1，且b >0C [根据题意，画出函数y ＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的大致图象，如图所示．所以0<a <1，且f (0)＝1＋b －1<0，即0<a <1，且b <0.故选C.]5．一批价值为a 的设备，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( )A ．na (1－b %)B ．a (1－nb %)C ．a [1－(b %)n]D ．a (1－b %)n D [1年后，这批设备价值为a (1－b %)2年后，这批设备价值为a (1－b %)(1－b %)＝a (1－b %)2…… n 年后，这批设备价值为a (1－b %)n .故选D.]二、填空题6．若f ()x ＝π－(x －n )2的最大值为m ，且f (x )是偶函数，则m ＋n ＝________．1 [因为f (－x )＝f (x )，所以π－(－x －n )2＝π－(x －n )2所以－(－x －n )2＝(x －n )2.所以n ＝0，f ()x ＝π－x－x 2， 因为x 2≥0，所以－x 2≤0.所以0<π－x 2≤1.所以m ＝1，故m ＋n ＝1.] 7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥0，，则不等式f (x )≥13的解集为________． {x |0≤x ≤1} [当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13， ∴0≤x ≤1.当x <0时，不等式1x ≥13明显不成立． 综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．] 8．函数y ＝23－x 与________的图象关于y 轴对称，与________的图象关于x 轴对称，与________的图象关于原点对称．y ＝23＋x ，y ＝－23－x ，y ＝－23＋x [因为图象与y ＝2－x 关于y 轴对称的函数为y ＝2x ，所以函数y ＝23－x 与y ＝23＋x 的图象关于y 轴对称．关于x 轴对称的图象为y ＝－23－x，关于原点对称的图象为y ＝－23＋x .]三、解答题9．画出函数y ＝2|x ＋1|的图象，并根据图象指出它的单调区间．[解] 变换作图，y ＝2x ――――→右留且右往左翻y ＝2|x |――――→向左平移1个单位y ＝2|x ＋1|，如图．由图可知函数y ＝2|x ＋1|在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．10．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．[解] 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12．11．下列函数中值域为正实数集的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝31－xC ．y ＝x 12D ．y ＝x 13B [∵1－x ∈R ，∴y ＝31－x 的值域是正实数集，]12．若3m ＋2－n ≥3n ＋2－m 则( )A ．m ＋n ≥0B ．m ＋n ≤0C ．m －n ≥0D ．m －n ≤0C [3m ＋2－n ≥3n ＋2－m ⇔3m －2－m ≥3n －2－n .又f ()x ＝3x －2－x是增函数，f ()m ≥f ()n ， 则m ≥n ，即m －n ≥0.]13．已知f ()x ＝e x －e －x 2，则下列正确的是( ) A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数A [由f ()－x ＝e －x －e －（－x ）2＝e －x －e x2＝－f ()x 知，f ()x 是奇函数．由y ＝e x 是增函数，y ＝e －x 是减函数知，f ()x 是增函数.]14．函数f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x 在区间[－1，1]上的最大值为________． 83 [由f ()x 是减函数，知f ()x max＝f ()－1＝83.]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．[解] (1)∵f (x )为奇函数且在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0， ∴b ＝1，∴f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a. 又∵f (－1)＝－f (1)，∴－2－1＋11＋a ＝－－2＋14＋a， ∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2， 先研究f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2的单调性． ∵f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，∴f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2在R 上为减函数．∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，即f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ). 又∵f (x )在R 上为减函数，∴t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R ，有3t 2－2t －k >0，∴Δ<0，即4＋12k <0，∴k <－13.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

课时分层作业(十五) 函数的表示法(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为()x 123f(x)230 B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f(1)＝2.]2．如果f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x1－x，则当x≠0，1时，f (x)等于()A.1x B．1x－1C．11－xD．1x－1B[令1x＝t，则x＝1t，代入f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x1－x，则有f(t)＝1t1－1t＝1t－1，即f(x)＝1x－1，∴f(x)＝11－x，故选B.]3．若f (x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝()A.3x＋2 B．3x－2C.2x＋3 D．2x－3B[设f(x)＝ax＋b，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧2（2a ＋b ）－3（a ＋b ）＝5，2（0·a ＋b ）－（－a ＋b ）＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.] 4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A.2x ＋1 B ．2x －1 C.2x －3D ．2x ＋7B [∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.] 5．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A.1 B ．3 C ．15 D ．30 C [令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4（t －1）2－1(t ≠1)，即f (x )＝4（x －1）2－1(x ≠1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15.] 二、填空题6．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________．1 [由题设给出的表知f (3)＝4，则f ( f (3))＝f (4)＝1.]7．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5，4)，则实数m 的值为_____． 5 [将点(5，4)代入f (x )＝x －mx ，得m ＝5.]8．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝_____． 2x －23 [设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－23， 则f (x )＝2x －23.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7.10．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋b x .且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝100，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35，代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b 7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N *，0<x ≤20). (2)当x ∈{1，2，3，4，5，…，20}时，列表：x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.811．若一次函数的图象经过点A (1，6)和B (2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4C ．(－1，3)D ．(－2，1)A [设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1，6)和B (2，8)，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4， 只有A 选项的坐标符合此函数的解析式． 故选A.]12．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝||x B ．f (x )＝x －||x C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－xC [f (x )＝kx 与f (x )＝k ||x 均满足f (2x )＝2f (x )得，A ，B ，D 满足条件．] 13．已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10C [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.]14．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为______．f (x )＝－x －2x (x ≠0) [由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，① 用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋3x ，②由①②可解得f (x )＝－x －2x (x ≠0).]15．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．[解] 因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，① 又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b ＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12. 所以f (x )＝x12x ＋1＝2x x ＋2. 所以f (f (－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.。