九年级数学中考解题指导华东师大版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习⑷图形的认识㈠华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑷图形的认识（一）三角形、四边形二. 重点、难点扫描：1. 几何初步：⑴点和线；⑵角⑶相交线与平行线；2. 角平分线、线段垂直平分线及其性质；3. 三角形：三角形的概念、三角形中位线的性质、等腰三角形与直角三角形；4. 全等三角形的性质与识别。

5. 多边形：多边形的内角和；多边形的外角和；用正多边形铺满地面。

6. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、特征及识别方法。

7. 等腰梯形的概念、等腰梯形的性质与判定。

三. 知识梳理：（一）几何初步、三角形1. 角的有关计算这类问题一般主要考查互余、互补、对顶角的性质及平行线的性质的运用，首先根据已知条件观察图形，分析角与角之间的数量关系，从中找到解决问题的思路及途径，在中考中通常和三角形的内角和定理，内外角性质，或特殊三角形相联系。

2. 角平分线与线段垂直平分线常利用线段的垂直平分线、角平分线的对称思想设计轴对称图形。

这部分内容动手操作性明显，我们在学习中要富于想像，敢于动手，积极动手，用自己的方法进行图案设计。

同时要特别注重观察、收集、分析生活中的图标、商标、建筑物装饰图案等。

3. 平行线的性质与判定的运用平行线的特征与识别是互逆的，有时易混淆，在中考中往往综合运用，也经常与后续知识，平行四边形、相似形等相联系，是中考的重点之一。

4. 三角形三边关系定理的运用三角形三边关系定理是三角形成立的先决条件，注意定理中的“任意”两字的含义，运用这个定理可确定第三边的取值范围。

中考中以选择、填空形式出现。

5. 等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形都是特殊的三角形，注意其特殊的性质，如：等边对等角“三线合一”、勾股定理等。

6. 全等三角形的性质与识别三角形的全等是相似的特殊情况，全等的三角形经平移、旋转、•翻折等运动后能完全重合。

三角形全等的识别方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，在直角三角形中还有HL。

华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习精讲与练习【效果探求】普通地，假设锐角A 的大小确定，我们可以作出有数个以A 为一个锐角直角三形〔如图〕，那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC〔1〕当∠A 变化时，下面等式依然成立吗？ 〔2〕下面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探求可以看出：假设一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相关于这角的邻边的倾斜水平，它与这个锐角的大小有着亲密的关系。

1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

C 1 22、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

〔你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？〕试试看____________________. 思索：你能区分说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：30° 45° 60° sinθcosθ tanθ【总结归结】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只需记住两个三角板的各边比值〔如图〕，严厉依照三角函数的定义，即可心算推出。

初三数学23.2 一元二次方程的解法华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：23.2 一元二次方程的解法二. 重点、难点： 1. 重点：（1）理解一元二次方程解法中的降次思想；（2）会用直接开平方法、因式分解法、公式法、•配方法解一元二次方程.探索一元二次方程的解法过程，体验从不同角度寻求解决问题的策略；（3）知道一元二次方程根的判别式的概念，会用一元二次方程根的判别式判别根的情况.2. 难点：理解配方法，会用配方法推导一元二次方程的求根公式；三. 知识梳理： 1. 直接开平方法直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.（1）形如2(0)x m m =≥的方程.方程的解是：x =当m ＝0时，方程有两个相等的实数根.（2）形如2()(0)x n m m -=≥的方程.方程的解是：x n =.（3）形如2()(0,0)a x n m ma a -=≥≠的方程.方程的解是：x n =. 总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解.温故知新： 平方根的意义：（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根.（2）用式子表示：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根. 2. 因式分解法（1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0.用式子表示为：若0b a =⋅，则a ＝0或b ＝0.（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是：①将方程化为20ax bx c ++=（a ≠0） 的形式； ②将方程的左边分解为两个一次因式的积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解. 点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法；（2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；（3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解. 3. 配方法配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法.归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；（3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；（4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程. 4. 公式法（1）二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式为：x =（240b ac -≥），其中公式中的a 、b 、c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法.（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①首先把一元二次方程化为一般形式； ②确定公式中a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值；④若24b ac -≥0，则把a 、b 、c 及24b ac -24b ac -<0时，此时方程无实数解. 说明：①求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有方程为一元二次方程时，方可运用求根公式，即20ax bx c ++=中a ≠0.②公式中的“24b ac -≥0”是公式成立的一个前提条件.5. 一元二次方程根的判别式（1）判别式的含义：在一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式的推导过程中，我们已经知道，一元二次方程是否有实数根，关键是由24b ac -24b ac -叫做一元二次方程根的判别式，且常用符号“△”表示，即△＝24b ac -.（2）一元二次方程根的判别：（1）当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当24b ac -<0时，方程没有实数根.反之也成立.（3）一元二次方程根的判别式的应用： ①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值X 围； ③求解与根有关的综合题. 6. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，解题过程也分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、答六步.其中审题过程最为重要，通过认真分析题意，弄清已知量和未知量、以及量与量之间的关系，才能找出等量关系，列出方程.最后注意检验方程的解是否符合题意以及在实际问题中是否有意义.【典型例题】例1. 用直接开平方法解下列方程：（1）（x +1）2-4＝0；（2）12（2-x ）2-9＝0．分析：对于形如x 2=a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解.解：（1）原方程可以变形为（x +1）2＝4， 直接开平方，得x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或 x ＋1＝－2． 所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝-3．（2）原方程可以变形为()4322=-x ， 直接开平方，得232±=-x ，即232=-x 或232-=-x ． 所以原方程的解是232,23221+=-=x x ．例2. 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）2x 2＋3＝5x ．分析：根据用配方法解一元二次方程的一般步骤求解．解：（1）移项，得x 2－6x ＝7方程左边配方，得x 2－2∙x ∙3＋32＝7＋32即 （x －3）2＝16． 所以x －3＝±4．原方程的解是x 1＝7，x 2＝-1．（2）移项，得：2x 2－5x ＋3＝0，把方程的各项都除以2，得023252=+-x x ，配方，得22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ，即161452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，所以4145±=-x ，原方程的解是12321==x x ，．例3. 用配方法解方程：x 2＋px ＋q ＝0（p 2-4q ≥0）分析：将字母p 和q 看成已知数，根据配方法的步骤即可求解.解：移项，得x 2＋px ＝－q ，方程左边配方，得2222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x 即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时，得2422qp p x -±=+原方程的解是24242221q p p ，x q p p x ---=-+-=点拨：在配方时方程两边一定要同时加上“一次项系数一半的平方”.例4. 用公式法解下列方程：（1）2x 2＋x -6＝0；（2）x 2＋4x ＝2；分析：用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值．③求出b 2-4ac 的值；④若b 2-4ac ≥0，则利用公式x=-b±b 2-4ac 2a 求出原方程的根；若b 2-4ac ＜0，则方程无实数解．解：（1）因为 a ＝2，b ＝1，c ＝-6。

初三数学 一元二次方程复习知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第23章 一元二次方程复习复习目标：⑴了解一元二次方程的有关概念．⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x －3＝2x 2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2. 解一元二次方程的一般解法有⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：⑴x （5x ＋21）＝20 ⑵x 2＋9＝6x ⑶x 2－3x ＝－54. 设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1·x 2＝______．例如：方程x 2＋3x －11＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1·x 2＝_______．5. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝•_______，•x 1·x 2＝________．三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，即①是整式方程；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3 .一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以⑴不解方程判定方程根的情况；⑵根据参系数的性质确定根的X 围；⑶解与根有关的证明题．4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．6. 本章解题思想总结：⑴转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．⑵从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．⑶分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．四. 易错点点拨易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式．易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．⑴是在解形如“2x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根；⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义．【典型例题】考点1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A.23(1)2(1)x x +=+ B.21120x x+-= C.20ax bx c ++= D.2221x x x +=-⑵方程215x x -=的一次项的系数是． 分析：⑴选A ．因为B 选项含有分式，不是一元二次方程；C 选项由于a 的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D 选项化简后是一元一次方程．⑵确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将方程化为一般形式．解：⑴选A ．⑵5或－5．【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．考点2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．例2. 如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值． 分析：根据方程的解的意义可知，当x ＝0时，方程左右两边相等，此题即是求当x ＝0时，m 的值．但同时一定要记住，当方程是一元二次方程时，二次项系数不为0这一前提条件，即m －2≠0．解：将x ＝0 代入方程中，得： 22(2)03040m m -⨯-⨯+-=，整理得：24m =，2m =±．∵方程为关于x 的一元二次方程，∴m －2≠0，即 m ≠2∴m 的值为－2．【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．考点3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当24b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值X 围；③求解与根有关的综合题．例3. ⑴（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根⑵（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值X 围是（ ）A. m <lB. m >－1C. m >lD. m <－1分析：⑴判定一元二方程的根的情况，一种方法是根据乘方的定义，即任何一个数的平方都是非负数来确定；另一种方法就是根据“Δ＝24b ac -”的值来确定．⑵一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值X 围．解：⑴因为方程Δ＝24b ac -＝2(2)41(1)--⨯⨯-＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选B ；⑵根据一元二次方程根的判别式可得：2(2)4m --＜0 ，解得：m ＞l ，故选C ．【评注】一元二次方程根的判别式的运用，是一正一反的过程，在运用时，一定要明确是确定方程的根的情况还是根据根的情况确定字母系数的值或X 围，从而选择正用还是逆用．考点4：解一元二次方程相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法．⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法． ⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．例4. 解下列方程：⑴（x ＋1）2＝12⑵（2x ＋1） （3x －1）＝1⑶2x （x ＋2）＋1＝0⑷16－x 2－4x ＝0⑸3（x －2）2＝x （x －2）解析：⑴方程形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0），所以选用直接开平方法解简便．另外，把方程整理成一般形式之后，如果一次项系数等于零，也选用直接开平方法来解．用直接开平方法：得 x ＋1x 1－1， x 2＝ －1． ⑵方程整理为 6x 2＋x －2＝0；其左边可分解成（2x －1）（3x ＋2），所以选用因式分解法．当然，如果方程中常数项为零，一次项系数不为零也可用因式分解法．用因式分解法：（2x －1）（3x ＋2）＝0 ∴x 1＝12，x 2＝－23． ⑶方程整理成一般形式：2x 2＋4x ＋1＝0；左边不能在有理数X 围内因式分解，所以选用公式法简便．用公式法：∵b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8，∴x ＝2b a -±1±2⑷方程整理为 x 2＋4x －16＝0；由于不易分解，且系数简单，可选用配方法，当然也可用公式法．（此题用配方法写解题过程）整理方程得：x 2＋4x ＝16 配方得x 2＋4x ＋4＝16＋4 （x ＋2）2＝20 则x ＋2＝±∴x 1＝2， x 2＝ －2．⑸观察方程特点，方程左右两边都有因式（x －2），当然用因式分解法了．由3（x －2）2＝x （x －2）得3（x －2）2－x （x －2）＝0 因式分解为得（x －2）[3（x －2）－x]＝0∴x －2＝0或2x －6＝0， ∴x 1＝2， x 2＝3．由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法．例5. 解方程：⑴（2007）解方程：2410x x +-=．⑵（2007某某某某）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．分析：⑴根据计算：Δ＝24b ac -＝20，其值不是完全平方数，所以不宜用因式分解法，因此，可考虑配方法或公式法来解．⑵方程先化成一般形式x 2－3x ＝0，再分析，很明显用因式分解法．解：⑴配方，得：（x ＋2）2＝5，解得：x 1＝－2x 2＝－2；⑵原方程化为：x 2－3x ＝0，解得：1x ＝0，2x ＝3【评注】一元二次方程的四种解法用哪一种解法最简便，是因题而异的，解题步骤也不是如上面总结一成不变的，必须经过对题目的观察与分析，才能选择适当方法，使解题过程简捷．考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则ac x x ,a b x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac≥0，即方程一定有实数根．根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．例6. ⑴（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）（A ）－1或34（B ）－1 （C ）34（D ）不存在 ⑵（2007某某德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a+=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 分析：以上所选的两道中考题，属于同一种类型，即都是根据一元二次方程根与系数的关系，分别求得12x x +和12x x 的值，⑴是利用方程思想求字母系数k 的值，特别要注意一元二次方程一定有实数根这一前提条件的检验．⑵是求代数式2112x x x x +的值时，要先转化为含有12x x +和21x x ⋅的形式．解：⑴由题意，得：12x x +＝－k ，21x x ＝243k -，再代入2121x x x x =+，得：－k＝243k -，即：2430k k +-=，所以(1)(43)0k k +-=，解得k 的值为－1或34； 又∵k ＝－1时，方程为：210x x -+=，该方程无解，∴舍去．故选C ．⑵因为2112x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-，再将12x x +=－6和3x x 21=代入，得：原式＝36233-⨯＝10． 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ⋅的形式，然后把12x x +，21x x ⋅的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：①222121212()2x x x x x x +=+-②12121211x x x x x x ++= ③212122221212()211()x x x x x x x x +-+=④22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=⑤12x x -=考点6： 一元二次方程的应用相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．⑶列：就是指根据等量关系列出方程．⑷解：就是求出所列方程的解．⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况．⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则． 以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位．⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．2. 常见的应用题：⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式2(1)a x b +=或2(1)a x b -=，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长或降低率，b 表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量，100⨯售价－进价利润率＝％进价” 例7. （2007某某省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）分析：此题是平均增长率问题，相等关系是“2008年的利用率达到60%”．对于每年产出的农作物秸杆的总量，可以作为1，也可以设一个未知数，在解题中会自然约去．解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得： 30%a （1＋x ）2＝60%a ，即（1＋x ）2＝2，∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41（不合题意舍去）．∴x ≈0.41.答：我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%．例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m 2，道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．图1 图2解：设道路的宽应是x 米，依题意得：(20)(32)540x x --=整理得：2521000x x -+=解得：12250x x ==，（不符合题意，舍去）答：道路的宽应是2米．【评注】方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型，在运用一元二次方程解决实际问题时，要注重对数量关系的分析，要有意识地弄清各数量之间的变化规律，用相应的数学知识和我们已有的经验去解决问题．考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析． 例9. （2006年某某某某市）阅读下面的例题：解方程：x 2—|x|—2＝0解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2—x —2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝—1（不合题意，舍去）．（2）当x <0时，原方程化为x 2＋x —2＝0，解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝—2∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—2．请参照例题解方程x 2—|x —3|—3＝0，则此方程的根是．分析：本题首先请阅读例题的解法，再仿照其方法解类似的一元二次方程．解：当x —3≥0时，原方程化为x 2—x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1均不合题意，舍去． 当x —3<0时，原方程化为x 2＋x —6＝0，解得x 1＝2，x 2＝—3．∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—3．故填2，—3．点评：认真看懂例题的解题方法是关键．例10. （2006年某某某某市）先阅读，再填空解题：（1）方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝－3，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－12；（2）方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32； （3）方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝， x 2＝．则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ⋅与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．解：（3）.25—3,25321=+=x x .1,32121=•=+x x x x 猜想.,—2121mp x x m n x x =•=+ ∵一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两个实数根是.24,242221mmp n n x m mp n n x —————=+= ∴m n m mp n n m mp n n x x ——————=++=+24242221， .4)4()(242422222221m p m mp n n m mp n n m mp n n x x ==•+=•———————点评：本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系．关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两根为x 1，x 2，那么.,—2121m p x x m n x x =•=+由方程（1），（2），（3）的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2、（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m的取值X 围是（ ）A. m<lB. m>－1C. m>lD. m<－13、（2007某某内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A. 2(2)2x -=B. 2(2)2x +=C. 2(2)2x -=-D. 2(2)6x -= 4、（2007某某某某）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2＋4＝0B. 4x 2－4x ＋1＝0C. x 2＋x ＋3＝0D. x 2＋2x －1＝05、（2007某某某某）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1＋a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a 2%）＝1486、（2007某某某某）已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是（ ）A. m ＞－1B. m ＜－2C. m ≥0D. m ＜07、（2007某某某某）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）A. 2B. －2C. 4D. －4二、填空题1、（2007某某）已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、（2007某某眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.3、（2007某某某某）方程220x x -=的解是.4、（2007某某某某）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =5、（2007某某某某）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿． 6、（2007某某某某）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

中考一元二次方程及其解法聚焦一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：一、基础篇(一)概念例1（盐城市）已知x=1是一元二次方程x2－2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或－1析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1代入该方程解得m=1，故选A。

点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。

注意二次项的系数不为0。

(二)一元二次方程的解法1、配方法例2（淮安市）方程x2+4x=2的正根为（）A．2－6 B．2+6 C．－2－6 D．－2+6析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解这个方程得：x+2=±6,x1=－2+6,x2=－2－6，由此可得这个方程的正根是－2+6，故选D。

2、公式法例3（福州市）解方程：x2+8x+1=0析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里a=1，b=8，c=1，则b2－4ac=82－4×1×1=60,所以x=2608±-=21528±-=－4±15,则x1=－4+15,x2=－4－15.3、因式分解法例4（天门市）方程x（x+3）=（x+3）的根为（）A、x1=1,x2=3B、x1=1,x2=－3C、x=1D、x=－3析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得：x（x+3）－（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x －1）（x+3）=0，解得x 1=1，x 2=－3。

点评：解一元二次方程关键是方法的选择。

当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。

考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合——代几结合，掌握中考风向标◆类型一 锐角三角函数与四边形的综合1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD的长为( )A ．3 B.163 C.203 D.165第1题图第2题图2．(2016·宝山区一模)如图，菱形ABCD 的边长为10，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为________．3．(2016·福州中考)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O )为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是________．第3题图第4题图4．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A ＝43，则CD ＝________．5．(2016·菏泽中考)如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan ∠EBC ＝________．第5题图第6题图6．(2016·东营中考)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝55cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长为________cm.7．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E.(1)求证：∠BAM＝∠AEF；(2)若AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝45，求DE的长．8．(2016·杭州中考)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．◆类型二锐角三角函数与其他函数的综合9．如图，直线y＝34x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是() A.45 B.35 C.43 D.54第9题图第10题图10．(2016·海曙区一模)如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________．考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合1．B解析：由题意可得AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在Rt△ADC中，cos∠ACD ＝cosα＝CDAC＝35，即4AC＝35，∴AC＝203.根据勾股定理得AD＝AC2－CD2＝163.2．163.32解析：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF ＝60°，AE＝3a，EB＝2a，∴∠AEB＝90°，∴tan∠ABC＝AEBE＝3a2a＝32.4.65解析：延长AD和BC交于点E.∵在Rt△ABE中，tan A＝BEAB＝43，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE－BC＝4－2＝2.∵在△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴Rt△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝DEDC＝43，∴设DE＝4x，则DC＝3x.在Rt△CDE中，EC2＝DE2＋DC2，∴4＝16x2＋9x2，解得x＝25，则CD＝65.5.13解析：作EF⊥BC于F，设DE＝CE＝a.∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD＝2 CE＝2a，∠DCE＝45°.∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD＝2a，∠BCD＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF ＝EF ＝22CE ＝22a .∴BF ＝BC ＋CF ＝322a .在Rt △BEF 中，tan ∠EBF ＝EF BF ＝13，即tan ∠EBC ＝13.6．36 解析：∵tan ∠EFC ＝34，∴设CE ＝3k ，则CF ＝4k ，由勾股定理得EF ＝DE ＝5k ，∴DC ＝AB ＝8k .由题意可得∠B ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∠AFB ＋∠EFC ＝90°，∴∠BAF ＝∠EFC ，∴tan ∠BAF ＝tan ∠EFC ＝34，∴BF ＝6k ，AF ＝BC ＝AD ＝10k .在Rt △AFE 中，由勾股定理得AE 2＝AF 2＋EF 2，即(55)2＝(10k )2＋(5k )2，解得k ＝1，故矩形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2(8k ＋10k )＝36k ＝36×1＝36(cm)．7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAC ＝90°.∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠EAF ＋∠BAM ＝∠EAF ＋∠AEF ＝90°，∴∠BAM ＝∠AEF ；(2)解：在Rt △ABM 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，cos ∠BAM ＝45，∴AM ＝5.∵F 为AM 的中点，∴AF ＝52.∵∠BAM ＝∠AEF ，∴cos ∠BAM ＝cos ∠AEF ＝45.∴sin ∠AEF ＝35.在Rt △AEF中，∵∠AFE ＝90°，AF ＝52，sin ∠AEF ＝35，∴AE ＝256.∴DE ＝AD －AE ＝6－256＝116.8．解：(1)作EM ⊥AC 于M .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，AD ＝DC ＝3，∠DCA ＝45°.在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝90°，AD ＝3，DE ＝1，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝10.在Rt △EMC 中，∵∠EMC ＝90°，∠ECM ＝45°，EC ＝2，∴EM ＝CM ＝ 2.∴在Rt △AEM 中，sin ∠EAM ＝EM AE ＝210＝55；(2)在△GDC 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ，∠GDC ＝∠EDA ，DC ＝DA ，∴△GDC ≌△EDA ，∴∠GCD ＝∠EAD ，GC ＝AE ＝10.又∵∠AED ＝∠CEH ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°，∴AH ⊥GC .∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ，∴AH ＝6510.9．A 10.512。

初三数学 第26章 随机事件的概率知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第26章 随机事件的概率［学习目标］知道事件发生的可能性是有大有小的，能求出一些简单事件发生的概率以及做出描述；通过实验等活动，理解事件发生的概率，能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．二. 重点、难点：1. 重点：理解理论概率与实验结果之间的关系，掌握其规律.2. 难点：在解决理论概率中树状图、列表法的应用，体会实验模拟获得的估计值逐渐趋于理论概率这一规律．三. 知识梳理：1. 与概率有关的概念⑴事件的可能性的大小：事件按照其发生的可能性的大小可进行如下分类：事件⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(随机事件不确定事件不可能事件必然事件确定事件⑵随机事件发生的可能性大小的研究方法：①凭主观经验估计②用大数次实验估计③理性分析预测⑶概率的含义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．⑷概率的表示和概率的计算公式P ()关注结果＝数所有机会均等的结果个关注结果个数 ⑸用频率解释概率：有些问题比较简单，可以通过分析得出概率，但还有很多问题，人们也经常采取重复实验、观察频率值的方法来得到概率．用这种方法估计概率的关键有如下两点：①要弄清楚我们关注的是发生哪个事件或者哪些结果；②要弄清楚所有机会均等的结果．2. 准确分析预测事件发生的概率⑴分析预测概率的方法：要求的事件发生的结果数与所有等可能发生的结果数的比就是要求的事件的概率．说明：①概率应为所关注事件的结果与所有可能结果的比值；②概率值不能大于1；③同一种分类形式下的所有可能事件的概率和为1．⑵分析一个事件中所有可能发生的结果及要关注的结果，通常用的表示方法有：画树状图、列表等方法，将所有等可能发生的结果一一列举出来，从而求得一个事件的概率．说明：①树状图：在分析问题的过程中，采用画图的方法，这幅图好像倒立的树，有时还画成横树状图；②按一定规律画树状图，要做到不重不漏；③画树状图不方便时，可改用列表方式或枚举法，可使结果一目了然．⑶理性分析预测随机事件的概率（理论概率）与用大数次试验估计概率（实验概率）的区别：①理论概率是通过理性分析预测得到的；实验概率是通过无数次反复实验后的频率值规律而得到的；②理论概率是凭借经验和方法得出的，其过程较理性；实验概率是以无数次实验为基础的，得出的过程较直观；③理论概率的得出节省时间，但分析不当，会得出错误的概率值；实验概率的得出要用大量的时间，实验次数不足，会出现一定的误差．3. 用替代物模拟实验在实验中往往会出现找不到相应的实物或用实物进行实验难度很大的情况，或者说复杂的随机事件发生概率不能用列表法和画树状图法求得，这样，用替代物进行实验，会给实验带来很多方便．说明：⑴同一实验有各种各样的替代物，替代物的选取必须合理，与原来产生的各种可能性相同，又是简单易寻的材料，这样才能保证实验结果的可信度．⑵模拟实验的原则，必须保证实验在相同条件下进行，还要保证实验的随机性，如摸牌或摸球，放回时一定要注意摇匀．⑶要重复多次实验．4. 用计算器模拟实验有的时候，我们很难找到实物来替代进行模拟实验或用实物替代比较麻烦，为了得到更可靠的估计值，可以用计算器模拟实验．用计算器产生的随机数与输入数的X围有关，因此在用计算器模拟实验时，必须确定好所需数的X围，例如有30X大小形状相同的卡片，分别写有1到30的数字，从搅匀的盒子里随机抽出1X，结果是5的倍数的机会是多大？在这种情况下，随机数的X围是1到30．【典型例题】例1. 课堂教学时，教师问“假如一个母亲生的是双胞胎，那么是龙凤胎的概率是多少？”，心急的小强抢着说“三分之一”，并解释说：“一共有三种可能：两男、两女、一男一女，”，请问小强的回答是否正确？为什么？分析：这是一个较为有趣的问题，稍不注意就出现错误，其实此题跟“抛两枚硬币，出现一正一反的概率”相同．解：小强的回答不正确；因为所有等可能的结果为：两男、两女、一男一女、一女一男，所以双胞胎是龙凤胎的概率为二分之一．例2. 交通信号灯，俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了，“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保证交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？小刚每天骑自行车上学要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？解析：每经过一个路口有一次选择，画树状图应有3个层次，每次不是红就是绿，树状图如下图．所以，小刚经过路口遇到红绿灯的情况共有8种，即：（红，红，红）、（红，红，绿）、（红，绿，红）、（红，绿，绿）、（绿，红，红）、（绿，红，绿）、（绿，绿，红）、（绿，绿，绿），所以，小刚从家随时出发去学校至少遇到一次红灯的概率为87．例3. 小明和小飞，两人做游戏，抛掷一枚普通的硬币四次，规定掷出“三次正面一次反面”时小明胜，“两次正面两次反面”时小飞胜，这个游戏规则公平吗？ 分析：要讨论游戏是否公平，就是要看两位同学获胜的机会是不是相同，也就是两人的概率是否一样大．类似的这种游戏还有“抽取数字”，“抽取扑克牌”等，这种游戏，根据抽取次数，画出树状图，对结果进行整理和分析即可．解：用树状图分析一下：从树状图中可以看出一共有16种机会均等的结果．“三次正面一次反面”的概率为41， “两次正面两次反面”的概率为83， 所以，P （两次正面两次反面）＞P （三次正面一次反面），即小飞比小明更容易获胜．这个游戏不公平．例4. 有长度分别为2，4，6，8，10的五根木棍，从中任意抽取三根，能构成三角形的概率是多大？分析：这是一个实际问题，又和三角形的三边关系结合起来．所以在解答时要注意问题的实际意义，同时要利用统计知识对所有可能的情况进行分析，才能得出正确的答案．解：五个数，任取三个数的各种可能情况如下：（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）．（2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，8）．（4，6，10）．（4，8，10）．（6，8，10）共10种．其中7种情况不能构成三角形，它们是：（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）． （2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，10）．因此，构成三角形的情况有：（4，6，8）．（4，8，10）．（6，8，10）三种情况，则构成三角形的概率为310．例5. 把大小和形状一模一样的6X 卡片分成两组，每组3X ，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一X ，试求取出的两X 卡片数字之和为偶数的概率．解析：本题涉及到从两个不同的盒子抽卡片，且需要列出所有的数字的和，所以用列表法列出所有可能出现的结果更有利于解决问题．所列的表格如下：由表格可知，所由等可能的结果共9种，其中，两X 卡片数字之和为偶数的有5种，所以取出的两X 卡片数字之和为偶数的概率为P （和为偶数）＝95．例6. 一X 圆桌子有四个座位，A 先坐某一位置上，B 、C 、D 三人随机坐到其它三个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率．分析：因座位只有四个，是有限的，因此可以用列举法列举出所有的情况，如图：D B B C D D A B A DD C D B C B由于A 的位置已确定，B 、C 、D 三人随机而坐的情况就只有以上6种，其中A 与B 不相邻而坐的共有2种情况，解：A 与B 不相邻而坐的概率P ＝3162 ．点拨：画树状图分析预测概率即理论概率，是常用的一种方法，但有时根据具体的实际情况，画树状图不一定能很好的反映问题，而通过画实际图形，或画出所有的情况，如本题就是一个很好的方法．只要能通过图形把问题表达清楚就行．例7. 【田忌赛马】齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：⑴请按如图的形式，列出所有其他．．可能的情况； ⑵田忌能赢得比赛的概率是___________．解析：⑴其他可能的对阵形式有：田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下马 齐王下马田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马 齐王中马田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中马 齐王上马⑵根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为61．例8. 先阅读填空，再解答问题．一. 阅读填空：⑴从0～9的数字中任取一个可得到个位数9个（不含0）．⑵从0～9的数字中任取两个（可重复取）组成两位数，我们先确定十位数，有9种可能（不含0）；再确定个位数，有10种可能（含0），所以可组成两位数9×10＝90（个）．⑶从0～9的数字中任取三个（可重复取）组成三位数，我们先确定百位数，有_____种可能（不含0），再确定十位数，有_____种可能（含0）；后确定个位数，有______种可能（含0），所以可组成三位数_________＝____（个）．二. 解答问题：问题1： 从A 地到达C 地必经过B 地，若从A 地到B 地有2条行走路线，从B 地到C 地有3条行走路线，那么从A 地到C 地的行走路线有（ ）A. 2条B. 3条C. 5条D. 6条问题2：购买体育彩票，特等奖可获得500万元巨奖，其获奖规则如下：如果你购买的彩票与开出的完全相同，就可以获得该奖，开奖的通过如下方法获得：将0～9（共计7组）放入七台摇号机中，并编上序号①～⑦，规定第①台机摇出的为首位，第②台机摇出的为第二位……，第⑦台机摇出的为第七位，请你分析一下，购买一X 体育彩票，中特等奖的概率是多少？解析：此题需要较强的探究精神，题目也有一定的变化，但只要你有信心，完全可以找到它们之间的联系并解决．答案提示 （3）9，10，10，9×10×10，900；问题1：D ；问题2：0.0000001．例9. 学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有只有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球．搅拌均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如下图）⑴如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？⑵如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？分析：概率中统计问题通常能够帮助我们解决日常生活中游戏的公平性、获奖的可能性等等．判断一个游戏是否公平，或者奖项设置是否合理，•都是从它们发生的机会来判断，本题需要用到乘法原理来解答．解：⑴∵白球的个数为50－1－2－10＝37∴摸不到奖的概率是：3750⑵∵获得10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球 ∴获得10元奖品的概率是：12549 ＝11225 [乘法原理 做一件事，若完成它需要n 个步骤，而第1个步骤有1m 种方法，第2个步骤有2m 种方法，……，第n 个步骤有n m 种方法，则完成这个事件共有：1m ×2m ×…×n m 种方法．]例10. 设计一个模拟实验估计4人中2人血型相同的概率．分析：人类的血型共分四大种：A 型、B 型、O 型、AB 型，设计模拟实验，需设计4种可能，分清每次实验的内容．解：取4个大小、质量完全相同的小球，分别标上A 、B 、O 、AB 放入一个不透明的袋子里，从袋中任意摸出一球，作记录，连续摸4次，作为一次实验，记录是否有2个血型相同．重复多次这样的实验，利用频率来估算概率．例11.某公司有5X 电影票，现在要将它们随机分给50名职工中的5人．为了保证公正，你能利用计算器帮助经理作出决定吗？分析：这是一道用计算器进行模拟实验的题目，其关键是确定在什么X 围内利用计算器产生随机数，以及如何建立模拟实验．由于分给50名职工，因此，用1～50之间的整数产生5个随机整数，即可进行模拟实验．解：利用计算器产生5个1～50之间的随机整数．先将所有的职工编号为1～50之间的整数，编号与这5个随机整数相同的职工将获得电影票．若5个数字中有重复的，可以利用计算器再产生几个随机数，直到产生5个不同的整数即可．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题1. 一副没有大小王的扑克，共52X ，抽出一X 是红桃的机会为______________，随机地抽一X 是黑色牌的频率为___________________．2. 抛掷两枚均匀的硬币，出现一正一反的机会为__________________．3. 在做抛掷均匀的骰子的实验时，没有骰子，可用__________代替，此时_______相当于掷骰子时出现1．4. 有种彩票的中奖机会是万分之一，某人按要求写了不同的100注，他中奖的可能性为_________________．5. 如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为．6. 抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4，5，6的普通正方体骰子，写出这个实验中的一个出现机会是31的可能事件：___________．二、选择题7. 下列说法中正确的有（ ）（1）用实验的方法得到的频率是近似的，实验次数越大，越准确．（2）不做实验也能估计事件发生的频率，所以做实验是没有必要的．（3）中奖的机会是1%，所以任意买100X ，一定会中奖．（4）掷一枚均匀的骰子，出现偶数的机会是21． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 下列说法正确的是（ ）A. 体育彩票中奖的机会是千万分之一，所以无论你买几注都不会中大奖的．B. “只要有1%的可能，就要尽100%的努力”是瞎忙碌，1%的可能的事情，怎么会成功呢？C. 在有奖销售摇奖时，摇奖的转盘越大，你获奖的机会就越大．D. 在0至9的9个数中随机地取一个，不是9的机会是109． 9. 如图所示，是两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的是（ ）A. 小王说：转盘（1）中蓝色区域的面积比转盘（2）中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘（1）比摇转盘（2）时，蓝色区域得奖的可能性大．B. 李兵说：两个转盘中指针指向蓝色区域的机会一样大．C. 在转盘（1）中，指针指向红色区域的频率是31． D. 在转盘（2）中只有红、黄、蓝三种颜色，指针指向每种颜色的机会都是31． 10. （2007，某某）在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一X “哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A. 15B.29C.14D.51811. （2007，某某市）下列说法正确的是（）A. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%．B. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次．C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数．D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100X一定会中奖．12. 初二（1）班有男生25名，女生25名，现需要选取一名同学首先值日，用计算器模拟实验时，产生随机数的X围是（）～～～～50三、解答题13. 小猫在如图所示的地板上面自由地走来走去，它最终停留在白色方砖上的可能性是多少？甲同学认为小猫停留在白色方砖上的可能性与下面事件的可能性相同：一个袋中装有12个黑球和4个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个是黑球，这种说法你同意吗？14. 用6个球设计摸球游戏，分别满足下列要求：（1）摸到红球的可能性是12，摸到白球的可能性是12．（2）摸到红球、白球、黄球的可能性都是13．（3）摸到红球的可能性是12，摸到白球的可能性是13，摸到黄球的可能性是16．（4）摸到红球的可能性是23，摸到白球、黄球的可能性都是16．15. 足球甲A联赛中，国安队和某某平安队最后总积分和净胜球都相同．足协决定采用抽签的方式确定冠亚军，抽签方式如下：两队从同一幅扑克牌（不包括大、小王）中分别抽出一X，点大者胜出，点数计算如下：从A到K依次为1、2、3…13点，同点数不同花色的从大到小的顺序依次是黑桃、红心、梅花、方块．问：（1）先抽出哪X牌必胜？哪X牌必输？（2）当国安队抽到一X梅花“J”时，某某平安队要胜出的可能性有多少（请简要说明理由）？16. “养鱼大王”郝有财为了与销售商签订购销合同，需对自己鱼塘中的鱼的总重量进行估计，为此，他先从鱼池中捞出100条，将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出100条，称得重量为216千克，且带有记号的鱼为20条，郝有财的鱼塘中估计有鱼多少条？共重多少千克？17. （2007，某某市）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14． （1）求袋中黄球的个数．（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．18. 某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑． 希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台．【试题答案】1. 21,41 2.21 3. 袋中摸标有1、2、3、4、5、6号的六个除编号不同外，其余一样的小球，摸出小球1；4. 1%5. 91 （提示：根据概率定义知：镖落在正方形木版上面积为36个小正方形的面积，而镖落在阴影部分面积为4个小正方形面积，所以镖落在阴影部分的概率为91364==（阴影部分的概率）P ．） 6. 答案不唯一．朝上一面上的数是1或2，朝上一面上的数小于3．7.B 8.D 9.B 10. B13. 可能性为123164=，这种说法是正确的． 14.（1）3个红球，3个白球；（2）2个红球，2个白球，2个黄球，（3）3个红球，2个白球，1个黄球；（4）4个红球，1个白球，1个黄球．15. （1）先抽出黑桃K 必胜出：抽到方块A 必输；（2）因为国安队抽到一X 梅花J ，按规则，若某某平安队抽到Q 或K 都将胜出，则有2×4＝8种，若某某平安队抽到黑桃J或红心J 也将胜出，则有2种，平安队胜出一共有10种情况，故某某平安队胜出的可能性为5110． 16. 500条1080千克17. （1）袋中黄球的个数为1个； （2）方法一、列表如下：*红1 红2 黄 蓝 红1* （红1，红2） （红1，黄） （红1，蓝） 红2（红2，红1） * （红2，黄） （红2，蓝） 黄（黄，红1） （黄，红2） * （黄，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，黄） *所以两次摸到不同颜色球的概率为：105126P ==． 方法二，画树状图如下：18. （1）树状图如下：有6种可能结果：（A ，D ），（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．（2）因为选中A 型号电脑有2种方案，即（A ，D ）（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是31 （3）由（2）可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得3660005000100000.x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得80116.x y =-⎧⎨=⎩，经检验不符合题意，舍去．当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得 3660002000100000.x y x y +=⎧⎨+=⎩，word11 / 11 解得729.x y =⎧⎨=⎩， 所以希望中学购买了7台A 型号电脑．【励志故事】神奇的皮鞋多明尼奎·博登纳夫，是法国一位年轻的企业家、艺术家。

(华东师大版)九年级|数学下册(全册)（中|考）知识点汇总第|一局部教材知识梳理·系统复习第|一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1 )按定义分(2 )按正、负性分正有理数有理数0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数(1 )0既不属于正数,也不属于负数.(2 )无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②…(每两个1之间多个0 )就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如,；④三角函数型：如sin60°,tan25°.(3 )失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2 , = -3 ,它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴(1 )三要素：原点、正方向、单位长度(2 )特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：.3.相反数(1 )概念：只有符号不同的两个数(2 )代数意义：a、b互为相反数 a +b =0(3 )几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a ,特别的0的绝|对值是0.例：3的相反数是-3 , -1的相反数是1.4.绝|对值(1 )几何意义：数轴上表示的点到原点的距离(2 )运算性质：|a| = a (a≥0)；|a -b| = a -b(a≥b)-a(a＜0). b -a(a＜b)(3 )非负性：|a|≥0 ,假设|a| +b2 =0,那么a =b =0.(1 )假设|x| =a (a≥0 ) ,那么x =±a.(2 )对绝|对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝|对值是5；| -2| =2；绝|对值等于3的是±3;|1 -| = -1.第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)(2 )解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a 系数化为1时,注意系数的正负性,假设系数是负数,那么不等式改变方向.知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组．(1 )在表示解集时"≥〞, "≤〞表示含有,要用实心圆点表示；"＜〞, "＞〞表示不包含要用空心圆点表示．(2 )不等式(组)的解集情况,求字母系数时,一般先视字母系数为常数,再逆用不等式(组)解集的定义,反推出含字母的方程,最|后求出字母的值.如：不等式(a -1 )x＜1 -a的解集是x＞-1 ,那么a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共局部7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小,小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大,小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1 )一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.(2 )应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有"至|少(≥)〞、"最|多(≤)〞、"不低于(≥)〞、"不高于(≤)〞、"不大(小)于〞、"超过(＞)〞、"缺乏(＜)〞等；b.隐含不等关系：如"更省钱〞、"更划算〞等方案决策问题,一般还需根据整数解,得出最|正确方案注意：列不等式解决实际问题中,设未知数时,不应带"至|少〞、"最|多〞等字眼,与方程中设未知数一致.第10讲一次函数八、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1 )概念：一般来说,形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地,当b ＝0时,称为正比例函数．(2 )图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点(0,b)和(-b/k,0 )的直线.特别地,正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点(0,0 )的直线.例：当k＝1时,函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k ,b符号K＞0 ,b＞0K＞0 ,b＜0K＞0 ,b =0 k<0 ,b>0k<0 ,b<0k<0 ,b＝0(1 )一次函数y =kx +b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置.(2 )比拟两个一次函数函数值的大小：性质法,借助函数的图象,大致图象第11讲反比例函数的图象和性质九、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1 )定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数．(2 )形式：反比例函数有以下三种根本形式：①y＝kx；②y =kx -1; ③xy =k.(其中k为常数,且k≠0)例：函数y =3x m +1 ,当m =－2时,那么该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况(1 )判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k.失分点警示(2 )反比例函数值大小的比拟时,首|先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,假设不在那么不能运用性质进行比拟,可以画出草图,直观地判断.k>0 图象经过第|一、三象限(x、y同号)每个象限内,函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限(x、y异号)每个象限内,函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征 (1 )由两条曲线组成,叫做双曲线；(2 )图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交；(3 )图象是中|心对称图形,原点为对称中|心；也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：假设(a ,b)在反比例函数kyx=的图象上,那么(－a ,－b)在该函数图象上.(填"在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例：反比例函数图象过点(－3 ,－1 ) ,那么它的解析式是y =3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义(1 )意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.(2 )常见的面积类型：失分点警示相关面积,求反比例函数的表达式,注意假设函数图象在第二、四象限,那么k＜0.例：反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3 ,那么该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合(1 )确定交点坐标：【方法一】一个交点坐标为(a,b ) ,那么根据中|心对称性,可得另一个交点坐标为( -a, -b ).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2 )确定函数解析式：利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3 )在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系,涉及与面积有关的问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.可采用假设法,分k＞0和k＜0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4 )比拟函数值的大小：主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 例：如下图,三个阴影局部的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S △BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2设出函数表达式；(3 )依题意求解函数表达式；(4 )根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a ,b ,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.例：如果函数y =(a－1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠0.2.解析式(1 )三种解析式：①一般式：y =ax2 +bx +c;②顶点式：y =a(x -h)2 +k(a≠0) ,其中二次函数的顶点坐标是(h,k ); ③交点式：y =a(x -x1)(x -x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2 )待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据条件,得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组) ,求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.假设条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式；假设顶点坐标或对称轴方程与最|值,可设顶点式；假设抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O(1 )比拟二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比拟；④图象法：画出草图,描点后比拟函数值大小.失分点警示(2 )在自变量限定范围求二次函数的最|值时,首|先考虑对称轴是否在取值范围内,而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时,抛物线y=x2 +2x +7的最|小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时,y随x的增大而增大；当x＜2ba-时,y随x的增大而减小.当x>2ba-时,y随x的增大而减小；当x＜2ba-时,y随x的增大而增大.第13讲二次函数的应用十一、知识清单梳理实际问题中求最|值①分析问题中的数量关系,列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最|值应用题要注意两点：①设未知数,在"当某某为何值时,什么最|大(最|小)〞的设问中, "某某〞要设为自变量, "什么〞要设为函数；②求解最|值时,一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质,探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最|值,解决问题由于面积等于两条边的乘积,所以几何问题的面积的最|值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第9讲平面直角坐标系与函数十二、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1 )定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．(2 )几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x ,y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴) ,再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征(如下图)：点P(x,y)在第|一象限⇔x＞0 ,y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0 ,y＞0；点P (x,y )在第三象限⇔x＜0 ,y＜0；点P (x,y )在第四象限⇔x＞0 ,y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0 ,y＝0.(3 )各象限角平分线上点的坐标①第|一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数(4 )点P (a,b )的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a ,－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a ,b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a ,－b)．(5 )点M (x,y )平移的坐标特征：M (x,y ) M1(x +a,y)M2(x +a,y +b)(1 )坐标轴上的点不属于任何象限.(2 )平面直角坐标系中图形的平移,图形上所有点的坐标变化情况相同.(3 )平面直角坐标系中求图形面积时,先观察所求图形是否为规那么图形,假设是,再进一步寻找求这个图形面积的因素,假设找不到,就要借助割补法,割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线,从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题(1 )点M(a,b)到x轴,y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．(2 )平行于x轴,y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0) ,M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2| ,点M1(x1 ,y) ,M2(x2 ,y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0 ,y1) ,M2(0 ,y2)间的距离为|y1－y2| ,点M1(x ,y1) ,M2(x ,y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 条高 ,求长度时 ,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.中位线平行于第三边 ,且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图① ,AD 平分∠BAC ,AE ⊥BC ,那么∠α =12∠BAC -∠CAE =12(180° -∠B -∠C ) - (90° -∠C ) =12(∠C -∠B )； 如图② ,BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线 ,那么有∠O =12∠A +90°； 如图③ ,BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线 ,那么∠O =12∠A ,∠O , =12∠O ；如图④ ,BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线 ,那么∠O =90° -12∠A.对于解答选择、填空题 ,可以直接通过结论解题 ,会起到事半功倍的效果. 知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时 ,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等 )SAS (两边和它们的夹角对应相等 )ASA (两角和它们的夹角对应相等 )AAS (两角和其中一个角的对边对应相等 )失分点警示如图 ,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等 (HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1 )利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中 ,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时 ,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2 )全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图① ,连接公共边 ,构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系 ,如图② ,由SAS 可得△ACD ≌△△ABE 中 ,AB +BE ＞AE ,即AB +AC ＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系 ,如图③、④.例：如图 ,在△ABC 中 ,∠1 =∠2 ,BE =CD ,AB=5 ,AE =2 ,那么CE =3.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1 )性质①等边对等角：两腰相等 ,底角相等 ,即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.(2 )判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即假设∠B＝∠C ,那么△ABC是等腰三角形.(1 )三角形中"垂线、角平分线、中线、等腰〞四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立. 如：如左图,AD⊥BC,D为BC的中点,那么三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.如假设等腰三角形ABC的一个内角为30°,那么另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.(1 )性质①边角关系：三边相等 ,三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC ,∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2 )判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即假设AB＝AC ,且∠B＝60°,那么△ABC是等边三角形.(1 )等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足"三线合一〞的性质.(2 )等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD =1/2AB.例：△ABC中,∠B =60°,AB=AC ,BC =3 ,那么△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线(1 )性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即假设∠1 ＝∠2 ,PA⊥OA ,PB⊥OB ,那么PA＝PB.(2 )判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图,△ABC中,∠C =90°,∠A =30°,AB的垂直平分线交AC于D ,交AB于E ,CD =2 ,那么AC=6.(1 )性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即假设OP垂直且平分AB ,那么PA＝PB.(2 )判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质21P COBAPCO B A(1)两锐角∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即假设∠B＝30°那么AC＝12 AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即假设CD是中线,那么CD＝12 AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .(1 )直角三角形的面积S =1/2ch =1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高) ,可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2 )两边,利用勾股定理求长度,假设斜边不明确,应分类讨论. (3 )在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即假设∠C＝90°,那么△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．即假设AD＝BD＝CD ,那么△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：假设a2＋b2＝c2 ,那么△ABC是Rt△.第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a cb d=,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段,简称比例线段．列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.2.比例的根本性质(1)根本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；(b、d≠0 )(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；(b、d≠0 )(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k. (b、d、···、n≠0 )比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a =3k,b =5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a =3/5b代入求解.例：假设35ab=,那么a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理(1 )两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.即如下图,假设l3∥l4∥l5,那么AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例根本性质求解.例：如图,D ,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE =2 ,CE =3 ,要使DE∥AB ,那么BC：CD应等于53.(2 )平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例.即如下图,假设AB∥CD ,那么OA OBOD OC=.(3 )平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似．如下图,假设DE∥BC ,那么△ADE∽△ABC.4.黄金点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB＝=5－12≈,那么例：把长为10cm的线段进行黄金分DABC abcDABC abcFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA分割线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点 ,AC 与AB 的比叫做黄金比．割 ,那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图 ,假设∠A ＝∠D ,∠B ＝∠E ,那么△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中假设有平行线 ,可用平行线找出相等的角而判定；②条件中假设有一对等角 ,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 假设有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中假设有一对直角 ,可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中假设有等腰关系 ,可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例 ,且夹角相等的两个三角形相似． 如图 ,假设∠A ＝∠D ,AC AB DFDE= ,那么△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图 ,假设AB AC BC DE DF EF == ,那么△ABC ∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等 ,对应边成比例．(2)周长之比等于相似比 ,面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为2 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图 ,DE ∥BC , AF ⊥BC,S △ADE:S △ABC =1:4 ,那么AF:AG =1：2.7.相似三角形的根本模型(1 )熟悉利用利用相似求解问题的根本图形 ,可以迅速找到解题思路 ,事半功倍. (2 )证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式 ,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后 ,通过证明这两个三角形相似 ,从而得出结果.第18讲 解直角三角形十七、 知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例FEDC B AFEDC BAFE DC BA1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：斜边求直边 ,正弦、余弦很方便；直边求直边 ,理所当然用正切；两边求一边 ,勾股定理最|方便；两边求一角 ,函数关系要记牢；锐角求锐角 ,互余关系不能少；直边求斜边 ,用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中,a =5,sinA=30° ,那么c =10,b =5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB =ac,cos A＝sinB =bc, tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(如图①)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比) ,用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,那么有i＝tanα. (如图②)(3)方向角：平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向) ,那么从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角．(如图③)解直角三角形中 "双直角三角形〞的根本模型：（1）叠合式 (2 )背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.6.解直角三角形实际应用的(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择适宜的边角关系式,使运算简便、准确；一般步骤(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解．第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理知识点一：多边形关键点拨与对应举例1.多边形的相关概念(1 )定义：在平面内,由一些段线首|尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．(2 )对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线,并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．多边形中求度数时,灵活选择公式求度数,解决多边形内角和问题时,多数列方程求解.例：(1)假设一个多边形的内角和为1440°,那么这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线,可以把这个多边形分割成7个三角形,那么该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°(2 )外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形 (1 )定义：各边相等 ,各角也相等的多边形.(2 )正n边形的每个内角为()2180nn-⋅,每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n边形有n条对称轴.(4 )对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形；当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中|心对称图形.知识点二：平行四边形的性质4.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用"□〞表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：(1 )平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.(2 )平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.(3 )过平行四边形对称中|心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.例：如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O ,AB=4 ,AD=3 ,5.平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD ,BC∥AD且AD＝BC. (2 )角：对角相等,邻角互补.即∠BAD＝∠BCD ,∠ABC＝∠ADC ,∠ABC＋∠BCD＝180°,∠BAD＋∠ADC＝180°.(3 )对角线：互相平分.即OA＝OC ,OB＝OD(4 )对称性：中|心对称但不是轴对称.6.平行四边形中的几个解题模型(1 )如图①,AF平分∠BAD ,那么可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形,即AB =BF.(2 )平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中|心对称性,可得经过对称中|心O的线段与对角线所组成的居于中|心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△②中阴影局部的面积为平行四边形面积的一半.(3 ) 如图③,点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BECOD CBA。

初三数学一元二次方程复习课华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：一元二次方程复习课［教学目标］1. 灵活地选择解法，求解一元二次方程。

2. 应用一元二次方程，解决实际中的数学问题。

3. 运用根的判别式，根与系数关系等知识解决较复杂的一元二次方程综合题。

［教学过程］（一）知识点回顾：1. 一元二次方程的四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法2. 根的判别式：关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠ ∆=-b ac 24当∆>0时，方程有两个不相等的实根当∆=0时，方程有两个相等的实根当∆<0时，方程无实根3. 根与系数关系关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠ 当∆≥+=-=01212时，有，x x b a x x c a【典型例题】例1. 用适当的方法解下列一元二次方程。

（1）()()x x +=-11222解：x x x x +=-+=--112112或() x =0或x =2（2）()()x x -=-1212解：()()x x -+-=12102()()x x -+=110∴或∴，x x x x -=+===-10101112（3）67302x x --=解：()()31230x x +-=∴或∴，310230133212x x x x +=-==-= （4）3412x x =+解：34102x x --=∆=---=>()()44312802××∴±×±∴，x x x =--==+=-()4282327327327312 （5）223002x x --=（注：用配方法） 解：x x 22215-= x x x 222222241524241218-+=+-=()()() ∴±∴，x x x -===-2411423252212 注：用配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。