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垂直于弦的直径教案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的定义和性质。
2. 学生能够熟练运用垂直于弦的直径定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容：
1. 垂直于弦的直径的定义：在圆中，过圆心且与弦垂直的线段称为该弦的直径。
2. 垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3. 垂直于弦的直径定理的应用：通过实例讲解如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
三、教学策略：
1. 导入新课：通过提问或展示相关图片，引导学生回顾圆的基本概念，为学习垂直于弦的直径做好铺垫。
2. 讲解新知：通过讲解和示范，让学生理解垂直于弦的直径的定义和性质，并通过实物模型或动画演示，帮助学生形象地理解垂直于弦的直径的概念。
3. 实践操作：设计一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径定理进行求解，提高学生的实际操作能力和问题解决能力。
4. 课堂小结：总结本节课的主要内容，让学生复述垂直于弦的直径的定义和性质，以及如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
四、教学资源：
1. 教材：《中学数学》
2. 实物模型：圆规、直尺、圆规等
3. 动画演示：利用电脑软件或PPT制作垂直于弦的直径的动画演示。
4. 练习题：设计一些关于垂直于弦的直径的问题，让学生进行实践操作。
五、教学评价：
1. 过程评价：观察学生在实践操作中的表现，了解学生对垂直于弦的直径的理解程度和应用能力。
2. 结果评价：通过课堂小结和课后作业，检查学生对垂直于弦的直径的定义、性质和定理的理解和应用情况。
垂直于弦的直径教案(一)一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3．能初步应用垂径定理进行计算和证明．（二）能力训练点1．培养学生独立思考、勇于创新精神；2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．（三）德育渗透点1．结合本课教学特点，向学生进行美育教育；2．逐步树立已知与未知，一般与特殊的思考方法．二、教学重点、难点和疑点1．重点：垂径定理及应用．2．难点：垂径定理的证明．3．疑点：垂径定理的题设是“直径垂直于弦”，学生容易忽略是“直径”．教师教学中要有意举一些容易错的例子，加深对定理的理解．三、教学步骤（一）明确目标请同学们回答下列问题：1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．2．等腰三角形是轴对称图形吗？3．“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．接着电脑继续演示，教师讲解：由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．（二）整体感知为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，= ，= ．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．教师这样从设计电脑演示的全过程，目的是指导学生注重知识的发生、发展过程．使学生在观察中不知不觉地接受了新知识，既获得了知识，又产生了浓厚的兴趣．（三）重点、难点的教学及目标完成过程垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．〈2〉〈1〉〈3〉〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．例1 如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．教师分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，学生回答，教师板书计算过程．解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．∵OE⊥AB，∴AE=EB．∵AB=8cm，∴AE=4cm．又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，∵⊙O的半径为5cm．教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．例2 已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价．练习1：教材P．78中1题．练习2：教材P．78中2题．练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．（四）总结、扩展小结由学生完成，教师进一步强调．1．本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用．2．方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．四、布置作业教材P．84中11、12、13．五、板书设计六、作业参考答案教材P．84中11．作法：1．连结OA，2．过A作弦CD，CD为所求的弦证明：∵OA⊥CD，∴AC=AD．教材P．84中12．证明：作OG⊥EF，垂足为G．教材P．84中13．解：连结OA，作OD⊥AB，垂足为D，交⊙O于E．∵OA=2cm．在Rt△OAD中，∴DE=OE-OD=2-1=1（cm）．答：这条弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离是1cm．。
《垂直于弦的直径》教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。
2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 引导学生观察和思考圆中垂直于弦的直径的特点。
教学活动：1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径的性质和特点。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径的兴趣和参与程度。
2. 评估学生对垂直于弦的直径性质的理解和应用能力。
第二章：理论讲解教学目标：1. 帮助学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学活动：1. 引导学生观察和分析垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用几何推理证明垂直于弦的直径性质的能力。
第三章：实例解析教学目标：1. 帮助学生通过实例分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
教学内容：1. 提供实例，引导学生分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生分析和理解实例中垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学评估：1. 观察学生对实例中垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
第四章：练习与巩固教学目标：1. 帮助学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
2. 培养学生通过练习题解决问题的能力。
教学内容：1. 提供练习题，引导学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
教学活动：1. 引导学生独立完成练习题。
2. 引导学生与同伴交流讨论，共同解决问题。
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念，掌握其性质和判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义及性质。
2. 垂直于弦的直径的判定方法。
3. 应用垂直于弦的直径解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 教学难点：垂直于弦的直径在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点，增强学生直观感知。
3. 设计具有梯度的练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何判断一条直径是否垂直于弦？2. 新课讲解：讲解垂直于弦的直径的定义、性质和判定方法。
3. 例题讲解：分析并解决一些关于垂直于弦的直径的例题，让学生掌握解题方法。
4. 课堂练习：设计一些具有梯度的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调垂直于弦的直径在几何学中的重要性。
6. 作业布置：布置一些有关垂直于弦的直径的练习题，让学生课后巩固。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标：通过评价，检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和判定方法的掌握程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题解答：评估学生运用性质和判定方法解决问题的能力。
小组讨论：观察学生在团队合作中是否能有效沟通、共同解决问题。
3. 评价内容：学生是否能准确描述垂直于弦的直径的性质。
学生是否能运用判定方法判断一条直径是否垂直于弦。
学生是否能将垂直于弦的直径的知识应用于解决几何问题。
垂直于弦的直径教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 能够应用垂直于弦的直径定理证明几何问题。
教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义2. 垂直于弦的直径定理3. 垂直于弦的直径的证明4. 垂直于弦的直径的应用教学准备：1. 教学课件或黑板2. 几何图形工具3. 练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 提问：你们知道什么是直径吗？直径有什么特殊的性质吗？3. 引导学生思考：直径与弦有什么关系？二、垂直于弦的直径的定义（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径的定义。
2. 通过几何图形工具，展示垂直于弦的直径的例子。
3. 解释垂直于弦的直径的性质和特点。
三、垂直于弦的直径定理（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径定理。
2. 通过几何图形工具，展示垂直于弦的直径定理的证明过程。
3. 解释垂直于弦的直径定理的应用和意义。
四、垂直于弦的直径的证明（10分钟）1. 引导学生思考如何证明垂直于弦的直径。
2. 分组讨论，每组设计一个证明方案。
3. 展示各组的证明方案，并解释其合理性。
五、垂直于弦的直径的应用（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径在几何问题中的应用。
2. 通过示例，展示如何使用垂直于弦的直径定理解决几何问题。
3. 让学生尝试解决一些相关的练习题。
教学评价：1. 观察学生在课堂中的参与程度和理解程度。
2. 评估学生在练习题中的表现。
3. 收集学生的反馈意见，以便进行教学改进。
教学延伸：1. 进一步探讨垂直于弦的直径在其他几何问题中的应用。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径与其他几何定理的联系。
3. 布置相关的课后作业，巩固学生对垂直于弦的直径的理解。
六、案例分析与问题解决（10分钟）1. 提供几个涉及垂直于弦的直径的实际问题，让学生独立解决。
2. 讨论解决问题的策略，引导学生运用垂直于弦的直径定理。
3. 分析问题解决过程中的关键步骤和思维方法。
数学《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案
一、教学目标
1. 了解垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 掌握垂直于弦的直径的相关定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径的相关定理解决实际问题。
二、教学重点
1. 垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 相关定理的证明和应用。
三、教学难点
1. 单位圆和圆心角的概念。
2. 定理的证明过程。
四、教学方法
1. 讲授法。
2. 演示法。
3. 讨论法。
五、教学过程
1. 导入
教师用一张圆形卡片向学生展示，并询问学生对圆形的认识及性质。
2. 呈现问题
教师引导学生思考：“在圆内部任取一条弦，如何找到一条过
圆心的直径，使其垂直于弦？”
3. 探究证明
教师呈现“垂直于弦的直径定理”并进行证明过程讲解。
4. 案例分析
教师通过案例分析提出练习题目：在一个半径为R的圆内部，一条长为a的弦与圆心的距离为d（d<R），求证明存在一条
距离圆心为R-a/2的直径与该弦垂直。
请以证明的方式演示这
个问题。
5. 总结与归纳
教师对本节内容进行总结，重点强调垂直于弦的直径的概念、性质及相关定理的应用，加深学生的理解、记忆。
六、教学反思
垂直于弦的直径是圆的重要性质之一，具有广泛的应用，但是学生对单位圆和圆心角这些概念的理解可能会有困难，需要教师耐心讲解。
另外，在教学中要注意将证明思路讲清，让学生理清证明的逻辑，加深对相关定理的理解和应用。
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
垂直于弦的直径教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径定理的应用。
教学难点：1. 理解垂直于弦的直径定理的证明过程。
2. 灵活运用垂直于弦的直径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形工具，如直尺、圆规等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入圆的概念，复习圆的基本性质。
2. 提问：你们知道什么是直径吗？直径有什么特点？3. 引导学生思考：直径与弦有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解垂直于弦的直径的概念。
2. 通过几何图形演示垂直于弦的直径的特点。
3. 讲解垂直于弦的直径定理及其证明过程。
三、例题解析（15分钟）1. 给出例题，引导学生运用垂直于弦的直径定理解决问题。
2. 分析例题，解释解题思路。
3. 引导学生思考：还有其他解题方法吗？哪种方法更简洁？四、课堂练习（10分钟）1. 给出练习题，让学生独立解答。
2. 引导学生互相讨论，共同解决问题。
3. 讲解答案，解析解题思路。
2. 提问：你们认为垂直于弦的直径在解决圆的问题中有何作用？3. 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑问。
教学延伸：1. 引导学生思考：垂直于弦的直径定理在实际生活中有哪些应用？2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：六、深化理解（15分钟）1. 通过动画或实物模型展示，让学生更直观地理解垂直于弦的直径的运动特性。
2. 引导学生思考：在圆的不同位置，垂直于弦的直径的特点是否相同？3. 分析不同位置下的垂直于弦的直径的性质，得出结论。
七、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径定理解决。
2. 引导学生思考：如何将实际问题转化为垂直于弦的直径的问题？3. 分析问题，解释解题思路，引导学生独立解决问题。
八、课堂讨论（10分钟）1. 提出一些关于垂直于弦的直径的问题，让学生进行课堂讨论。
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和表达能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 应用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质及应用。
2. 教学难点：理解并证明垂直于弦的直径的性质。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生观察、思考、推理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示垂直于弦的直径的性质。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对垂直于弦的直径性质的思考。
2. 新课导入：介绍垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、推理。
3. 实例讲解：利用几何画板或实物模型，展示垂直于弦的直径的性质。
4. 证明过程：引导学生尝试证明垂直于弦的直径的性质。
5. 练习巩固：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和垂直于弦的直径的性质。
7. 课后作业：布置一些拓展性作业，培养学生的应用能力。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习作业，评估其掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考：垂直于弦的直径性质在实际问题中的应用。
2. 推荐相关阅读材料：为学生提供一些关于垂直于弦的直径性质的深入研究文章或书籍。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果：回顾教学过程，评估学生的学习成果。
2. 发现问题与改进措施：分析教学中存在的问题，提出改进措施。
九、课后作业1. 巩固练习：布置一些关于垂直于弦的直径性质的练习题，让学生巩固所学知识。
2. 拓展应用：让学生尝试解决一些实际问题，运用垂直于弦的直径性质。
十、课程资源1. 教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
课题：垂直于弦的直径
教材：人教版九年级数学（上册）
一、目标分析
①知识技能：在学生理解圆是轴对称图形的基础上理解垂径定理及有关结论，并能初步
运用它们解决相关问题。
②过程与方法：学生经历垂径定理及其推论的探索、证明和应用的过程，培养学生的主
动探究和创新意识，体验数形结合及转化的数学思想。
③情感态度与价值观：通过问题的提出、探索、解决的过程，使学生领会数学的严谨性，
培养学生实事求是的科学态度。
二、教学重难点
【重点】：理解掌握垂径定理及其推论，并能初步应用。
【难点】：垂径定理的推导过程。
三、教学方法与手段
教学方法：采用直观演示法、实验操作法和启发探索法。
教学手段：多媒体与学具相结合。
四、教学过程
（一）设疑激趣，导入课题
1、让学生通过课件欣赏几幅美丽的拱桥图片，以赵州桥为例，提问：已知主桥拱的跨度
与拱高，能求出主桥拱的半径吗？
7.2米
37.4米
2、通过动画演示把赵州桥主桥拱抽象为弓形纸片，把问题转化为已知弦和折痕的长，求
原来圆的半径。
（二）动手操作，尝试发现
1、让学生把圆形纸片沿着任意一条直径所在是直线折叠 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的
对称轴。
（所以圆的对称轴有无数条）
2、让学生在圆形纸片上任作一条弦AB ，再作垂直于这条弦的直径CD ，垂足为E ，
将圆形纸片沿CD 折叠，同桌一起操作，观察，讨论，猜想。
看图中有哪些相等的线段和弧。
学生不难发现：有AE=BE , AC = BC A D =BD
（三）证明猜想，发现定理
猜想的结果是否正确，需要进行理论证明。
1、让学生分析猜想的题设与结论，结合图形写出已知和求证。
已知：在⊙O 中，CD 是直径，AB
是弦，CD ⊥AB ，垂足为E 求证：AE=BE
A D =BD,AC = BC
证明：连结OA 、OB ，
∵ OA=OB，
∴△OAB 为等腰三角形 又∵OE ⊥AB， ∴AE=BE
∵ CD 所在的直线是线段AB 的垂直平分线． ∴ 当把⊙O 沿CD 折叠时，点A 与点B 重合．弧
AC 、AD 分别与弧BC 、BD 重合。
∴ A D =BD,AC = BC
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平
分弦所对的两条弧。
（板书）
o
O E
C
B
A
（1）、分析定理中的题设与结论
题设 结论
① 直径 ③平分弦
④平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ⑤平分弦所对的优弧
教师强调垂径定理其实就是两条件三结论，条件：直径，垂直于弦。
结论：平分弦，平分弦所对的两条弧。
知二推三，是今后证明线段相等和弧相等的重要依据。
3、练习
下列图形中，哪个图形中的AE=BE ？为什么？
分析：定理中的直径不仅仅只可以是直径，还可以是直径所在的直线，半径或弦心距。
但
它们都有一个共同的特点：过圆心，垂直于弦。
在以后解决圆中有关弦的问题时，常要作“垂直于弦的直径”为辅助线，往往只需过圆心 作一条与弦垂直的线段即可。
4、通过把定理中的条件“垂直于弦”与结论中的“平分弦”交换得到新命题，
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。
（板书）
用几何语言表述为：（板书） 如图：∵AE=BE ，CD 是⊙O 的直径
（2）、将垂径定理翻译成几何语言 (板书)
如图：∵ CD ⊥AB 于E ，CD 是⊙O 的直径，
O E
C
B
A
E C O A B E C O B A E
C
O A E
C
O
B A O B A
O B A O B A O
B A O E
C B
A
∴ CD⊥
AB,AC =BC, AD = BD
教师通过反例强调：其中被平分的弦不能是直径。
并引导学生向更深处探究：
①CD是⊙O的直径②CD ⊥ AB ③
例如：填空，如图：
CD是⊙O的直径
AC = BC
（）
（四）巩固新知、知识反馈
练习1、如图（1），在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为OE=3cm。
则⊙O的半径为。
练习2、如图（2），在⊙O中，AE=BE=4cm,OE=3cm,则⊙O的半径为
练习3是课前提出的问题，教师引导学生设弓形纸片所在圆的圆心为O，连接OA，过圆心O作半径OC垂直AB于点D，根据垂径定理，则CD为弓高,等于2cm。
设半径
若知二可推三
练习3、如图（3）已知弓形的弦AB=8cm，弓高为2cm,则此弓形所在圆的半径为。
CD ⊥AB
AD=BD
AE=BE
CD是⊙O的直径
CD是⊙O的直径
CD是⊙O的直径
④
C
(3)
为r ，利用勾股定理，在R t △ADO 中有
()2
2
2228-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=r r
解得r=5
接下来让学生以小组为单位按照课前演示对弓形纸片进行操作，测量，计算。
教师适当指导点拨,学生代表回答测量结果和所求半径。
发现虽然各自撕下的弓形大小不一，弦长和弓高不同，但因课前准备的都是等圆，忽略误差所求半径都一样。
（五）运用定理，解决问题
1、例题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结
晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m , 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m ）
解： 用弧AB 表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径为R 。
过圆O 的圆心O 作
弦AB 的垂线OC 交AB 于点D ，交弧AB 于点C 根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高。
∵AB=37.4， CD=7.2
∴AD=
21AB=2
1
×37.4=18.7 OD=OC-CD=R-7.2
在Rt △OAD 中，∠ODA=90°
∴()2
2
22.77.18-+=R R
解得 R ≈27.9（m ）
答：赵州桥的主桥拱半径约27.9m.
小结：添加辅助线与构造基本图形的常用方法： 半径半弦弦心距，化为勾股最容易，
知拱高，求半径，直角三角形少不了。
2、对赵州桥问题进行拓展延伸，在原题的基础上添加第二个问题：现有一艘宽16米，船
C
舱顶部为长方形并高出水面5.9米的船要经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗？
此题的解决有难度，所以留给学生课后进行深入探究。
学生独立完成，教师重点关注学生是否能运用垂径定理得到邻边AE=AD （六）归纳小结，反思提高
1、圆的重要性质：① 轴对称性。
② 垂径定理及其推论
2、垂径定理及其推论的应用：
① 解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明和作图。
② 解决某些实际问题（如拱桥半径）。
垂径定理及推论的应用常与勾股定理相结合，实
际上把问题转化为解直角三角形 。
3、常用的辅助线：① 作半径；② 过圆心作弦的垂线段。
垂径定理与勾股定理相结合，
得出2
2
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+=a d r
五、分层作业，各有所获
1、必做题： 课本88页第8、9、10题
2、选做题：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智
慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m , 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，现有一艘宽16米，船舱顶部为长方形并高出水面5.9米的船要经过这里，此船能顺利通过赵州桥吗？（半径已求，半径≈27.9m ）
3、完成课后练习2
已知：如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直的两条相 的弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E 。
求证：四边形ADOE 为正方形。
九年级数学上册第二十四章《圆》第一节
垂直于弦的直径
（教案）
潮州市湘桥区城基中学
林萱。
