几何变换之轴对称

几何变换中的镜面对称与轴对称几何变换是数学中研究图形在平面或空间中变换的方式，其中镜面对称和轴对称是两种常见的变换方式。

本文将介绍镜面对称和轴对称的概念、性质以及它们在几何变换中的应用。

一、镜面对称镜面对称是指一个图形相对于一个镜面进行对称，对称后的图形和原图形相互重合。

镜面对称可以分为平面上的镜面对称和空间中的镜面对称。

1. 平面上的镜面对称平面上的镜面对称是指一个平面图形通过一个平面镜面进行对称。

镜面对称的性质如下：a) 对称轴：镜面对称的镜面是一个直线，称为对称轴。

对称轴将平面分为两个对称的部分。

b) 重合：镜面对称的图形和它的镜像图形重合。

c) 保角：镜面对称保持角度不变。

平面上的镜面对称常用于绘制对称图形，也是设计、美术等领域中常用的构图手法之一。

2. 空间中的镜面对称空间中的镜面对称是指一个空间图形通过一个平面镜面进行对称。

空间中的镜面对称具有与平面上的镜面对称类似的性质，同样有对称轴、重合和保角的特点。

空间中的镜面对称也常常用于艺术创作，如立体雕塑、建筑设计等领域。

二、轴对称轴对称是指一个图形相对于一条轴进行对称，对称后的图形和原图形相互重合。

轴对称是相对于一条线来进行对称的，可以分为平面上的轴对称和空间中的轴对称。

1. 平面上的轴对称平面上的轴对称是指一个平面图形相对于一条直线进行对称。

轴对称的性质如下：a) 对称轴：轴对称的轴是一条直线，称为对称轴。

对称轴将平面分为两个对称的部分。

b) 重合：轴对称的图形和它的轴对称图形重合。

c) 保角：轴对称保持角度不变。

平面上的轴对称经常出现在几何图形中，是数学中常用的概念之一。

2. 空间中的轴对称空间中的轴对称是指一个空间图形相对于一条直线进行对称。

空间中的轴对称具有与平面上的轴对称类似的性质，同样有对称轴、重合和保角的特点。

空间中的轴对称也常常出现在几何图形、三维模型等领域中。

三、镜面对称与轴对称的应用镜面对称和轴对称在几何变换中有着广泛的应用。

轴对称知识点及对应例题(经典)第十三章轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别2轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个D．1个3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴3线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点四、线段垂直平分线的性质6．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC 平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。

7．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP 并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC458．如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则∆EBC 的周长为【 】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米C EB DA9．如图，∠BAC ＝30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD ＝30 , 则AM ＝MD P BC A轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）6关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称1．点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )A （-3 ，-2）B （3 ，2）C （-3 ，2）D （2 ，-3）72．点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为( )A 1 ，6B -1 ，-6C -1 ，6 D 1 ，-63.点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为：A (-4，5)B (4，-5)C (-4，-5)D (-5，-4)4.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y 轴C.直线y=4D.直线x=-15.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )6.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A向______8平移_______个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．7.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ，)，C( ，)，D( ， )。

2023-10-30•轴对称平移•旋转轴对称•轴对称的再认识目录•总结与展望01轴对称平移轴对称平移是指将图形以某条直线为轴，将图形上所有点沿该直线方向作对应平移。

定义轴对称平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。

性质定义与性质轴对称平移的应用图像处理在图像处理中，轴对称平移可用于对图像进行平移、旋转等操作，实现图像的几何变换。

晶体学在晶体学中，轴对称平移是描述晶体结构的重要工具之一，可以帮助科学家更好地理解晶体的性质和结构。

图形设计在图形设计中，轴对称平移是一种常见的变换方式，可以用来创建新的图形或图案。

实例展示矩形平移将一个矩形以某条直线为轴，将矩形上所有点沿该直线方向作对应平移，得到一个新的矩形。

螺旋图案通过连续的轴对称平移和旋转操作，可以创建一个美丽的螺旋图案。

雪花图案通过多个轴对称平移和旋转操作，可以创建一个雪花图案。

02旋转轴对称定义旋转轴对称是指图形绕某一直线旋转一定的角度后，自身重合的现象。

性质旋转轴对称具有旋转不变性和对称性。

定义与性质旋转对称在建筑、雕塑、绘画等艺术领域中有着广泛的应用。

艺术领域自然界中许多现象，如雪花、螺旋壳等，都呈现出旋转对称性。

自然界中在计算机图形学中，旋转对称被广泛应用于图像处理和动画制作。

计算机科学旋转轴对称的应用螺旋图案是典型的旋转对称图形，其结构具有旋转不变性。

螺旋图案六角形雪花是一种典型的具有旋转对称性的自然结构。

雪花圆形花坛是常见的旋转对称建筑，其设计具有旋转不变性。

圆形花坛实例展示03轴对称的再认识轴对称是指一个物体关于某一直线（对称轴）对称，即物体在该直线的两侧或一侧，沿直线折叠后，物体两部分能够互相重合。

轴对称的定义轴对称的深入理解轴对称具有唯一性、反身性和对称性。

轴对称的性质可以通过观察物体的形状、位置、方向等是否关于对称轴对称来进行判断。

轴对称的判断如雪花、树叶等自然物的形状呈现出轴对称的特点。

自然界中的轴对称许多艺术品和建筑在设计时也会利用轴对称，如教堂、寺庙等。

数学关于对称知识点总结对称的基本概念对称是指一个物体或图形在某种变换下不变的性质。

在几何中，对称常常通过不同的对称变换来描述。

其中，轴对称是指物体在某个轴线旋转180°后不变；中心对称是指物体关于一个点旋转180°后不变。

而在代数中，对称通常指的是函数的对称性，即函数在某种变换下保持不变的性质。

轴对称和中心对称是对称的两种基本形式。

轴对称通常通过一条轴线来描述，如直线、曲线、多边形等。

中心对称通常通过一个点来描述，如圆、球体等。

两种对称形式在几何中有着不同的性质和应用场景，但它们都是对称的基本形式，对称理论的研究离不开它们。

对称性质及其应用对称在数学中有着丰富的性质和应用，其中包括对称图形的性质、对称函数的性质、对称矩阵的性质等。

在几何中，对称图形有多种性质，如对称图形的对角线相等、对称图形的对应边相等等。

这些性质在几何中有重要的应用，如在证明几何定理、计算几何问题等方面。

在代数中，对称函数通常是指满足一定对称性质的函数，如偶函数、奇函数等。

对称函数在微积分、泰勒展开等方面有着重要的应用，它们具有很好的性质和计算简便的特点。

另外，在线性代数中，对称矩阵是一类有重要应用价值的矩阵，它们具有许多重要的性质和结论，在物理、工程等领域有广泛的应用。

另外，在图论中，对称性也有着重要的应用。

图的对称性一般指的是与图的自同构相关的性质。

图的自同构指的是图与自身的一种一一对应，它们具有相同的结构性质。

对于有对称性的图，可以通过自同构来简化问题的分析和计算，这在图的论证和求解问题中有着重要的应用。

对称的应用还可以在密码学、物理学、化学等的领域中找到。

在密码学中，对称加密是指发送和接收方使用相同的密钥对数据进行加密和解密，这种加密方式具有高效和简单的特点，广泛应用于网络通信、数据传输等领域。

在物理学和化学中，对称性是分析和研究分子结构、化学反应等的重要工具，它有助于简化问题的分析、找出规律和规则等。

【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

关于对称知识点总结一、对称的定义对称是指一个物体的一部分关于某个中心或轴旋转、翻转等操作后，与另一部分完全重合的性质。

简单地说，就是一个物体可以通过某种变换保持不变。

在几何学中，对称通常涉及到轴对称和中心对称两种类型。

1. 轴对称：轴对称是指存在一个直线，使得图形绕这条直线旋转180度后，图形仍然不变。

这条直线就被称为轴线，而关于轴线的对称变换就被称为轴对称变换。

轴对称的图形通常具有左右对称或上下对称的性质。

2. 中心对称：中心对称是指存在一个点，使得图形绕这个点旋转180度后，图形仍然不变。

这个点就被称为中心，而关于中心的对称变换就被称为中心对称变换。

中心对称的图形通常具有圆形或椭圆形的性质。

二、对称的性质对称具有许多重要的性质，在数学中，这些性质对于解题和证明都具有重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的对称性质：1. 对称性质：对称性是物体的一种基本性质。

一个图形如果关于某个中心或轴对称，那么它的两部分互为镜像，即完全重合。

这种性质在几何学中有很广泛的应用，比如在证明定理、计算面积等方面。

2. 对称轴：对称轴是指一个图形能够关于其上的直线旋转180度后仍保持不变的直线。

对称轴通常具有一些特殊的性质，比如在研究多边形的对称性质时，我们常常需要找到多边形的对称轴来简化问题。

3. 对称中心：对称中心是指一个图形能够关于其上的点旋转180度后仍保持不变的点。

对称中心通常具有一些特殊的性质，比如在研究圆的对称性质时，我们常常需要找到圆的对称中心来简化问题。

4. 对称图形：对称图形是指具有轴对称或中心对称性质的图形。

对称图形通常具有美观性和稳定性，因此在设计建筑、家具等方面都得到了广泛的应用。

三、对称的分类在数学中，对称的分类通常以轴对称和中心对称为基础进行划分。

不同类型的对称性质具有不同的特点和应用，下面我们来介绍一些常见的对称类型：1. 轴对称图形：轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。

轴对称图形通常都具有左右对称或上下对称的性质，比如矩形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。

初中数学知识归纳立体形的旋转对称与轴对称初中数学知识归纳：立体形的旋转对称与轴对称立体形是数学中一个重要的概念，它指的是具有长度、宽度和高度的物体，例如立方体、圆柱体和球体等。

在学习立体形的性质和变化时，旋转对称与轴对称是两个重要的概念。

本文将对初中数学中与这两个概念相关的知识进行归纳和总结。

一、旋转对称旋转对称，顾名思义，是指通过旋转操作使得物体自身变换后与原来一致。

在几何中，旋转对称是一种重要的变换方法。

旋转对称轴是指绕其旋转物体，使得物体经过旋转后不变。

在立体形中，圆柱体和球体是常见的具有旋转对称性质的立体形。

以圆柱体为例，它具有无数个旋转对称轴，每个圆柱体都有一个与轴平行的旋转对称轴，即使对称轴不同，但是圆柱体其他部分的形状都是一致的。

同样地，球体也具有无数个旋转对称轴，每个通过球心的直径都是一个旋转对称轴。

通过观察圆柱体和球体的旋转对称性质，我们可以发现，无论围绕哪个旋转对称轴旋转，形状都不会改变。

这也是为什么圆柱体和球体在进行旋转运动时能保持不变的原因。

二、轴对称轴对称是指通过以某一直线为对称轴，将物体分为两部分，使得两部分对应部分完全一致。

在立体形中，常见的轴对称立体有立方体和长方体。

以立方体为例，将它折叠成两半，对折的面刚好重合，这就是立方体的轴对称面。

同样地，长方体也具有轴对称面，将它折叠成两半，对折的面也刚好重合。

轴对称性质在立体形的研究中起到了重要的作用。

通过轴对称性质，可以快速判断一个立体形是否具有对称性。

如果一个立体形具有轴对称面，则它们的对称面的形状必定相同；如果两个立体形的轴对称面相同，则可以认为它们的形状完全一致。

三、立体形的旋转对称与轴对称的关系立体形的旋转对称与轴对称是密切相关的。

通过观察不同立体形的对称性质，我们可以得出以下结论：1. 圆柱体和球体既具有旋转对称性质，也具有轴对称性质。

圆柱体通过其平行于底面的轴旋转时保持不变，而通过沿其高度的平面切割时具有轴对称面。