推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（203）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.平面上m 个点无三点共线，其凸包为n 边形，适当连线可得一个由三角形组成的网格区域，记其中不重叠的三角形个数为(,),(2016,30)f m n f =则 。

2.任取平面区域D ：121,21x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩内一点(,)A x y ，定点(,)B a b 满足1OA OB ≤，则a b +的最大值为 。

3.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且090QBF ∠=。

则AF BF -= .4.如图1，在正方体''''ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为线段''BB AB AC 、、上的动点，给出以下四个命题：①对任意点E ，存在点F ，使得'D F CE ⊥;②对任意点F ，存在点E ，使得'CE D F ⊥③对任意点E ，存在点G ，使得'D G CE ⊥④对任意点G ，存在点E ，使得'CE D G ⊥，从中任选两个命题，其中恰有一真一假的概率P= 。

5.任取203παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，均有 224cos 2cos cos 4cos 3cos 3cos 0k ααββαβ++---<，则k 的最小值为 。

6.不等式65432353210x x x x x +++--<的解集为 。

7.实数x y z 、、满足1x y z ++=，且2223x y z ++=.则xyz 的取值范围是 。

8.在平面区域02,(,)02y x M x y x ⎧≤≤-⎧⎫⎪=⎨⎨⎬≤≤⎩⎭⎪⎩内任取k 个点，均能将这个k 个点分成A 、B 两组，使得A 组所有的横坐标之和不大于6，而B 组所有点的纵坐标之和不大于6，则正整数k 的最大值为 。

数学奥林匹克高中训练题（27）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)-2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．或 (B)1或1- (C)1或2- (D)1-或2 3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩ 5．(训练题57)已知1111ABCD A B C D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+ (C)2 (D)122+ 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．(A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC AB AB AC +的最大值为2．(训练题57)已知函数1a x y x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3 ．3．(训练题57)集合11{(1)},{|}22A x a xB x x =>+=-<，当A B ⊆时，a4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b =5-．6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中整数。

数学奥林匹克高中训练题（18）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题18)函数arccos (11)y x x =-≤≤的图像关于y 轴的对称图形记为1c ，而1c 关于直线x y =对称的图形记为2c ，则2c 的解析式是(C)．(A)cos (0)y x x π=≤≤ (B)arcsin (11)y x x =-≤≤(C)cos (0)y x x π=-≤≤ (D)以上答案都不对2．(训练题18)使得方程ab k b a ⋅=+22有正整数解),(b a 的正整数k 的个数是(B)．(A)0个 (B)1 个 (C)不止1个，但只有有限多个 (D)无穷多个3．(训练题18) 如图，在竖直坐标平面xoy 中，直线l 过坐标原点O ，且l 在第Ⅰ和第Ⅲ象限内，l 与x 轴的夹角为α)900( <<α．有一质点(不计质点的大小)在y轴上O 点正上方的位置A 处，该质点从静止状态开始在重力的作用下，径滑行到l 上的B 点处终止，记θ=∠BAO ，则当质点下滑到l 短时，θ等于(C)．(A) 0 (B)4α (C)2α (D)α 4．(训练题18)设21243(1,2,3,)n n n a n ++=+= ，P 是能整除 321,,a a a 中无穷多项的最小素数，q 是能整除 321,,a a a 中每一项的最小素数，则q p ⋅是(D)．(A)75⨯ (B)137⨯ (C)1313⨯ (D)以上答案都不对5．(训练题18)在复平面上，曲线14=+z z 与圆周1=z 的交点的个数是(A)．(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．(训练题18)如图，半径为1的半圆周以O 为圆心，以AB 为直径，动点C 在整个圆周上移动，延长AC 到D ，使得),0(为常数k k k CBCD >=．则D 点所描出的曲线的长度是(D)． (A)π⋅+)1(k (B) π⋅+)1(k (C) π⋅+)1(2k (D) π⋅+)1(2k二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题18)方程x x cos sin =在闭区间[]10,10ππ-内的解的个数是 20 ．2．(训练题18)[]x 是表示不超过x的最大整数，则991k =∑= 615 ．3．(训练题18)两个半径为1的球面相外切，且它们都与半径为1的圆柱面相内切，另一小球面与这两个球面都相外切，且与圆柱面相内切.过小球的球心和一个大球的球心的平面与圆柱面相交成一个椭圆，则该椭圆的离心率e 的最大可能值是 45 ． 4．(训练题18)在1~1000范围内有 500 个正整数n ，使得11993+n 与11994+n 互素．5．(训练题18)集合C B A ,,(不必两两相异)的并集{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A B C = ，则在此条件下集合的有序三元组),,(C B A 的个数是 107 (答案写成b a 的形式)．6．(训练题18)动点),(y x P 从坐标原点O 出发沿着抛物线2x y =移动到点)49,23(A ，则在移动过程中PA PO +最大时，P 点的横坐标x = 12． 三、(训练题18)(本题满分20分)计算：11(1)2lim 24(1)21i in i i i n i -→∞=-⨯+--∑． (13) 四、(训练题18)(本题满分20分)已知n a a a a 321,,是n 个正实数，b a 和是正实数，满足12n n a a a a = ． 求证：n n b a b a b a b a )()()()(21+≥+⋅⋅+⋅+ ．五、(训练题18)(本题满分20分)如图，在竖直坐标平面xoy 中，从坐标原点O 出发以同一初速度0v 和不同的发射角(即发射方向与x 轴的正向之间的夹角))2,0(παπαα≠≤≤射出的质点(不计质点的大小)，在重力(设重力加速度为g )的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族(即抛物线的集合)．若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求出这个椭圆弧的方程(包括变量的取值范围)，再画出它的草图. 注：抛物线)0(2≠++=c c bx ax y 在其上的点),(y x 处的切线的斜率为b ax +2． 第二试y x0v v O α0v一、(训练题18)(本题满分35分)已知凸四边形ABCD 内接于圆O ，对角线BD AC ,相交于P ，过P 分别作直线DA CD BC AB ,,,的垂线，垂足分别是,,,E F G H .求证：FG BD EH ,,三直线共点或互相平行．二、(训练题18)(本题满分35分)设集合},3,2,1{n S =，若S 的非空子集X 中奇数的个数大于偶数的个数，则称X 是“好的”.试求S 的所有“好的”子集的个数（答案写成最简结果）．三、(训练题18)(本题满分35分)设集合}1000,999,102,101,100{ =S ，1231123{,,,,,n n n A a a a a a a a a a -= 是正数，且321211}n a a a q a a a ====> ．试求交集S A 的元素个数的最大可能值．。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（174）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，P Q R 、、分别是棱1AB AD AA 、、上的点，1,2,3AP AQ AR ===.则四面体1C PQR 的体积为.2. 从1,2,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种.3. 已知集合，{}230123777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯其中，{}1,2,,6(0,1,2,3)i a i ∈=.若正整数M n A ∈、，且2014()m n m n +=>则符合条件的正整数数对(,)m n 有个.4. 如图2，设P Q 、分别是两个同心圆（半径分别为6、4）上的动点.当P Q 、分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为.5. 函数442222(,)2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为. 6. 计算：999999100x y x x y z x x y x y z C C C ------===⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑.7. 在三棱锥中O ABC -，已知2OA OB OC AC AB =====，且OB AC ⊥.以O 为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O ABC -不在球内部的部分体积为.8. 抛一颗色子三次，所得点数分别为m n p 、、.则函数322132n y mx x px =--+上(]1,+∞为增函数的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知椭圆221364x y +=.试求实数数对(,)a b ，满足对任意斜率为a 的直线a l 与椭圆的交点A B 、及直线x b =与椭圆上半部分的交点P 可组成PAB ∆，均有PAB ∆的内心在直线x b =上.10.（20分）黑板上写有1,2,,2014这2014个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数12、，并在2014后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数345、、，并在最后面写上这三数的和12；如此继续下去.当t 第步时，黑板上的数不够1t +个，停止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和（若一个数多次出现，只计算一次）.11.（20分）擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为2:7的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点.而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割开，而无法分离，且只要它有18的小正方体区域始终未被割到，就无法被销毁.证明：无论擎天柱切割多少次，均无法销毁魔方.加试⊥，AB与O的半径OC交于一、（40分）如图3，AB为O的一条切线，满足BD AO∥与CK交于点L.证明：当且仅当CK与O相切点E，K为线段AE上一点，作AL OK=.时，CK KL二、（40分）已知}1(1,2,,2013)i x i ∈=，令 122320122013S x x x x x x =+++.求S 能取到的不同的整数值的个数.三、（50分）已知正整数n 满足2014,(,2014)1n n >=.令{}{}{}1,(,)1,1,1n n n n n n n A k k n n k B k A k A C k A k A =∈≤≤==∈+∉=∈-∉N .对任意的n k A ∈，记n k k A S n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，A 表示集合中元素的个数.证明：（1）()()n nk n k k n k k B k C S S S S --∈∈-=--∏∏； （2）()(mod )n n B k n k n k C S S A n -∈-≡∏.四、（50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（编号依次为1,2,,2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2014年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠.出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠一次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点.试求不同的停靠方式的种数.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)第一试一、填空题1函数f(x}=(兀-兀3)(1-6〒+〒)的值域为。

(1 + x2)4 ------------------2.设复数ZH1,Z“ =1,则z + z3 + z4 + z5 + z9= _____________________ o3.设x、y、z 为正整数，集合A=^3(x- y)(y- z)(z- 2 2 * , B={(x-刃‘+(y-z)‘+(z-x)',x+y + + z*。

若A二B,则x3 4-y3 4-z3 = _______2 24.设P为椭圆缶+ * = l(a〉b〉O)上任意一点，两焦点为斤(一。

,0),恥,0),卩片、PF/*别与椭圆交于点A、B,若/、戻、疋成等差数列，则旦1 + 竺.=AF}\ \BF25.有六根细棒，长度依次为3、2血、2、2、2、2,用它们搭成三棱锥。

则其屮两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为_________ 。

6.设兀、ywR+，则函数/(x, y) = yjx2 -xy + y2 + \/x2 -9x + 27 + ^/y2 -15^ + 75 的最小值为__________ 。

7.设UD，…,D“为RtAABC的斜边BC ±的2/? /(> 个点，记ADt = at(z = 1,2,• • •, In +1),满足= £>£>+1(z = 1,2,• • •, 2n, D o =B, D2z/+1 = C),则sine sin6Z3---sin6Z2/;+1_________________ Qsincr2 sin 也…sin 纭8. _________________________________________________________ 三位数dbc满足ahc = a + h2+c3,则满足条件的三位数dbc共有___________________________ 个。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===.若AI xAB yAC =+，则x y +=.2. 已知函数2()23f x x x =-+.若当12x <<时，不等式()2f x a -≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是.3. 若a b c 、、成等比数列，log log log c b a a c b 、、成等差数列，则该等差数列的公差为.4. 已知双曲线22221(0)x y a b x b-=>、的两个焦点分别为(1,0),(1,0)A B -，过点B 的直线l 与该双曲线的右去交于M N 、两点，且AMN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.5. 已知函数()(sin cos )x f x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为.6. 如图1，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在R t A B C ∆中，1,2,BC AC AB ===该直角三角形的空间做符合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈.则B O 、两点间的最大距离为.7. 集合{}2,4,,2014A =，B 是集合A 的任意非空子集，i j a a 、是集合B 中任意两个元素，以i j a a 、为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B 中元素个数的最大值为.8.已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根.则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）当0x ≥时，求函数2()2(1)f x x x a =+--的最小值()g a 的表达式.10. （20分）已知数列{}n a 满足1241411,,0,1()n n n n a a a a a n -++====∈Z .（1）是否存在正整数T ，使得对任意的n +∈Z ，有n T n a a +=？（2）设122101010n n a a a S =++++，问：S 是否为有理数？说明理由.11. （20分）设点(2,0)A -和22:4O x y +=，AB 是O 的直径，从左到右M O N 、、依次是AB 的四等分点，P （异于A B 、）是O 上的动点，PD AB ⊥于点D ，PE ED λ=，直线PA 与BE 交于点C ，CM CN +为定值.（1）求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；（2）若点Q R 、是曲线E 上不同的两点，且PQ PR 、与曲线E 相切，求OQR ∆面。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题1.已知圆心均在直线1y x =-上的两圆12O O 、交于A 、B 两点，(7,9)A -，则点B 的坐标为 。

2.方程组2220,2240x y x y xy x y -+-=⎧⎨++-=⎩①②的实数解(,)x y 为 。

3.已知点集{}(,)123x y x y T =++-≤，数集{}2(,)M x y x y =+∈T ，则集合M 中最大元素与最小元素之和为 。

4.当n 为正整数时，函数f 满足()1(3),(1)0,(1)1()1f n f n f f f n -+=≠≠±+且。

则(1)(202f f = 。

5.在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线2y ax bx c =++和另50条不同抛物线2111x a y b y c =++，这100条抛物线把坐标平面最多分成 个部分。

6.已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边之差为第三边上的最高的4倍，则最大内角比最小内角大 （用反三角函数表示）。

7.滨螺最初位于点（0，1），每天其从点(,)x y 爬到点（2，1），则第2017天其位于 。

8.如图1，P 为ABC ∆内一点，ABC ∆的周长、面积分别为l s 、，点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段分别为PD 、PE 、PF ，且22AB BC CA l PD PE PF s++≤，则P 为ABC ∆的“五心”中的 心。

二、解答题9.已知x 为实数，求函数32()4sin sin 4sin 8f x x x x =+-+的值域。

10.已知P 过点(3,1)A ，且与22:(2)4M x y +-=及直线311:44l y x =--均相切。

求P 的半径。

11.设2018个实数122018,,,a a a …满足201820182110,2018i i i i aa ====∑∑。

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a≢9，0≢b≢9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≢18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n≣10a＋1．因此b＝n2100a2≣20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a≢4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≣422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≣m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4²24，4²34，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c≢9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a2²b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab²ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137²73．故对一切n≣2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，104³M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n≢5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i²n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m²n！＋k（m∈N，2≢k ≢n）由于n！＝1²2²…²n是k的倍数，所以m²n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n≣2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m≣p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n≣n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m≢p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n≣n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m≣m，p≣2m＋1由得4m2＋4m＋1≢m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n≢0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab≣0（否则ab≢－1，a2＋b2＝k（ab＋1）≢0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a≣b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方．18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2≢k≢n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2≢k≢n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂．19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n－2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d≣n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和≣15005，所以A≣15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1≢i≢20，1≢j≢10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由a＋c＞c≣c1，b＋c＞c≣c2。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(211)(无答案)第一试一、填空题1.已知兀为实数，则J2016-兀+厶-2000的最大值为 ___________________ 。

°°42•顺次联结x2+/=10与》=—的交点，得到一个凸四边形，则此四边形的而积为______________X3. ______________________________________________________________ 设等差数列｛色｝的前〃项和为若S6=26,t/7=2,贝WS”的最大值为_______________________ 。

4.若关于x的复系数方程(1 + 2i)x2 + znr + l-2z = 0有实根，则复数m的模的最小值为—5.空间一点P到正四面体ABCD的顶点A、B的距离分别为2、3,当正四面体的棱长位置变化时，点P到CD所在直线的最大距离为_________ o6.在一次无平局的比赛中，当比赛进行到其中一人比另一人多胜2场时结束，且胜场多者获3 3胜，已知在第奇数场时，甲获胜的概率为二；在第偶数场时，乙获胜的概率为二，则比赛结束时进行场数的数学期望为_______________ 07.设/(x) = In%- —-2x(«G[-1,0)),且/(x) <b在区间(0,1]±恒成立，则实数b 的2取值范围是___________ O&若周长为1的\ABC三条边上的高可作为一个三角形的三条边长，则min｛AB,BC,C4｝的取值范围是_______________ =二、解答题20179.当XG[1,2017]时，求/(x) = ^z|x-z|的最小值o1=110.求函数f\x) = sin 2x+2sin x+4^3 cos x 的最大值。

211设AAfiC为椭圆r：— +y2 = 1的内接三角形，其中，A为椭圆r与x轴正半轴的交点,10.求函数f\x) = sin 2x+2sin x+4^3 cos x 的最大值。