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20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.
解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的 置信区间为 (S S B A 2 2F /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ),S S B A 2 2F 1 /2 (n 1 1 1 ,n 2 1 ))
E ( T 2 ) 1 5 [ E ( X 1 ) 2 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) 4 E ( X 4 ) 1 5 ] ( 1 2 3 4 ) 2
E ( T 3 ) 1 4 [ E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 ) E ( X 4 ) 1 4 ] ( 1 1 1 1 )
3
的一个置信水平为0.95 的置信.区间为(5.558, 6.442).
9
16.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.
解 未知,的置信水平为1-的置信区间为 ( n1S , n1S ) 2/2(n1) 12/2(n1)
是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2
而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2,
E(S w 2n )1 E n 1 (2 ( n1 2 [1 n n )( 1 1 S 1 21 n )2 E (n (2 S 21 2 ) 1 )S (2 2 n 2 ) 1 )E (S 2 2 ) ]2
因此T1,T3是的无偏估计量.
(2) X1,X2,X3,X4相互独立 D ( T 1 ) 3 1 [ D ( X 6 1 ) D ( X 2 ) 1 9 ] [ D ( X 3 ) D ( X 4 ) 2 ] 2 ( 3 1 1 9 ) 6 1 5 2 8
D ( T 3 ) 1 1 [ D ( X 6 1 ) D ( X 2 ) D ( X 3 ) D ( X 4 ) 1 1 ] ( 1 1 6 1 1 ) 2 2 5 2
1E (X ) x(x f)d.x
0 1xd x1x 11 01
解出 ( 1 )2 1 1
将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,
得到参数的矩估计量
矩估计值
(
X
)2
1 X .
(
x
)2
1 x
2
3. 求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量.
(1) f(x)0c,x(1)其 ,x它 c 其中c>0为已知,>1,为未知参数.
3 的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392).
(2)
2未知,的置信水平为1-
的置信区间为
X
Snt/2(n1)
n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060
s=0.5745, 60.57 42.3 50 66 00.442
18. 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电
阻(欧)为
A批导线:0.143 0.142 0.143 0.137
B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 -2的置信水平为0.95 的置信区间.
i 1
i 1 i 1
i 1 i 1 i 1
10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.
设有估计量 T 11 6(X 1X 2)1 3(X 3X 4) T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5, T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量;
解 似然函数
L (,x 1 ,x 2 ,,x n ) nf(x i,) i n 1c x i ( 1 ) (c )n (i n 1 x i) ( 1 ) x i c ,i 1 ,2 , ,n
i 1
0
其它
xi>c ( i =1,2,…,n)时,取对数得
ln L n ln n ln c ( 1 ) nln x i
0.54191 0.22,20.54194.033.60,1
0.60654.03
0.6065
A2/B2的一个置信水平为0.95的置信区间为(0.222, 3.601).
.
12
22(2) 求18题中1 -2的置信水平为0.95 的单侧置信下限.
解 (x1Sw x2)n11(1n1 2 2)~t(n1n22) Sw 2(n 11 n )1 S 1 2 n 2 (n 22 1)S2 2,SwSw 2.
4
i1
i1
4.(2) 设X1,X2,…,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试
求解的最泊大松似分然布估的计分量布及律矩为估P 计{X 量 . x}xe, x0,1,2,,
x!
总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,
得到参数的矩估计量 X
设似x然1,x函2,…数,xn为L(相x1应,x的2, 样本,x值n,, )i n1xx i!i een n(i nx 1xii!)
n=9, 1-=0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)=2 0.025(8)= 17.535
2 1-/2 (n-1)=2 0.975(8)= 2.18, 又s=11,
811 7.4, 17.535
81121.1, 2.18
标准差的置信水平为0.95 的置信区间为(7.4, 21.1).
.
10
x i 1 )n /2 (nx i) 1,0 x i 1 ,i 1 ,2 , ,n
i 1
0
其它
0xi1 令
(
i =1,2,…,n)时,取对数得 lnLnln(
2
ddlnL2n 21i n1lnxi 0
n
1)lnxi
i1
得到的最大似然估计值
的最大似然估计量
n2
n2
n
n
( ln xi )2
.
( ln X i )2
故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=, (a+b=1)
所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计.
由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以
D (Y)a2D (X 1)b2D (X 2)[a n 1 2b n 2 2]2[an12
(1a)2]2
按照t分布的上 分位点的定义
P{(x1 Sw x2)n 1 1( 1 n 1 22)t(n1n22)}1
即 P {1 2 x 1 x 2 t(n 1 n 2 2 )S wn 1 1 n 1 2 } 1
令 d d ln Lnnln ci n 1ln xi0 i 1
得到的最大似然估计值
的最大似然估计量
n
n
ln xi nlnc
i1
n
n
.
lnXi nlnc
3
i1
3.(2)
f(x)
x 1,0x1
0, 其它
其中>0,为未知参数.
解 似然函数
L (,x 1 ,x 2 ,,x n ) i n 1f(x i,) i n 1 (
x1=0.14125, x2=0.1392, s12=8.2510-6 , s22=5.210-6,
sw 3 8 .2 5 1 6 0 7 4 5 .2 1 6 0 2 .5 5 1 3 0
( 0 . 1 4 0 . 1 1 3 2 . 3 2 9 2 6 . 5 2 1 4 5 3 1 4 0 6 1 5 ) ( 0 . 0 0 0 . 0 )2 0 1 -2的一个置信水平为0.95 的置. 信区间为(-0.002, 0.006). 11
由于D(T1)>D(T3),所以T3比T1较. 为有效.
7
12.设从均值为,方差为2>0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独 立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意常数,a,b(a+b=1),
Y=aX1+bX2都是的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.
解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=, D(X1)=2/n1, D(X2)=2/n2 .
nA=10,nB=10,1-=0.95, =0.05,F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)= 4.03
F 1 /2 (n A 1 ,n B 1 ) F 0 .9( 7 9 ,9 5 ) F 0 .01 ( 2 9 ,9 5 ) 4 .1 03
sA2=0.5419,sB2=0.6065,
Hale Waihona Puke (2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效.
解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为的指数分布,故 E(Xi)=, D(Xi)=2 ,
(1) E ( T 1 ) 1 6 [ E ( X 1 ) E ( X 2 ) 1 3 ] [ E ( X 3 ) E ( X 4 ) 2 ]( 1 6 1 3 )
解 两正态总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 -2的 一个置信水平为1- 的置信区间为
(x1x2t/2(n1n22)sw n 1 1n 12)Sw 2(n 11 n )1 S 1 2 n 2 (n 22 1)S2 2,SwSw 2.
