高等数学 重修A(II)19春

东 华 大 学 试 卷2020—2021 学年第 1 学期 课号课程名称 高等数学AII （重修A 卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业）一．填空题（每小题3分，共12分）1. 设{}{}3,,1,1,2,y b x a -=-=，当y x ,满足 时，两向量平行。

2. xe y x z -=sin ，则=dz3.∑∞=+-131n n n n的敛散性是4. 函数()⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x x f 0,0,展开为傅里叶级数时，系数=n b二．单选题（每题3分，共12分）1. 向量场xzk xyj i y A ++=2的散度是A ．0B ．2y+zC ．x+yD ．2x2. (){}10,11,1<<<<-=y x y x D ,(){}10,10,2<<<<=y x y x D ,()⎰⎰+=121cos sin D d x y x I σ,()⎰⎰=222D d x I σ,则21,I I 的关系为A 21I I =B 212I I =C 214I I =D 215.0I I = 3. 设L 为3x y =上点()0,0到点()1,1的一段弧，则=⎰Lds yA()⎰+0122331dx xx B ⎰13dx x C ()⎰+122331dx xxD ⎰13dx x4. 已知两点()()2,0,3,1,2,421p p = A 2 B 4 C 0.5 D 1 三．计算题（每小题6分，共18分） 1. 0sin 2=-yz x z ，求xz ∂∂2. 求过点()1,1,1-M ，且与直线⎩⎨⎧=++-=-+-093240632z y x z y x L 平行的直线方程3. 计算⎰Ldx y 2，L 为点()0,a A 沿x 轴到点()0,a B -的直线段四．解答下列各题（每小题8分，共32分） 1. 求点()1,1,2到平面01==-+z y x 的距离 2.⎰⎰Ddxdy y ，1:2222≤+by a x D3. 将函数()xex f -=展开为x 的幂级数，并且求收敛域4. 求曲面02222=-+z y x 在点()1,1,1-处的切平面和法线方程 五．解答题（每小题10分，共20分）1 计算向量k z j y i x A 333++=穿过曲面2222:a z y x =++∑流向外侧的流量2 过点()()0,,0,0πA O 的曲线族()0,sin >=a x a y 中，求一条曲线，使得沿该曲线从O 到A 的积分()()⎰+++Ldy y x dx y 213最小六．（本题6分）：求22y x z +=，4=z 围成立体的体积。

2010~2011学年春季高等数学A （二）期中考试答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）1. 设向量2=-+a i j k ，42b i j k λ=-+，则当=λ -10时，a 与b 垂直。

2. 方程222231x y z ++=所表示的曲面是 椭球面 。

3. 函数y x y z -+-=41)ln(2的定义域是}4|),{(2<<y x y x 。

4. 函数),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 必要 条件。

(在“充分、必要或充要”中选一个填在横线上)5. 曲线32t z t y t x ===,,在点),,(111的法平面为632=++z y x 。

6．函数22y y x z +=在点(2,1)处的全微分=dz dy dx 64+ 。

7．函数22f x y z x y x y z (,,)sin()=+++在点000(,,)处的梯度为 （1,2,0）或i+2j 。

8. 直线223:273x y z L -+-==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是 平行 。

9. 二重极限=++→2201y x e x y y x )ln(lim ),(),( ln2 。

10. 过点0(1,2,1)M -且平行于向量(2,1,1)=-s 的直线的对称式方程是 111221+=--=-z y x 。

二、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1.已知平行四边形ABCD 的两条邻边(1,3,1)AB =-，(2,1,3)AD =-，求此平行四边形的面积S。

解：根据叉积的几何意义||→⨯=AD AB S =|312131--k j i | (5)分=||k j i 58+-- =103 …………8分2. 求过直线1223x z y +=+=与平面150x y z +++=的交点，且与平面23450x y z -++=垂直的直线方程。

2019全国2卷数学19 -回复1. 概述2019年全国普通高中学业水平考试数学试题中的第19题，是考试中的一道典型题目，引起了广大考生的关注和讨论。

本文旨在对这道题目进行深入解析和回复，帮助考生更好地理解和掌握该题的解题方法。

2. 题目内容与要求该题目要求考生计算一个正整数$N$的立方根（即找到一个正整数$M$，使得$M^3 = N$），并要求用定积分的定义计算$\int_0^{10} \left| x^3 - N \right| \, dx$的值。

3. 题目分析与解法针对第一部分，计算正整数$N$的立方根，考生可选择通过暴力搜索、二分查找等方法进行计算。

需要注意的是，由于$N$的范围很大，所以在选择解法时需要考虑到算法的时间复杂度和执行效率。

针对第二部分，计算定积分$\int_0^{10} \left| x^3 - N \right| \,dx$的值，考生应首先分别计算出$x^3 - N$在$x \in [0, N^{1/3}]$和$x \in (N^{1/3}, 10]$上的取值，并考虑到绝对值函数的特性进行积分计算。

在实际计算过程中，可分情况讨论，将被积函数拆分成不同区间内的函数表达式，进而进行积分计算。

4. 解题思路与技巧在解题过程中，考生需要注意以下几点：a) 对于计算立方根，可利用数学软件或编程语言进行辅助计算，能够提高计算的准确性和效率。

b) 对于计算定积分，需要灵活运用绝对值函数的性质，合理拆分被积函数表达式，准确确定积分区间。

5. 注意事项与实例分析为了帮助考生更好地理解和掌握解题方法，本文给出了一个具体的实例分析，以便考生在解题过程中能够更清晰地把握解题思路和技巧。

以$N=27$为例，首先计算$N$的立方根为$3$。

接下来计算定积分$\int_0^{10} \left| x^3 - 27 \right| \, dx$的值。

在$x \in [0, 3]$时，被积函数$x^3 - 27$的绝对值表达式为$27 - x^3$；在$x \in (3, 10]$时，被积函数的绝对值表达式为$x^3 - 27$。

0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

关于在校生重新学习(重修)的通知（本通知适用于2017-2018级学生）根据《苏州市职业大学课程重新学习管理的规定》，学生凡补考不及格的必修和专业限修课程需经重修，考试合格后方可取得该课程的学分。

根据江苏省物价局、江苏省财政厅（苏价费[2014]136号）一、重修报名1、报名时间：2019年3月7日14:00～3月13日14:00（由班主任负责组织学生重修报名。

）2、报名对象及缴费：①全日制在校学生（2017-2018级）。

②未注册（欠费）学生请先行注册（交费），否则不能参加本次重修。

若自行参加者，本次重修报名作废且成绩无效！！！③缴费时间：2019年3月16日至3月20日缴费方式：(1)微信缴费，具体步骤参见微信缴费操作说明。

(2)登录用户名为学号，初始密码为身份证后6位。

缴费如有疑问请致电66507911咨询。

④凡是以考证代替课程成绩的，则不参加本次重修。

如《ERP财务软件实训》、《计算技术》或《会计基本技能》、《计算机导论》、《计算机基础/A/B》、ATA课程等（具体课程可向各学院(部)咨询）。

中外合作班的外籍教师授课课程是否进行中方重修，具体请向学生所在学院(部)咨询。

3、限报课程及其性质：每位学生最多可报5门（必修和专业限修课程）。

4、报名方式：本次重修采用网上报名，具体流程见图示。

二、开课形式本次重修开课形式有两类：单开班和跟班。

1、单开班重修：学生首先视个人情况, 在本学期已开设单开班课程(详见附表)中选择相对应课程进行单开班重修报名。

（当报名人数达到开班人数要求后，学校将开出相应课程的独立重修班,一般利用周末或晚上组班上课。

）2、跟班重修：若确实未能在已开设单开班重修课程中选到合适的，则选择跟班重修报名。

三、注意事项1、不管是“跟班重修”，还是“单开班重修”，在选择已开课程重修时，上课时间不能与本学期正常课程时间相冲突。

2、如课程在本学期未开设，或已开设、但课程代码与教学计划中不同，则不能进行选课重修。

2018级第2学期高等数学考试试题一、填空题(本题20分，每小题4分)1、螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在xoy 面上的投影曲线方程为 .2、设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g f ,均可微，则=∂∂xz. 3、设)cos sin (21x C x C e y x +=（21,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 了 . 4、二次积分=⎰⎰xxdy yydx sin 10 . 5、设L 为逆时针取向的圆周)0(222>=+R R y x ，则=+-⎰Lyx xdyydx 22 . 二、（10分）设平面π是过直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223:z y x y x L 的平面，且点)1,2,1(M 到平面π的距离为1，求平面π的方程.三、（10分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++++=0 ,00 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x y x f ，（1）问),(y x f 在原点)0,0(处是否连续？ （2）问),(y x f 在原点)0,0(的偏导数是否存在？ （3）问),(y x f 在原点)0,0(处是否可微？ 四、（10分）设Ω是由22y x z +=及1=z 所围成的立体，计算⎰⎰⎰Ω++=dv yxzI 221.五、（共16分，每小题8分）（1）求函数z y x u 32+-=在条件632222=++z y x 下的极大值与极小值； （2）求圆锥面222y x z +=被柱面x y x 222=+截下有限限部分的面积. 六、（10分）计算⎰⎰∑++=dxdy r z dzdx r y dydz rx I 333，222z y x r ++=，其中∑取曲面2222a z y x =++的外侧)0(>a .七、（共14分，其中第1小题7分，第2小题7分）（1）计算⎰Γ--dz yz xzdy ydx 23，其中Γ为曲面z y x 222=+与平面2=z 的交线，从z 轴正向看逆时针方向.（2）求方程0)d 3(d )3(2323=-+-y y x y x xy x 的通解. 八、（10分）设)(r f u =，222z y x r ++=，)0(>r ，且函数u 满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，求函数)(r f 的表达式.2018级第2学期高等数学考试试题参考答案一、1. ⎩⎨⎧==+0222z a y x ； 2. g x yf y yf x z '-+=∂∂2211； 3. 022=+'-''y y y ； 4. 1sin 1-；5. π2-.二、利用平面束方程，可得01022=-++z y x 或01634=-+z y . 三、（1）)0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→，所以),(y x f 在原点)0,0(处连续；（2）1)1sin 1(lim 1sinlim )0,0()0,(lim)0,0(202200=+=+=-=→→→x x xx x x xf x f f x x x x ，同理，1)0,0(=y f ，所以),(y x f 在原点)0,0(的偏导数存在； （3）ρyf x f f y x y x ∆-∆-∆→∆→∆)0,0()0,0(lim22222200)()()()(1sin ])()[(limy x y x y x y x y x y x ∆+∆∆-∆-∆+∆∆+∆+∆+∆=→∆→∆所以),(y x f 在原点)0,0(处可微.四、解法1（利用柱坐标）πθ20,10,1:≤≤≤≤≤≤Ωr z r ，⎰⎰⎰Ω+=dz rdrd r z I θ21⎰⎰⎰+=1102201r zdz dr r r d πθ⎰⎰+-=1102211r zdz rdr r r π)12ln 2(2-=π. 解法2（先二后一）222:,10:z y x D z z ≤+≤≤Ω，⎰⎰⎰++=zD dxdy y x zdz I 22111⎰⎰⎰+=zdr r r d zdz 022011πθ⎰+=102)1ln(dz z z π)12ln 2(2-=π. 五、（1）令)632(32),,,(222-++++-=z y x z y x z y x L λλ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+-==+=0632063042021222z y x L z L y L x L z y xλλλλ，解方程组得驻点)1,1,1(),1,1,1(21---M M ，且6)(1-=M u ，6)(2=M u .由于函数z y x u 32+-=在椭球面632222=++z y x 上连续，故函数z y x u 32+-=在点1M 取得极小值6-，在点2M 取得极大值6.（2）记221:y x z +=∑，222:y x z +-=∑，曲面在xOy 上的投影区域为x y x D xy ≤+22:，22y x x xz +=∂∂，22y x y yz +=∂∂，dxdy dxdy yzx z dS 2)()(122=∂∂+∂∂+=， 由对称性可得，π2222)()(12211122==∂∂+∂∂+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑dxdy dxdy y zx z dS S . 六、记曲面∑围成的立体为Ω，由于2222a z y x =++，所以⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=yx z x z y z y x a z y x yx z x z y z y x I d d d d d d 1)(d d d d d d 323222ππ4343d d 3d 1333=⋅⋅==⎰⎰⎰Ωa a z y x a . 七、（1）解法1（利用Stokes 公式）取2:=∑z ，上侧，其法向量为}1,0,0{=n.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑Γ--=--=--∂∂∂∂∂∂=--dS dS z dS yzxz y z y x dz yz xzdy ydx )32()3(3100322ππ20455-=⋅⋅-=-=⎰⎰∑dS .解法2（利用参数方程直接计算）Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y t x ，π20→由t ，………………………（2）因为xQxy y P ∂∂=-=∂∂6，所以所给方程为全微分方程. ⎰-+-=),()0,0(2323)d 3(d )3(),(y x y y x y x xy x y x u224402303234141)d 3(d y x y x y y x y x x yx-+=-+=⎰⎰， 故所求通解为C y x y x =-+22446. 八、r x r f x r r f x u ⋅'=∂∂⋅'=∂∂)()(，3222222)()(r x r r f r x r f x u -⋅'+⋅''=∂∂，由对称性得 3222222)()(ry r r f r y r f y u -⋅'+⋅''=∂∂，3222222)()(r z r r f r z r f z u -⋅'+⋅''=∂∂，代入已知条件中得，0)(2)(='+''r f rr f ，02)()(=+'''r r f r f ，22ln ln )(ln c r r f '=+'， 22)(r c r f '='∴，从而12)(c r c r f +'-=，令22c c '-=，r c c r f 21)(+=∴.。

高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷2009 ~2010 学年 第一学期开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、 填空题（每空3分，共15分）⒈过点M （2，4，-3）且平行于直线31215yx z --==的直线方程为531422+=-=-z y x 。

2．已知22ln()z x y =+，则(1,1)dz= 1dx+1dy 。

⒊级数01!2n n n ∞=∑的和为 3/2 。

4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2Ddxdy =⎰⎰ 1/2 。

⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,x xy e y e-==，则该微分方程为 032'''=--y y y 。

二、 计算题（共18分）⒈（9分）设sin u z e v =，而,u xy v x y ==+求z z x y∂∂∂∂和。

x v v z x u u z x z ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂=()()y x e y x y e xy xy+++∙∙cos sin 同理里一个结果x y 互换 都带∂即：sin()cos()sin()cos()xy xy xy xyzye x y e x y xz xe x y e x y y∂=+++∂∂=+++∂2．（9分）求函数u xyz =在点(1,1,2)处沿从点(1,1,2)到点(2,4,3)的方向导数。

答案在下一页命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密119111111321112111cos 113cos 111cos 11)1,3,1(122=∙+∙+∙=∂∂=======∂∂==∂∂==∂∂l u l l xy z uxz y uyz x uχβα三、 计算题（共18分）1．（9分）求螺旋线cos ,sin ,a y a z b x θθθ===在点(,0,0)a 处的切线及法平面方程。