山西省2020届高考数学3月考前适应性测试一模试题理

故选：C．
2.在复平面内，复数 ，下列说法正确的是（）
A. 的实部为1B.
C. D. 在第一象限
【答案】B
【解析】 ，
位于第四象限， 的实部为 ， ，故选A、C、D错误；
，B正确，
故选：B．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于选项A， 是 上的偶函数，不符合题意；
④已知点P、Q分别是 ， 的中点，点M为正方体表面上一点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 .
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】对于①，因为满足条件的动点M是以 为轴线，以 为母线的圆锥与平面ABCD的交线，即圆的一部分，故①是正确的；
对于②，依题意知点M到点F的距离与到直线AB的距离相等，所以M的轨迹是以F为焦点，AB为准线的抛物线，故②是正确的；
故选：B．
8.某程序框图如图所示，其中 ，若输出的 ，则判断框内应填入的条件为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， ，
运行该程序，
输入 ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框成立；
…
则 ， ，判断框成立；
则 ， ，判断框不成立，输出 .
故判断框内应填入的条上存在最小值-2.则非零实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得：
①当 时，
函数 在区间 上存在最小值-2，
，可得 ；
②当 时， ，
函数 在区间 上存在最小值-2，
，可得： ；
综上所述，非零实数 的取值范围 ；

2020届山西省高三适应性调研数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}22|log 1,|0A x x B x x x =<=->，则A B =I （ ）A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【答案】A【解析】解对数不等式和一元二次不等式化简集合,A B ，再进行交运算，即可得答案. 【详解】由题意得{}2|log 1{|02},{|(1)0}{|0A x x x x B x x x x x =<=<<=->=<或1}x >，∴{|12}A B x x =<<I . 故选：A. 【点睛】本题考查数不等式和一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,2,3AD BC AD BC ==，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，证明//AG DH ，且AG DH =，即可得答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在三角形PBC 中23PGPH PB PC ==， 所以//GH BC ，且223GH BC ==， 又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =， 所以四边形ADHG 为平行四边形， 所以//AG DH ，且AG DH =.在PDH △中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =， 所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意利用线段的比例关系，证明平行.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=， 所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ，若2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设点A，则因为，所以由2CF AF =可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以ACE ∆的面积为，所以，即，故应选A .【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．3B ．36C ．324D ．348【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以111113326A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<„，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<„， 所以52222ϕϕωππ-<-„， 所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，|+2|a b =r r a r 与b r的夹角为________. 【答案】3π 【解析】设a r 与b r的夹角为θ，对等式|+2|a b =r r 两边平方，再利用向量的数量积运算，求得cos θ的值，即可得答案. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r r r r r r ，解得：1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量的夹角、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【答案】（1）3B π=（2）14【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=， 所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ25【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量(2,2,1)n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,5||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,5n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △的内切圆半径的最大值为33，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时3r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ， 则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ， 故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =所以()3a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==， 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a „时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）答函数()y f x =的图象最低点为(,)m m ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b+的取值范围.【答案】（1）[1,3]x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）讨论绝对值内数的正负，对x 分成三段，再解不等式组即可得答案； （2）求出函数图象最低点坐标为(2,3)，利用1的代换、基本不等式求最值. 【详解】第 21 页 共 21 页 （1）33,2,()5,12,33,1,x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„所以由()6f x „可得2,336,x x ⎧⎨-⎩…„或12,56,x x -<<⎧⎨-+≤⎩或1,336,x x -⎧⎨-+⎩„„ 解得：[2,3]x ∈或(1,2)x ∈-或1x =-.综上[1,3]x ∈-.（2）因为33,2,()5,12,33,1,x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，所以当2x =时，min ()3f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要验证等号能否取到.。

2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．20．（12分）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点3(1,)2． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知BMN ∆是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN ∆的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【解答】解：Q 集合2{|320}{|1A x x x x x =-+=厔或2}x …， {|1}{|1}B x x a x x a =+=-厖，A B R =U ，11a ∴-„，解得2a „，∴实数a 的取值范围是(-∞，2]．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(12)2z i i i =-=+g ，2z i =-在复平面内所对应的点(2,1)-位于第四象限．故选：D ．3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-【解答】解：①由于1a b >>，所以110a b<<，0c <，故c c a b >，选项A 错误．②当2c =-，3a =，2b =时，a b c c >，故选项B 错误． ③由于1a b >>，0c <，故c c a b <，选项C 正确．④由于1a b >>，0c <，所以a c b c ->-，故log ()log ()a b b c a c -<-，故错误． 故选：C ．4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．2-C ．2 D ．1【解答】解：Q 已知sin cos 2,(0,)αααπ-=∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-， 故322πα=，34πα∴=，tan 1α=-． 故选：A ．5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：模拟程序的运行，可得 3a =，1b = 1n =92a =，2b = 不满足条件a b „，执行循环体，2n =，274a =，4b = 不满足条件a b „，执行循环体，3n =，818a =，8b = 不满足条件a b „，执行循环体，4n =，24316a =，16b =此时，满足条件a b …，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【解答】解：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-， 故选：D ．7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r【解答】解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a r，b r 共线，则存在不为零的实数λ，使(0)b a a λ=≠r rr r ， 即0a b λ-=r r r ，其等价命题为存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r． 故选：D ．8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．12【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家，基本事件总数234336n C A ==， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数2122326m C C A ==， ∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为61366m p n ===． 故选：A ．9．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+【解答】解：把函数211()sin cos222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后， 得到函数11()cos(2)226y g x x π==--的图象， 故选：C ．10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则212(log )(log )2f a f a f +„（1）为：2(log )f a f „（1），因为函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增， 所以2|log |1a „，解得122a 剟，则a 的取值范围是1[2，2]，故选：A ．11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12x x ≠，由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ， 所以，21144MA MB x x k k ==-g g ，可得1216x x =-，直线MA 的方程为：111()4xy y x x -=-，114()x x y y =+⋯①，同理直线MB 的方程为：222()4x y y x x -=-，224()x x y y =+⋯②， ①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-， 故选：B ．12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设1(M x ，13)lnx ，则直线1:l x x =，由11x x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩可得11y x =，即1(N x ，11)x ，11(233OM ON OP x +==u u u u r u u u r u u u r ，111213)(3x lnx x +=，111)3lnx x +， 又P 的纵坐标始终为0，即11103lnx x +=， 可令1()(0)3f x lnx x x =+>，导数为221131()33x f x x x x -'=-=，由()0f x '=，可得13x =， 则当103x <<时，()0f x '<，()f x 递减；13x >时，()0f x '>，()f x 递增．可得()f x 在13x =处取得极小值，且为最小值11()11333f ln ln =+=-， 由130ln -<，则()f x 在(0,)+∞有两个零点，即方程11103lnx x +=有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = 8 ．【解答】解：Q 函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1211()log 388f ==；∴1(())8f f f =（3）2318=-=．故答案为：8．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = 23π．【解答】解：由余弦定理可得2222cos a b c bc A --=-， ABC ∆cos A =，又因为1sin cos 2ABC S bc A A ∆==，所以tan A =， 由(0,)A π∈可得23A π=． 故答案为：23π 15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =【解答】解：1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =， 可知：212PF F F ⊥，22||b PF a=，1222tan 3c F PF b a∠==，即2223()ac c a =-，可得23230e e --=，1e >， 3e ∴=．故答案为：3．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是2[，1]2③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为22④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号） 【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取1CC 和11C D 的中点为M ，N ，连接MN 、1MB 、1NB ，则1//MN A B ，11//MB EA ，MN Q 、1MB ⊂平面1MNB ，1A B 、1EA ⊂平面1A BE ，且1MN M B M =I ，111A B EA A =I ，∴平面1//MNB 平面1A BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有1//B F 平面1A BE ，即平面1MNB 就是平面α．对于①，当F 为线段MN 的中点时，11MB NB =Q ，1B F MN ∴⊥，1//MN CD Q ，11B F CD ∴⊥，即①正确；对于②，11//BC B C Q ，∴直线1B F 与直线11B C 所成的角即为所求，11B C ⊥Q 平面1MNC ，1C F ⊂平面1MNC ，111B C C F ∴⊥，∴直线1B F 与直线11B C 所成的角为11FB C ∠，且11111tan FC FB C B C ∠=， 而1FC的取值范围为，112B C =，所以11tan FB C ∠∈1]2，即②正确； 对于③，平面1MNB 与平面11CDD C 所成的锐二面角即为所求， 取MN 的中点Q ，因为11B C ⊥平面1MNC ，所以11B QC ∠就是所求角，而11111tan B C B QC QC ∠==③正确； 对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面11BCC B ，平面11ADD A ，平面1111A B C D ，平面ABCD ，即④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）由已知得：1221a b b b +=，11a ∴=．又{}n a Q 是公差为1的等差数列，n a n ∴=．11n n n n a b b nb +++=Q ，1(1)n n n b nb +∴+=，所以数列{}n nb 是常数列，11n nb b ∴==，1n b n∴=； （2）由（1）得：11()22nn n n c n b ==g ， 23111112()3()()2222n n S n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+g ①，又2341111111()2()3()()22222n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋯+g ②， 由①-②可得：231111111()()()()222222n n n S n +=+++⋯+-g111[1()]122()1212n n n +-=--g111(2)()2n n +=-+g ，12(2)()2n n S n ∴=-+g ．18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()nad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（1）根据题意填写22x 列联表，计算2250(297113)6.272 6.63540103218K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算22842210584(0)225C CP XC C===gg，211128482422105104(1)225C C C C CP XC C+===g g gg，11122824242210535(2)225C C C C CP XC C+===g g gg，2124221052(3)225C CP XC C===gg；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为841043524()01232252252252255E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，已知四边形11AA C C为矩形，16AA=，4AB AC==，160BAC BAA∠=∠=︒，1A AC∠的角平分线AD交1CC于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面11AA C C；（Ⅱ）求二面角111A B C A--的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点D作//DE AC交1AA于E，连接CE，BE，设AD CE O=I，连接BO，1AC AA⊥Q，DE AE∴⊥，又AD为1A AC∠的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，CE AD∴⊥，又AC AE =Q ，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=， 又O Q 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，又AD Q ，BO ⊂平面BAD ，AD BO O =I ，CE ∴⊥平面BAD ． 又CE ⊂Q 平面11AA C C ，∴平面BAD ⊥平面11AA C C ．（Ⅱ）在ABC ∆中，4AB AC ==Q ，60BAC ∠=︒，4BC ∴=， 在Rt BOC ∆中，Q 1222CO CE ==，∴22BO =，又4AB =，1222AO AD ==，222BO AO AB +=Q ，BO AD ∴⊥， 又BO CE ⊥，AD CE O =I ，AD ，CE ⊂平面11AA C C ，BO ∴⊥平面11AA C C ， 故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2A ，2-，0)，1(2A ，4，0)，1(2C -，4，0)，1(0,6,22)B ， ∴11(2,2,22)C B =u u u u r ，1(4,6,0)AC =-u u u u r，11(4,0,0)C A =u u u u r ， 设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =r，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r r u u u u r r ，∴1111146022220x y x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令16x =，得(6,4,52)m =-r，设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =r，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r r u u u u r r ，∴22224022220x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令22y =，得(0,2,1)n =-r ， ∴92317cos ,||||1023m n m n m n <>===r r g r r r r g g ，故二面角111A B C A --的余弦值为317．20．（12分）已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点3(1,)2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知BMN ∆是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN ∆的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：2222211914c a b c a b=⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设(,)B m n ，记线段MN 中点D ，因为O 为BMN ∆的重心，所以2BO OD =u u u r u u u r ，则点D 的坐标为：(2m -，)2n-，若0n =，则||2m =，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为||2m ，即为1， 若0n ≠，此时直线MN 的斜率存在，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12x x m +=-，12y y n +=-， 又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，可得：121234MN y y mk x x n-===--， 故直线MN 的方程为：3()422m m n y x n =-+-，即2268340mx ny m n +++=， 则点O 到直线MN的距离22d =将22143m n +=，代入得d =因为203n <…，所以min d =，1<， 故原点O 到直线MN．21．（12分）已知函数2()()f x xlnx ax a R =-∈． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点1x ，2x ，试判断12x x +与12x x g 的大小关系并证明． 【解答】解：（1）1()221(0)f x lnx x ax lnx ax x x'=+-=-+>g ，令()0f x '=，得12lnx a x +=，记1()lnx Q x x +=，则2()lnxQ x x-'=， 令()0Q x '>，得01x <<；令()0Q x '<，得1x >，()Q x ∴在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞ 上是减函数，且()max Q x Q =（1）1=，∴当21a >，即12a >时，()0f x '= 无解，()f x ∴ 无极值点， 当21a =，即12a =时，()0f x '=有一解，12lnxa x+…，即210lnx ax -+„，()0f x '„ 恒成立，()f x ∴无极值点，当021a <<，即102a <<时，()0f x '=有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a „，即0a „时，()0f x '=有一解，()f x ∴有一个极值点，综上所述：当12a …时，()f x 无极值点；102a <<时，()f x 有2个极值点；当0a „时，()f x 有1个极点；（2）2()g x xlnx ax x =--，()2(0)g x lnx ax x '=->， 令()0g x '=，则20lnx ax -=，2lnxa x∴=， 记()lnxh x x=，则21()lnx h x x -'=，由()0h x '>得0x e <<，由()0h x '<，得x e >，()h x ∴在(0，e )上是增函数，在(,)e +∞上是减函数，()max h x h =（e ）1e=，当x e >时，()0f x >，∴当102a e<<即112a e <<时()g x 有2个极值点1x ，2x ，由112222lnx ax lnx ax =⎧⎨=⎩得，121212()2()ln x x lnx lnx a x x =+=+，∴1212()2ln x x a x x =+，不妨设12x x <，则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>， 又()h x 在(,)e +∞ 上是减函数，∴1221212212()()2ln x x lnx ln x x a x x x x x +<==++， 1212()()ln x x ln x x ∴+<， 1212x x x x ∴+<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值． 【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，转换为直角坐标方程为22(3)9x y -+=．直线l 过点(0,2)M ，倾斜角为34π．整理得参数方程为(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22(3)(2)9-+=，整理得240t ++=，所以：12t t +=-124t t =，所以求1212||11||||||4t t MA MB t t ++==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，21,2()|1||2|3,1221,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟． ()4f x <Q ，∴2214x x >⎧⎨-<⎩或1234x -⎧⎨<⎩剟或1214x x <-⎧⎨-+<⎩， ∴522x <<或12x -剟或312x -<<-，∴3522x -<<， ∴不等式的解集为35{|}22x x -<<． （2）Q 对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=， 224m m ∴-+的取值范围是()f x 值域的子集．()|1||2||21|f x x x a a =++-+Q …，()f x ∴的值域为[|21|a +，)+∞，又2224(1)33m m m -+=-+…，|21|3a ∴+„，21a ∴-剟，∴实数a 的取值范围为[2-，1]．。

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查复数的除法运算.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。

【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B:或者，所以选项B是假命题；选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。

【详解】，因为，所以，原式故本题选B。

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。

重点考查了同角三角函数之间的关系。

5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。