2.2 向心力 学案（粤教版必修2）知识梳理一、感受向心力 1.定义做匀速圆周运动中的物体受到的总是指向圆心方向的合外力叫向心力. 2.方向向心力的方向始终指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线速度方向垂直.3.向心力大小与哪些因素有关(1)实验证明：向心力大小与物体质量、角速度和半径有关. (2)公式向心力与角速度的关系F=mω2·r.向心力与线速度的关系F=rmv 2.4.向心力的效果向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，向心力就是维持物体做圆周运动的力.二、向心加速度 1.定义由向心力产生的加速度叫向心加速度. 2.方向向心加速度总是沿半径指向圆心,和向心力方向一样，总是不断变化的. 3.大小a=ω2·r 或a=rv 2.4.物理意义向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量.它不改变线速度的大小. 三、生活中的向心力 1.汽车转弯（1）水平公路，靠静摩擦力提供向心力；（2）里低外高的倾斜路面，重力和支持力的合力提供向心力. 2.汽车过桥汽车通过凸形桥最高点或凹形桥最低点：重力和支持力的合力提供向心力. 知识导学假如物体在圆周上某一点的向心力方向跟速度方向不垂直,那样力将在切向有分量,该分量将在切向上改变速度的大小.因此,只有垂直时,切向上无分量,线速度的大小才保持不变，物体才做匀速圆周运动.做匀速圆周运动物体的向心加速度由向心力和物体的质量决定.即a 向=mF 向,向心加速度的方向总是与向心力方向相同. 疑难突破1.向心力的理解剖析：向心力是一种效果力，它不是根据力的性质来命名的，因此向心力不是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等以外的特殊的力，进行受力分析时，切勿把向心力作为一种独立的力重复算入.向心力只是以上这些力的别称，或是这些力的合力，或是这些力的分力，也可能就是某个力.匀速圆周运动中，合外力充当向心力；在一般圆周运动中，物体所受合外力在沿法线方向的分力即为向心力，产生向心加速度，用以改变运动的方向，合外力在沿切线方向的分力产生切向加速度，用以改变速度的大小. 2.向心加速度与半径的关系剖析：由向心加速度公式a=rv 2=ω2r 可知，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比.图2-2-1反映了向心加速度a 的大小与旋转半径r 的关系.其中图线①的条件是ω（或周期T ）一定；图线②的条件是v 大小一定.图2-2-1两个物理量成正比（或反比）是解决问题常用的关系，但要注意其使用条件. 3.匀速圆周运动的性质剖析：物体的运动情况决定其受力情况，做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心，所以其向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，故： （1）匀速圆周运动是非匀变速曲线运动.（2）匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期,运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态（如v 、a 大小方向）也要重复原来的情况. 典题精讲例1 汽车沿半径为R 的圆形跑道行驶,设跑道的路面是水平的,路面作用于汽车的摩擦力的最大值是车重的k 倍.要使汽车不致冲出跑道,车速最大不能超过多少?思路解析：汽车做圆周运动的向心力是由它与地面之间的静摩擦力提供的,如图2-2-2所示.汽车在做圆周运动时会产生一个沿圆弧半径方向远离圆心的运动趋势,因此会使汽车受到一个指向圆心的静摩擦力,用以提供转弯时所需的向心力.根据F 向=rmv 2可知,汽车的速度越大,转弯时所需的向心力越大,当汽车所需的向心力等于汽车和地面之间的最大静摩擦力时,汽车的速度达到最大值(如果速度超过此值,汽车就不能再做圆周运动了).图2-2-2假设车速最大不能超过v m则:2m mv /R=kmg,v m =kgR ,车速最大不能超过kgR . 答案：kgR绿色通道：由F=mv 2/r 可知，r 一定时，v 越大，所需的向心力就越大，即要求路面对汽车的静摩擦力就越大，但静摩擦力是有限度的，不可能无限增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，如果仍继续增大速度，则不可能满足圆周运动的需要，不能正常进行圆周运动. 变式训练 如图2-2-3所示,半径为r 的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO′转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为μ,现要使小物块不下落,圆筒转动的角速度ω至少为____________________.图2-2-3思路解析：由平衡条件得：μF=mg,又F=mω2r ，联立以上两式解得:ω=rg μ. 答案：rg μ 例2 一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的,圆锥固定,有质量相同的两个小球A 和B 贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图2-2-4所示,A 的运动半径较大.则图2-2-4A.A 球的角速度必小于B 球的角速度B.A 球的线速度必小于B 球的线速度C.A 球的运动周期必大于B 球的运动周期D.A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力思路解析：求解匀速圆周运动的向心力常用以下两种方法:(1)先对物体进行受力分析,画好受力图,然后用求合力的方法得到指向圆心的向心力;(2)借助于v 、ω、T 、n 和r 等量求得a 向,再用牛顿第二定律F 向=ma 向求得向心力.本题中两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,它们均受到重力和筒壁对它的弹力作用,这两个力的合力提供向心力,如图2-2-5所示,可知筒壁对小球的弹力F N =mg/sinθ,而重力和弹力的合力为F 合=mgcotθ.图2-2-5由牛顿第二定律,可得mgcotθ=mω2R=R mv 2=m·224Tπ·R所以:ω=R g /cot θ,v=θcot gRT=2πθcot /g R ,F N =mg/sinθ由以上四个表示式可知:①ωA ＜ωB ②v A ＞v B ③T A ＞T B ④F NA =F NB .所以选项AC 正确. 答案：AC绿色通道：处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题： （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如本题小球在水平面上做匀速圆周运动，小球做圆周运动的圆心就在同一水平面上. (2)向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力的情况时，切不可在物体的相互作用（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力.变式训练 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度v ，则下列说法中正确的是（ ）A.当以v 的速度通过此转弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B.当以v 的速度通过此转弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C.当速度大于v 时，轮缘挤压外轨D.当速度小于v 时，轮缘挤压外轨思路解析：铁路转弯处，火车需要向心力，当火车按规定行驶速度v 通过转弯处时，支持力和重力的合力可提供向心力，A 对,B 错.当速度大于v 时，火车需要的向心力增大，轮缘挤压外轨，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力，C 对,D 错. 答案：AC例3 绳系着装有水的小木桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5 kg,绳长L=40 cm.求:(1)桶在最高点而使水不流出的最小速度; (2)水在最高点速度v=3 m/s 时,水对桶底的压力.思路解析：在最高点，水受桶的压力，方向竖直向下，向心力由重力和压力的合力提供. (1)在最高点,水受两个力:一是重力;二是桶底对水的压力,二者均向下. 所以F 向=F+G=mv 2/L,v 变大时,F 变大 当F 为最小,即F=0时 v min =gL =0.410 m/s=2 m/s桶在最高点时而使水不流出的最小速率为2 m/s. (2)当v=3 m/s 时,F=mv 2/L-mg=0.5×(4.09-10) N=6.25 N 根据牛顿第三定律可知,水对桶底的压力为6.25 N,方向竖直向上. 答案：(1)2 m/s(2)6.25 N绿色通道：虽然向心力公式是由匀速圆周运动推出来的，但它仍适用于非匀速圆周运动.此时合外力沿半径方向的分力提供物体做圆周运动的向心力.变式训练 如图2-2-6中，m 为水平传送带上被传送的物体，A 为终端皮带轮，半径为r ，当m 可被水平抛出时，A 轮每秒转数最少是_____________.图2-2-6思路解析：由题意知：m 的速度等于皮带匀速运动的速度，也等于皮带轮A 边缘的线速度，m 刚好被水平抛出时A 轮线速度最小，转速最小.此时物体m 的重力提供向心力，即mg=r mv 2，又v=2πr·n ，联立解得：n=π21rg. 答案：π21rg 问题探究问题 圆周运动中向心力的来源有哪些？导思：确定圆周运动物体所需向心力的来源是研究圆周运动的关键.做圆周运动的物体，其向心力可以由某一个力提供，也可由若干个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供. 若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定.若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向上的分力则用于改变线速度的大小. 向心力是效果力，在受力分析时不能分析进去. 探究：(1)静摩擦力提供向心力如图2-2-7所示，木块随圆盘一起运动即做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供.静摩擦力总是沿半径指向圆心，说明木块相对圆盘的运动趋势方向是沿半径背离圆心，静摩擦力与相对运动趋势方向相反.图2-2-7汽车在十字路口拐弯时所需的向心力就是由路面施加的静摩擦力提供的.(2)合力提供向心力如图2-2-8所示，小球在玻璃漏斗里沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动所需的向心力就是由小球所受的重力和支持力的合力提供.根据平行四边形定则可得：图2-2-8F 向=Gcot 2,如汽车、火车拐弯时所需的向心力均属此类.。
