专题：圆锥曲线的离心率

高中数学中的圆锥曲线的离心率圆锥曲线是高中数学中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在几何学和物理学中都有广泛的应用，而离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数。

本文将探讨高中数学中的圆锥曲线的离心率及其应用。

首先，我们来了解一下离心率的定义。

离心率是描述椭圆、双曲线和抛物线形状的一个量，它用e表示。

对于椭圆和抛物线，离心率的取值范围是0到1之间，而对于双曲线，离心率的取值范围大于1。

离心率越接近于0，表示椭圆或抛物线越圆；离心率越接近于1，表示椭圆或抛物线越扁；离心率大于1，表示双曲线的形状越尖。

接下来，我们来看一下椭圆的离心率。

椭圆是一个闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。

椭圆的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。

当离心率为0时，椭圆退化成为一个圆；当离心率为1时，椭圆退化成为一个线段。

椭圆的离心率越接近于1，椭圆的形状越扁。

然后，我们来看一下双曲线的离心率。

双曲线是一个开口的曲线，它的形状类似于两个分离的支架。

双曲线的离心率定义为焦点之间的距离与两个焦点到曲线的距离之和的比值。

当离心率等于1时，双曲线退化成为一个抛物线。

双曲线的离心率越大，曲线的形状越尖。

最后，我们来看一下抛物线的离心率。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，它的形状类似于开口的U形。

抛物线的离心率定义为焦点到曲线的距离与焦点到准线的距离的比值。

当离心率等于0时，抛物线退化成为一条直线。

抛物线的离心率越接近于1，曲线的形状越尖。

离心率在几何学和物理学中有着广泛的应用。

在几何学中，离心率可以用来描述圆锥曲线的形状，帮助我们理解和分析曲线的特性。

在物理学中，离心率可以用来描述行星轨道的形状，帮助我们研究行星运动的规律。

此外，离心率还可以应用于工程学、天文学等领域。

总结起来，离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它可以用来区分椭圆、双曲线和抛物线，并帮助我们理解和分析曲线的特性。

离心率在几何学和物理学中有着广泛的应用，对于深入理解圆锥曲线及其应用具有重要意义。

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

高中数学：求圆锥曲线离心率的常用方法
一、根据离心率的范围，估算e
利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。

例1、设，则二次曲线的离心率的取值范围为（）
A.
B.
C.
D. （）
解：由，知，
故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。

二、直接求出a、c，求解e
已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心
率公式来解决。

例2、已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
解：抛物线的准线是，
即双曲线的右准线，
则，解得，
故选D。

例3、点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线
反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.
B.
C.
D.
解：由题意知，入射光线为，
关于的反射光线（对称关系）为
则解得
则。

故选A。

三、构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例4、已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A.
B.
C.
D.
解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。

由焦半径公式，
即，得，
解得，故选D。

▍
▍ ▍
▍。