【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

2020年高考数学 圆锥曲线篇圆锥曲线离心率的求法经典回顾1、已知点为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则λ的值为【解析】试题分析：设△的内切圆的半径为r ，为△的内心，，所以∴=+|,|21||21||212121F F PF r PF r λ |,|||||2121F F PF PF λ=+因为为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义得a PF PF 2||||21=+，得2222,22ba ab a a -=∴-⨯=λλ.考点：三角形面积的计算及三角形内心的性质. 离心率求值 焦点三角形中2、在ABC △中，90A ∠=o，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．[解析]=+====BC AC ABe k BC k AC k AB ,5,3,4123、已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF ,则此椭圆的离心率为 _________.[解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1]4、在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BCP 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=22a b-12PF F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=P 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注5、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 【答案】4 【解析】试题分析：不妨设椭圆的标准方程为：2222111x y a b += ，双曲线的标准方程为：2222221x y a b -=公共焦点()()12,0,,0F c F c - ，则有：2222221122,a b c c a b =+=+在12PF F ∆中，因为321π=∠PF F ，由余弦定理得：222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=所以，222121212PF PF PF PF F F +-⋅= 所以，22121212()3PF PF F F PF PF +-=⋅22121212()PF PF F F PF PF --=-⋅即：2222112212443,44a c PF PF a c PF PF -=-=-所以，()2222221212223131a a a c a c c c ⎛⎫-=--⇒-=-- ⎪⎝⎭2222121211131314e e e e ⎛⎫⇒-=--⇒+= ⎪⎝⎭ 所以，答案应填：4.考点：1、椭圆的定义、标准方程与简单几何性质；2、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质.6、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 2 [解析] .用好定义 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，2224)()(c m a m a =-++21122221222=+∴=+∴e e c m a 位置关系 7、如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为[解析] B .=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a c b a b 221)(215- 8、在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．[解析]=⇒=e a c a 22229、椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【解析】 试题分析：设关于直线的对称点的坐标为，则，所以 ，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；2222:1(0)x y C a b a b+=>>F F 30x y +=A C C 1231-331-(,0)F c -30x y +=A(m,n)(3)13022nm c m c n ⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-⎪⋅+=⎪⎩2c m =3c n =22223441c ca b +=42840e e -+=31e =-D10、已知F 2，F 1是双曲线的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．【答案】A 【解析】试题分析：设点F 2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的方程为，把点M 的坐标代入上式得，又，所以，解得。

专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。

【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。

由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。

我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的要点，其主假如列出 a, b,c 的不等式， 从而求出离心率的范围。

此中列不等式是这类题目的要点，下边我们说以下不等式的几种方法。

一、依据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式例 1：已知椭圆x 2y 2 1( ab 0) 的左右焦点分别是F 1 ( ,0), F 2 ( ,0)a 2b 2c c ，若椭圆上存在点 P （异于长轴的端点） ，使得 csin PF 1 F 2 a sin PF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率的范围是 _________.c sin PF 2 F 1 PF 1 sin PF 2 F 1解： 由已知得 esin PF 1F 2 ， 由正弦定理得sinPF 1F 2aPF 2 PF 12a PF 2PF 22a 2因此 ePF 2，从而 a。

PF 2c又由于 a cPF 2 a c 且 0 e 1 ，解得离心率范围是 ( 21,1) 。

变式训练 1：设椭圆x 2y 2 1(ab 0) 的两焦点为 F 1 , F 2 ，若在其右准线上存在一a 2b 2点 P ，使得线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 ，求椭圆离心率的范围。

变式训练 2：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1 , F 2 ，若 P 为其上一点， a 2b 2且 PF 1 2 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。

变式训练 3：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1, F 2 ，若 P 为右支上一点，a 2b 2且PF 1 4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。

二、相关存在性问题求离心率例 2：设 P 是椭圆 x2y 2 1( a b 0) 上的一点， F 1, F 2 是椭圆的左右焦点，已知a 2b 2F 1 PF 2 60o ，求椭圆离心率的范围。

剖析：要想使得存在椭圆上的一点P ，知足F 1 PF 2 60o ，也就是要求当点 P 在椭圆上运动时， ( F 1PF 2 ) min 60o ,( F 1PF 2 )max 60o 即可。

问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b, c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a, c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a, c的齐次式，进而求解.（2）要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征 1 PF|+ 1 P日>2 C的运用三、知识拓展2 21.在求椭圆务+与=1（a Ab >0 ）离心率范围时常用的不等关系：x兰a，y^b , a — c^FP^a + c,a bb兰OP兰a （P为椭圆上一点）2.在双曲线务岭=1a 0,b 0中，e=2=,1b,a2 b2 a Y 匕丿四、题型分析（一）借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点A -1,0和B 1,0，动点P x，y在直线l： ^x 3上移动，椭圆C以代B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A. 5B C.2、5D2后5555【答案】A【解析】A -1,0关于直线丨：y =x 3的对称点为A -3,2 ,连接AB交直线I于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为AB =2 5,所以椭圆C的离心率的最大值为° = I -5 ,故选A.1 1 a 岳5【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值2 2【小试牛刀】已知椭圆G :冷•占“（a ■ b ■ 0）与圆C2：x2 y^b2,若在椭圆G上存在点P,使得由点a bP所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（）AI B -今弓C •日）D详‘1）【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角.APB最小，若椭圆C i上存在点P令切线互相垂直，则只需.APB _ 900,即? - ■ APO _ 450,炸前450诗,解得U e_2,即°_手,而°：：：e ",彳池"即e曰）（二）借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，厶的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.2 2【例2】已知椭圆^2 ^7 =1（a b 0）上一点A关于原点O的对称点为B, F为其右焦点，若AF _ BF ,a b设"BF—且一药厂则椭圆离心率的取值范围是——【答案】【解析】左焦点为 F i .连结AF i ,BF i 可得四边形AF i BF 是矩形，所以AO =0F =0B = c .所以AB = 2c 又AF _ BF ,所以.AF = 2csin , BF = 2ccos 、f .又因为 AF^ BF , AF 1 AF = 2a .所以【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2csin t ' 2ccos ： = 2a ,然后借助已知条件五，4，利用三角函数的图象求解离心率的范围 【百校联盟 2018届TOP202018届高三三月联考】•已知平行四边形ABCD 内接于椭圆【答案】A D.B 关于原点对称，设 D X 0,y ° , B -x °,-y ° , A X, y , - k AD2csin ：亠2ccos ：=2a ・即 a sin 匚：:cos ：、、2 sin( )4r n jr "I.因为，一，所以_12 4今―云吩亍门.所以子、;甞 故填.63y —y 。

圆锥曲线的几何性质1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系． 2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．考点一 圆锥曲线的离心率问题例1．（2020·福建厦门高三期末）已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ） AB ．32 C ．53 D例2．（2020·安徽安庆高三期末）已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A．)+∞ B． C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭C（2020·福建漳州质检）已知1F 、2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过右焦点2F 的直线l ，交的左、右两支于A 、B 两点，若B 为线段2AF 的中点且1BF l ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．7（2020·河南许昌质检）已知斜率为13的直线l 经过双曲线22221y x a b-=的上焦点F ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A．1e <<B．1e <<C．e > D．e > 考点二 与圆锥曲线有关的最值问题例3．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2.5例4．（2020·浙江嘉兴一中高三期末）已知A ，B 是椭圆：2213y x +=短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆上不同于A ，B 的动点，若直线PA ，PB 分别与直线4x =-交于点M ，N ，则OMN ∆面积的最小值为（ ） A．B．C．D．CC C C（2020·山西运城高三期末）已知1F ，2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．(C ．(D ．(（2020·广东惠州三调）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C D考点三 圆锥曲线综合问题典例5．（2020·武邑县教育局教研室高三期）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（ ）AB C D例6．（2020·安徽六安示范高中质检）已知抛物线24x y =-的焦点为F ，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F 为圆心，AF 为半径的圆交y 轴负半轴于点B .平行于AB 的直线l 与抛物线相切于点D ，设A ，D 两点的横坐标分别为A x 和D x ，则A D x x ⋅=（ ）A ．-4B ．2C ．-2D ．4【举一反三】（2020·安徽淮南一模）已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A 8B ．)41-C 8+D ．)22（2020·四川南充适应性考试）已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A ．1- B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化课后练习1．（2020·辽宁高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ，若点A ，B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点，点M 为直线2l上一点，且AM BM k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．1BC ．2D2．（2020·河北高三期末）椭圆2222:11x y C a a +=-与抛物线24y x =在第一象限相交于点12,,P F F 为椭圆的左、右焦点.若22PF =,则椭圆的离心率是（ ）A ．12 BC ．34 D13．（2020·河南高三期末）已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( ) AB ．2CD4．（2020·陕西高三期末）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线的离心率为（ ） A．2BC．2+ DC C CC C C5．（2020·辽河油田第二高级中学高三月考）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为ABC ．2D6．（2020·石嘴山市第三中学高三期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．37．（2020·天津高三期末）抛物线22y px =(0)p >的焦点与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点F重合，且相交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线于另一点，且与双曲线的一条渐近线平行，若1||||2AF FC =，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．38．（2020·甘肃高三期末）F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，,M N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B．CDB ．2eC ．eD ．2eCC。