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中国矿业大学2009—2010年第一学期《概率论与数理统计》试题卷（A ）考试时间：100分钟 考试方式：闭卷院系可能用到的数据：,9678.0)85.1(=Φ.6331.0)34.0(=Φ 12.13)25(,646.40)25(2975.02025.0=χ=χ，652.37)25(205.0=χ， 611.14)25(295.0=χ，3641.39)24(2025.0=χ，401.12)24(2975.0=χ， 415.36)24(205.0=χ，848.13)24(295.0=χ，7109.1)24(t 05.0=， 0639.2)24(t 025.0=，7081.1)25(t 05.0=，0595.2)25(t 025.0=，一、填空题（每题4分共20分）1．若5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，,8.0)(=B A P 则)(B A P = ；0.62； 2．从大批废品率为03.0的产品中任意抽取1000个产品，用德莫佛-拉普拉斯中心极限定理估计废品数X 大于20小于40的概率 ；0.9356；3．设随机变量X 的分布函数为：010.411()0.81313x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的分布列为： ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2.04.04.0311；4．设)4,3(~N X ，则EX = ；2()E X = ．3；13；5．设)Y ,X (的概率密度为401,01(,)0xy x y p x y <<<<⎧=⎨⎩其它,则：=<)(Y X P ； 0.5 ；二、选择题（单项选择每题4分共20分） 1．若B ,A 满足0)AB (P =，则 CA 、A 和B 互不相容； B 、AB 是不可能事件；C 、AB 未必是不可能事件；D 、0)(=A P 或0)(=B P 。
2．设X ~),(N 2σμ，则随σ的增大，{}σ<μ-X P C)A (单调增大； )B (单调减小； )C (保持不变； )D (增减不定。
第一卷（2011年）一、(12分)设两个独立样本X 1,…,X n , Y 1,…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，令222211111111,,(),()11n n n n i i X i Y i i i i i X X Y Y S X X S Y Y n n n n =======-=---∑∑∑∑， 及2,11()()1n X Y i i i S X X Y Y n ==---∑。
(1)当n=17时，求常数k使得12(0.95P X Y μμ->-+=(2)求概率22(1)XYS P S >。
二、(15分)设总体X 的密度函数为(;)f x θ=,1θ>(1)求参数θ的矩估计量θ；(2)求参数()g θ=的极大似然估计g；(3)试分析g的无偏性、有效性和相合性。
三、(10分)某生产商关心PC 机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V 的正态分布N(μ,σ2)，(1)问样本容量n 为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V ；(2)设X 1,…,X n 是来自总体X~N(0,θ)的样本，()1max n i i nX X ≤≤=。
统计假设：H 0：θ≥3，H 1：θ＜3的拒绝域为{}0() 2.5n K X =<，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max α。
四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设： 012112:2,:2H H μμμμ=>。
此处12,μμ分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体均值。
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21σ和22σ，X 1,…,X n 和 Y 1,…,Y n 是分别来自两个总体分布的相互独立样本。
试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。
{1,(0,1)0,(0,1)x x ∈∈五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)i i x y i n =满足，01ln i i i y x ββε=++，且12,,...,n εεε相互独立。
中国矿业大学（徐州）（2010原版试卷代理5元一份）资源与地球科学学院高等数学2003——2009地球空间信息学概论2003——2005地球信息科学概论2006——2009普通地质学2003——2009地史学2005——2008水文地质学基础2004——2009土质学与土力学2003——2009（2003年有AB卷两份）矿业工程学院燃烧学2003——2005材料力学B 2005——2009安全系统工程2003——2009数理统计2004——2006矿业运筹学2005——2009工业工程2004——2009建筑工程学院中外建筑史2004——2009建筑设计基础2004——2009城市规划实物2007——2009城市规划原理2007——2009工程力学2005——2009结构力学2003——2010传热学2007——2009工程经济学2003——2008化工学院物理化学2008——2009有机化学2004——2009无机与分析化学2008——2009化工原理2003——2008生物化学2005——2007微生物学2004——2007工程流体力学2003——2009材料科学基础2007矿物加工学（I）2007机电工程学院流体力学2003——2009机械原理2003——2009测试技术2003——2007，2009信息与电气工程学院电路1996——2010（注：1996——2003年试卷名称为“电路原理”）1998-2007有答案信号与线性系统2004——2009管理学院宏观经济学2004——2009统计学2003——2004，2006——2009运筹学2003——2009系统工程2005——2007金融学2004——2009管理学1998——2009会计学2003——2009微观经济学2005——2009管理经济学2003——2004理学院高等代数2003——2009数学分析2003——2009概率论与数理统计2003——2009量子力学2003——2009普通物理2003——2009材料力学A 2003——2009理论力学A 2003——2009文学与法政学院哲学原理2003——2009科学技术史2003——2009法理学2007——2009经济法学2007——2009政治学理论2003——2006，2008——2009（2003——2006名称叫做“政治学原理”）西方政治思想史2004——2008行政管理学2007——2009马克思主义基本原理2007——2009思想政治教育原理与方法2003——2009文艺理论2004——2009中国文学2004——2009外国语言文化学院二外德语2003——2009二外俄语2003——2009二外法语2003——2009二外日语2003——2009基础英语2003——2009专业英语（文学、英美文化）2003——2009专业英语（英语语言学）Linguistic Studies 2007——2009体育学院专业基础综合（包括运动生理学、体育社会学）2008专业基础综合（包括运动生理学、教育学）2008——2009 运动生理学2004——2007教育学2006教育学及运动训练学2004——2005安全工程学院矿井通风与安全2009安全系统工程2003——2009燃烧学2003——2005材料力学B 2005——2009数理统计2004——2006矿业运筹学2005——2009工业工程2004——2009环境与测绘学院自然地理学2007——2009环境化学2003——2009环境监测2003——2009测量学2003——2009遥感导论2003，2005——2009地理信息系统基础2005——2009变形监测与沉陷工程学2005——2008土地管理学2005——2007土地经济学2003——2009房地产经营与管理2007计算机科学与技术学院计算机专业基础2005——2007数据结构2003——2004数据库原理与微机原理2007操作系统2003——2004材料科学与工程学院材料科学基础2007——2009艺术与设计学院设计基础2005——2009设计概论2007——2009（2007年试题名称为“设计理论”）素描2004，2007——2009美术史论2006——2009（2006——2007考研试题名称为“艺术史论”）。
2013年 数理统计(研究生)试题一、(满分15分）设X 服从伽玛分布(,)αβΓ,其特征函数为()(1)X it t αϕβ-=-. (1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差；(2)设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量，其概率密度为-,0()0,0.x e x f x x λλ⎧>=⎨≤⎩，试用特征函数法证明：1n i i Y X ==∑服从(,)n λΓ分布 二、（满分16分）(1)设12,,,n X X X 是总体(0,1)X N 的一组样本，求统计量221111()()m n i i i i m Y X X m n m ==+=+-∑∑的分布. (2) 设12,,,n X X X 是总体X 的一组样本，试证下列估计量都是总体均值()E X μ=的无偏估计，并求每个估计的方差，判断哪个估计较优. 1123131ˆ5102X X X θ=++，2123115ˆ3412X X X θ=++，3123131ˆ3412X X X θ=+-. 三、（满分8分）从正态总体2~(3.4,6)X N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，样本容量应取多大？四、(满分10分）设男生的身高服从正态分布.某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm ，标准差为1σ =6.04cm ，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm ，标准差为27.10σ=cm.试检验该系喜欢参加运动的男生的平均身高是否明显比其他男生高些.（0.05α=）五、（满分15分）设12,,,n X X X 是总体~()X πλ的一个样本， λ为未知参数. (1) 求λ的极大似然估计量ˆλ； (2) 验证ˆλ是否为未知参数λ的有效估计量. 六、（满分20分）在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下：温度i x0 4 10 15 21 19 36 51 68 重量i y 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1应用线性模型122,,,,~(0,)n y a bx N εεεεεσ=++⎧⎨⎩为其子样(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0H b =；(3) 在显著性水平0.05α=下，检验原假设0:0.9H b =；(4) 在070x =时，求年销售额0y 的置信水平为95.01=-α的预测区间；(5) 要使溶解重量在70-90之间，问温度应如何控制？七、(满分16分) 有四个厂生产1.5伏的3号电池，现从每个工厂产品中各取一组样本，测量其寿命得到的数值如下：生产厂 干电池寿命（小时）1A24.7 24.3 21.6 19.3 20.3 2A30.8 19.0 18.8 29.7 3A17.9 30.4 34.9 34.1 15.9 4A23.1 33.0 23.0 26.4 18.1 25.1 问四个厂生产的干电池寿命有无显著差异？（0.05α=）.附注：计算中可能用到的数据如下：0.950.9750.9750.950.950.9750.05(1,7) 5.59,(5,8) 4.82,(8,5) 6.76(3,16) 3.24,(4,16)=3.01(7) 2.3646,(7)0.6664,(1.96)0.975(1.65)0.95F F F F F t r ======Φ=Φ=，，。
中国矿业大学2014 级硕士研究生课程考试试卷考试科目数理统计考试时间2014.11研究生姓名学号所在学院任课教师中国矿业大学研究生院培养管理处印制其中0θ>未知，今有样本，试求θ的矩估计和最大似然估计。
二、（10分）设总体2(,)X N μσ ，12,,n X X X 为X 的样本，判断样本均值是否为μ的有效估计量。
三、（10分）设总体2(,)X N μσ ，2,μσ均为未知参数，设12,,n X X X 为X 的样本，求μ的置信水平为1α-的置信区间的长度L 的平方的数学期望和方差。
四、（15分）已知某炼铁厂在生产正常情况下，铁水的含碳量的均值为7，方差为0.03。
现在测量10炉铁水，算得其平均含碳量为6.97，样本方差为0.0375，假设铁水含碳量服从正态分布，试问该厂生产是否正常？(0.05)α=。
已知220.0250.975(9)19.023,(9) 2.7,(1.96)0.975χχ==Φ=五、（15分）为了研究赌博与吸烟之间的关系，美国某地调查了1000个人，他们赌博与吸烟情况如下表试问：赌博与吸烟是否有关(0.01)α=已知20.01(1) 6.63χ=六、（15分）（12分）一批由同一种原料织成的布，用不同的印染工艺处理，然后进行缩水处理。
假设采用A 、B 、C 三种不同的工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率（单位：%）的数据如表1所示。
根据这些数据，完成下列问题： 填写下列方差分析表（表2），给出具体的计算表达式，并根据方差分析表以显著水平05.0=α来判断不同的工艺对布的缩水率的影响是否有显著差异？已知26.4)9,2(=αF 。
表1表2解： 表1表2解:完成方差分析表如上由05.0=α知26.4)9,2(=αF , F= 5.366>26.4)9,2(=αF , 可认为有显著差异.(1)画出散点图,求经验线性回归方程。
(2)求ε的方差2σ的无偏估计，并进行线性回归的显著性检验。
中国矿业大学2011 级硕士研究生课程考试答案考试科目数理统计考试时间2011.12研究生姓名学号所在学院任课教师中国矿业大学研究生院培养管理处印制一、（15分）设区域}0,10|),{(x y x y x G ≤<≤<=，随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，求(|)E X Y .解：),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧∈=othersG y x y x f ,0),(,2),(于是),(Y X 关于X 和Y 的边缘概率密度为⎩⎨⎧≤<-=⎪⎩⎪⎨⎧≤<==⎰⎰∞+∞-others y y othersy dy dx y x f y f y Y ,010),1(2 ,010,2),()(1所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<-==othersx y x y y f y x f y x f Y Y X ,00,10,11)(),()|(| 21)1(211111)|()|(21|y y y dx yxdx y x xfy Y X E yYX +=--=-===⎰⎰+∞∞-所以 1(|)2Y E X Y +=二、（15分）将一颗骰子随机抛掷120次，观察其出现的点数，结果如下：试问这颗骰子的六个面是否均匀？)05.0(=α 解 0:{}1/6,1,2,,6H P X i i ===统计量为()ki i i if np np χ=-=∑221，拒绝域为 ()k αχχ221≥-其中20.056,120,1/6,(5)11.071i k n p χ====2220.051()8.1(5)11.071ki i i if np np χχ=-==<=∑所以接受原假设 ，即可以认为这颗骰子的六个面是均匀的三、（15分）设某元件寿命X 的概率密度为2()2,()(;)0,()x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩，求θ的极大似然估计量，并判别是否为优效估计量解：2()12,()()0,()i n x i i ex L x θθθθ--=⎧≥⎪=⎨⎪<⎩∏ 1ln ()ln 222nii L n n x θθ==+-∑ ln ()20d L n d θθ=>()L θ关于θ单调增加 12ˆmin(,,,)n x x x θ∴=下判别优效：(罗克莱美下界) 2ln (,)()()f x I E θθθ∂=∂ ln (,)2,()f x x θθθ∂=≥∂,22ln (,)ln (,)()()()(,)4f x f x I E f x dx θθθθθθθ+∞∂∂===∂∂⎰，故罗克莱美下界为 11()()4R I nI nθθ==令 12m in(,,,)n Z x x x = ()1(1())nz X F z F x =--2()()2()n z z f z nez θθ--=≥ 1()2E Z nθ=+2221()2E Z nnθθ=++2221()()()4D Z E Z E Z n=-=()()R I D θθ≠ 故不是优效估计量四、（15 分）甲乙两个砖厂各生产一批机制红砖, 抽样检查测量砖的抗折强度(千克), 得到结果如下: 甲厂 1110,27.3, 6.4n x S ===乙厂 228,30.5, 3.8n y S ===已知甲乙两厂生产的砖的抗折强度分别服从221122(,),(,)N N μσμσ正态分布, 试求两厂红砖抗折强度均值差12μμ-的置信区间? )05.0(=α解答：（1）检验假设 2222012112:;:H H σσσσ=≠取统计量 2122S F S =，拒绝域为 212(1,1)F F n n α≥--或1212(1,1)F F n n α-≤--由22121210,8,40.96,14.4,n n S S ====0.0250.9750.0251(9,7) 4.82,(9,7)0.283(7,9F F F ===得 40.96 2.83714.44F ==显然 0.283<2.837<4.82,所以接受原假设，认为抗折强度的方差没有显著差异。
数理统计试题及答案[5篇范文]第一篇：数理统计试题及答案数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。
1、；2、0.01；3、；4、；5、。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A）（B）（C）（D）2、设为取自总体的样本，为样本均值，则服从自由度为的分布的统计量为（）。
（A）（B）（C）（D）3、设是来自总体的样本，存在，, 则（）。
（A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。
（A）（B）（C）（D）5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（）。
（A）不能确定（B）接受（C）拒绝（D）条件不足无法检验 1、B；2、D；3、C；4、A；5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。
解：(1)，令，得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为：，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。
四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
第一大题：单选题（每题5分，共20题，计100分），下列每题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求。
请点击鼠标选择正确答案。
第1 题：题目评价选择答案：A、分层抽样. B、重复抽样. C、整群抽样. D、不重复抽样.第2 题：题目评价选择答案：A、简单随机抽样. B、分层抽样. C、整群抽样. D、系统抽样.第3 题：题目评价选择答案：A、定类（分类）数据. B、定序数据. C、实验数据. D、定量数据.第4 题：题目评价选择答案：A、整群抽样. B、重复抽样. C、不重复抽样. D、分层抽样.第5 题：题目评价选择答案：A、全距（极差）. B、平均差（平均离差）. C、标准差. D、离散系数.第6 题：题目评价选择答案：A、等于0. B、等于1. C、大于0. D、小于0.第7 题：题目评价选择答案：A、82.B、77. C、76. D、86.第8 题：题目评价选择答案：A、右偏分布. B、对称分布.C、非对称分布. D、左偏分布.第9 题：题目评价选择答案：A、79.4和2.492. B、79.4和124.6. C、79.475和2.492. D、79.475和124.6.第10 题：题目评价选择答案：A、79.475. B、1.588. C、79.4. D、不好确定.第11 题：题目评价选择答案：A、79.475和2.492. B、79.475和124.6. C、79.4和2.492. D、79.4和124.6.第12 题：题目评价选择答案：A、0.043. B、0.045. C、79.4. D、2.25.第13 题：题目评价选择答案：A、都有可能不成立. B、原假设一定成立，备择假设不一定成立. C、只有一个成立而且必有一个成立. D、都有可能成立.第14 题：题目评价选择答案：A、0.027. B、0.037. C、0.017. D、0.047.第15 题：题目评价选择答案：A、没有证据证明原假设是错误的. B、没有证据证明原假设是正确的. C、原假设肯定是错误的. D、原假设肯定是正确的.第16 题：题目评价选择答案：A、没有足够证据证明会计大类学生平均成绩高于经济大类学生平均成绩. B、拒绝原假设，没有足够证据证明会计大类学生平均成绩高于经济大类学生平均成绩. C、抽样错误，应重新抽样. D、拒绝原假设，会计大类学生平均成绩高于经济大类学生平均成绩.第17 题：题目评价选择答案：A、总变差平方和. B、残差平方和. C、回归平方和. D、判定系数.第18 题：题目评价选择答案：A、小于0的任意数。
数 理 统 计时间：120分钟 2006-12-24一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，其中参数μ和2σ均未知，对于参数μ的置信度为1α-的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？答：则μ的置信度为1－ α的置信区间)]1([2-±n t nSX α 置信区间的长度)1(2-=n t nS L α，当样本容量给定时，减小α的值会增大)1(2-n t α的值，相应地)1(22-=n t nS L α变长。
2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：α：第一类错误 β：第二类错误（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n 对它们的影响。
答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假} 2. 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低 ， ，需要增加样本容量. 二、（12分）设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本，1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i ni i χσμμσ∑∑==-=-2．证明12X X +和12X X -相互独立；)2,2(~221σμN X X +,)2,0(~221σN X X -，（12X X +，12X X -）服从二维正态分布二者的协方差为)(00)(),(),(),(),(),2221221221112121=-=-+-=-+-=-+σσX D X D X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV （故12X X +和12X X -不相关, 而（12X X +，12X X -）服从二维正态分布不相关和独立是等价的，故12X X +和12X X -相互独立。
3．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。
)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -)1,0(~221N X X σ+,)1,0(~221N X X σ-)1(~)2(221χσX X +,)1(~)2(221χσX X -又221)2(σX X +和221)2(σX X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221F X X X X σσ++ 三、（12分）设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最小顺序统计量(1)12min(,,,)n X X X X =，1．求随机变量(1)X 的概率密度；⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而})),,,{min(}{)(21)1()1(z X X X P z X P z F n X ≤=≤= })),,,{m in(121z X X X P n >-= }),,,{121z X z X z X P n >>>-= )](1[)](1[)](1[121z F z F z F n X X X ----= n z F )](1[1--=()()z F z f XX )1()1('=()[]{}n z F dzd--=11()[]()z f z F n n 11--= 1)1(--=n z n ，)10(<<z2．设12,,,n Y Y Y 是来自总体(1)X 的一个样本，求样本方差2211()1ni i S Y Y n ==--∑的期望。
而11)1()(11)1(+=-=-⎰n dz z n z X E n ，)2)(1(2)1()(1122)1(++=-=-⎰n n dz z n z X E n ， )2()1()11()2)(1(2][][)()(222)1(2)1()1(2++=+-++=-==n n nn n n EX X E X D S E四、（12分）设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧；矩估计法:1)(-==⎰∞--θθθdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧；最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑===---=∏ni ii x n x ni eeL 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当 似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。
θ的最大似然估计量为iX min ˆ2＝θ。
3．1θ∧和2θ∧是不是θ的无偏估计量（说明原因）？θθθ=+-=+=+=+=111)(1)()1(]ˆ[1X E X E X E E ,1θ∧是θ的无偏估计量. X 的分布函数为.,,0,1)()(其它θθ≥⎩⎨⎧-=--x e x F x),,,min(ˆ212n X X X ＝θ的概率密度为()[]())(1ˆ1)(2θθ---=-=x n n ne z f z F n z f θθθθθ≠+==⎰∞--n dx xne E x n 1)ˆ()(2,2θ∧不是θ的无偏估计量。
五、（12分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X 得到两组数据，经对其作相应运算得2110.190,0.006,x s == 2220.238,0.008x s ==假设测定结果服从正态分布()()2~,1,2i i X i μσ=，1．在显著性水平0.10α=下，能否认为2212σσ=？2．求12μμ-的置信度为90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。
解 (1) 检验假设2222012112:,:H H σσσσ=≠拒绝域为 ()()2211/2121/21222221,11,1S S F F n n F F n n S S αα-=≥--=≤--或由条件知2212128,9,0.006/0.0080.75,10.90.1n n F S S α======-=查表得 ()()/2120.051,17,8 3.50F n n F α--==， ()()()1/2120.950.05111,17,88,7 3.73F n n F F α---===显然 ()()1/212/2121,10.751,1F n n F F n n αα---<=<-- 接受原假设22012:H σσ=，故可认为2212σσ=，即认为两总体方差相等，也就是两厂生产的产品的指标X 的方差无显著性差异．(2) 求12μμ-的置信区间。
由(1)知2212σσ=，但其值未知，故12μμ-的1α-置信区间为()12/2122X X t n n S α⎛-±+- ⎝计算 ()()221122212110.00712wn S n S Sn n -+-==+-查表 ()()/2120.05215 1.7531t n n t α+-== 故12μμ-的90%置信区间为()12/2122X X t n n S α⎛-±+- ⎝=()0.1900.238 1.75310.120,0.024⎛-±=- ⎝ 因为此区间包含0，故可以认为两总体均值差为0，即两个厂家生产的产品性能指标X 无显著差异. 六、（12分）我校硕士研究生《数理统计》课实行选课、考教分离制，由全校统一命题进行考试，试卷批改也是集体阅卷、流水进行，成绩出来以后要进行多项分析，现从参加该1386x =，2381x =，3377x =，4373x =；1517x =，75.85x =，11585141512==∑∑==i j ij x SS设各成绩值总体服从同方差的正态分布，试仅从学生成绩角度用方差分析法检验各个教师的教学水平是否有明显差异(0.05)α=？解：分别以4321,,,μμμμ 表示不同老师的学生成绩的均值，按题意需检验假设j i H H j i ,:,:143210至少有一对μμμμμμ≠===20,5,4===n n r i 此处，45.7863655.187865555.1845.11506411508378655201517115851241222=--==-=-==-=-=⋅⋅=⋅⋅⋅∑＝A T E i i i A T Q Q Q n x n x Q n x SS Q给定05.0=α,查出24.3)16,3(),1(05.0==--F r n r F α,;)16,3(24.300126.0005.0H F F ，则接受=<=即认为各个教师的教学水平没有明显差异。
七、（12分）为研究蒸馏水的PH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的PH 值（A ）取了四个不同的水平，对硫酸的浓度（B ）取了三个不同水平，在不同的组合水平(,)i j A B 下，各测一次白蛋白与球蛋白之比，对其结果进行运算得以下方差分析表的部分数据：1．填充方差分析表的空白数据；2．检验两个因素不同水平下的化验结果是否有明显差异(0.05)α=。
给定05.0=α,查出,26.7)6,2(,76.4)6,3(05.005.0==F F;)6,3(76.441005.0A A H F F ，则拒绝=>=认为因素A 对化验结果有显著影响, ;)6,2(26.781.25005.0B B H F F ，则拒绝=>=认为因素B 对化验结果有显著影响。
y x αβε=++，()2~0,N εσ并算得9130.3ii x ==∑，9191.11i i y ==∑，91345.09i i i x y ==∑，921115.11ii x ==∑，9211036.65ii y==∑。
1．证明β都是12,,,n Y Y Y 的线性组合； 2．线性回归方程y x αβ=+；3．对回归效果的显著性进行检验（显著性水平0.05α=）。
解：1.xx xyL L =βˆ，而∑∑==--=--=n i i i n i i i xy y y x x y y x x L 11))(())((∑=++-+++-=ni ni i ny y n y y x x 121)1()(显然xxxy L L =βˆ是12,,,n Y Y Y 的线性组合。
