高中数学必修二《空间中的垂直关系》课件

(2)若 AB =B C ,则 B D ⊥AC ,
由(1)可知,SD ⊥平面 AB C ,而 B D ⊂ 平面 AB C ,
因此 SD ⊥B D .
∵SD ⊥B D ,B D ⊥AC ,SD ∩AC =D ,∴B D ⊥平面 SAC .
T 题型二面
面垂直问题
例 2如图所示,已知△AB C 是等边三角形,E C ⊥平面 AB C ,B D ⊥
(1)求证:SD ⊥平面 AB C ;
(2)若 AB =B C ,求证:B D ⊥平面 SAC .
【证明】(1)如图所示,取 AB 中点 E ,连接 SE ,D E ,在 R t△AB C 中,D ,E 分别
为 AC ,AB 的中点,故 D E∥B C ,且 D E ⊥AB ,
∵SA=SB ,
∴△SAB 为等腰三角形.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线
在平面内的射影.
(2)斜线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角.
若直线在平面内或直线和平面平行,则说直线和平面成 0°
角;若直线和
平面垂直,则说直线和平面成 90°
角.
任一直线和平面所成角 θ
由于平面 P D C⊥平面 AB CD ,而直线 CD 是平面 P D C 与平面 AB CD 的交
线,
故 P E ⊥平面 AB CD ,由此得∠P B E 为直线 P B 与平面 AB CD 所成的角.
在△P D C 中,由于 P D =C D =2,P C =2 3,
可得∠P CD =30°
.
在 R t△P EC 中,P E =P C sin30°

例题 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，
PA⊥底面ABC．
P
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
M
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中
点，求AM与平面PBC所成角的正
A
B
切值．
C
例题 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，
PA⊥底面ABC．
P
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
M
A
B
分析：
BC⊥平面PAC
BC⊥AC
线线
判定
线面
判定
C
面面
垂直
定义
垂直
性质
垂直
BC⊥PA
PA⊥底面ABC
解析答案
（1）证明：
P M
∴ PO⊥平面ABCD．
A
OD
又 BC 平面ABCD，ON 平面ABCD，B
N
C
∴ PO⊥BC，PO⊥ON．
解析答案
∵ PO 平面PON，ON 平面PON， PO∩ON=O，ON⊥BC， PO⊥BC，
∴ BC⊥平面PON．
P M
又 PN 平面PON，
A
OD
∴ BC⊥PN．
B
N
C
故 ∠PNO是所求二面角的平面角．
M
二面角的余弦值．
A
D
分析：欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角． B
C
思路一： Rt△PAB≌Rt△PDC
PB=PC
取BC中点N 取AD中点O
∠PNO
P
M
思路二：
A
OD
侧面PAD⊥底面ABCD 取AD中点O PO⊥底面ABCD BC⊥PO 取BC中点N

C 又 平面PAD 平面ABCD AD CD 平面PAD
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]

10m
8m
10m
6m
6m
课堂小结
1．线面垂直的定义： 如果一条直线垂直于一个平面内的任 何一条直线，则此这条直线垂直于这个平面. 2、性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于 这个平面内的所有直线。 3.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 那么此直线垂直于这个平面。 4 判定定理的推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
线线垂直
线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 平面问题 空间问题
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以 及最高级智能活力美学体现。——普林 舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学 使人精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。—— 华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐 明自然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。
C F B
典型例题
例2. 有一根旗杆AB A 高8m,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子,并把它的下 端放在地面上的两点 B （和旗杆脚不在同一 C 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直，为什 么？
D
例题2
有一根旗杆AB高8米（如图），它的顶端A挂着两条长10米的 绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗 杆脚不在同一条直线上）。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 米，那么旗杆就和底面垂直，为什么？
两条直线互相垂直
你认为直线与平面垂 思考：两条直线互相垂直 直该怎样定义才恰当？ 一定会有交点吗？
B
α
B1 C1
C