机械工程基础第七章

第7章 机械动力分析及零件的动应力 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ 动力学基本方程 质心运动定理 转动定理 动能定理 达朗伯原理 动应力动力学基本方程ma = F— 动力学基本方程F—作用于质点上的合力 m—质点的质量，质点惯性大小的度量 ma x = m&& = Fx xzF M r a nτma y = m&& = Fy y质点运动 微分方程直角坐标形式ma z = m&& = Fz zO x自然坐标形式yma τ = m&& = Fτ s ma n = m & s2ρ= Fn适用范围：低速、宏观、惯性系 （一般取地球）质心运动定理质心 —质点系质量分布的中心∑ mi ri ∑ mi ri 质心位置： rC = = m ∑ mi其中： mi = m ∑xC yC zC—质点系总质量zrCC mi ri∑ m i xi = m ∑ m i yi = m ∑ m i zi = mO xy地球附近：质心与重心重合质心运动定理Fie—质点系外力 设：第i质点质量mi Fii—质点系内力 加速度aizmi riFi e Fi imi ai = Fi e + Fi i 第i质点：质点系：mi ai = Fi + Fieie i ∑ mi a i = ∑ Fi + ∑ Fi ≡0 ∑ mi ri maC = ∑ mi ai rC = m(1,2,K, n )O xFai或ymaCx = m&&C = ∑ Fxe x maCy = m&&C = ∑ Fye y maCz = m&&C = ∑ Fze ze 质心运动定理：maC = ∑ F质心运动定理质心运动守恒dv C = 0 → vC = 常矢量 dt dvCx e = 0 → vCx = 常量 ∑ Fx = 0 → aCx = dte ∑ F = 0 → aC =质位置守恒v C = 0 → rC = 常矢量 vCx = 0 → xC = 常量maCx = m&&C = ∑ Fxe xe 质心运动定理：maC = ∑ FmaCy = m&&C = ∑ Fye y maCz = m&&C = ∑ Fze z例：电动机置于光滑水平面上，定子质量为 m1，质心 例： C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，偏心距 O1O2 = e。

底座与基础之间没有螺栓固定，初始静止。

求：当转子以等角速度ω旋转时，定子 求： 质心C1在水平方向的运动规律及电动机 跳起的条件 解：取电机作为研究对象 受力分析如图所示xC1yC m1g m2gxQ ∑ Fxe = 0，且vCx = 0∴ xC = 常量− m1 xC1 + m2 xC 2 xC = m1 + m2 − m1 xC1 + m2 (e cos ωt − xC1 ) =0 = m1 + m2FyxC1 =m2 e cos ωt m1 + m2质心运动定理m1 yC1 + m2 yC 2 m1h + m2 (h + e sin ωt ) yC = = m1 + m2 m1 + m2 m2 eω 2 sin ωtm1 + m2yC xCy C&&C = aCy = − ym1gm2g由maCy = ∑ Fye − m2 eω 2sinωt = Fy − m1 g − m2 g Fy = m1 g + m 2 g − m 2 eω 2 sinωt当偏心转子质心O2运动到最上方时，ω t =π/2, 电动机跳起的条件为：xFyFyy = m1 g + m2 g − m2 eω = 0 1 2 22 2m1 g + m2 g 1 2 ω= m2 e 2转动定理转动定理 第i质点： Fi = Fi + Fie iai = ri ⋅ αFi ri miτz( ) 转动刚体：∑ mi ri 2α = ∑M (F ) + ∑M (F )= M z Fi e + M z Fi iz e i i z imi riα ⋅ ri = mi ri 2α = Fiτ ⋅ ri = M z (Fi )由：mi aiτ = Fiτ，且两端同乘以riα( )≡0aiτ令： mi ri 2 = J z ∑转动定理 Jzα = ∑Mz F e ：e ∑Mz F = 0 →α =( )( )dω = 0 → ω = 常量—刚体转动守恒 dtdω = ∑Mz Fe dt 或 转动微分方程 d 2ϕ Jz 2 = ∑ M z F e dt Jz( )( )转动定理刚体对轴的转动惯量1.的度量 简单形状物体的转动惯量计算J z = ∑ m i ri 2 —刚体对z轴的转动惯性大小i =1n(1)均质细直杆对一端的转动惯量 l ρl l 3 J z = ∫ ρ l x 2 dx = 0 3 由 m = ρ l l ，得1 2 J z = ml 3转动定理（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量J z = ∑ mi R 2 = R 2 ∑ mi = mR 2（3）均质圆板对中心轴的转动惯量mi = 2π ri dri ⋅ ρ Am 式中： ρ A = π R2JO = ∫R 0R4 (2π r ρ Adr ⋅ r ) = 2π ρ A 42或 JO =1 mR 2 22. 回转半径（惯性半径）mJ z z =ρ2zz m J ρ=或2C z z J J md=+3．平行轴定理C z dzz 式中轴为过质心且与轴平行的轴，为C z 与轴之间的距离。

即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.转动定理转动定理例：均质圆盘，重量为G ，半径为R ，用细绳悬挂如图示。

解：研究对象：圆盘求：剪断细绳瞬时，支座O 处的约束力。

CGF OyF Ox运动分析：转动剪断细绳时：00≠=αω，Ca αR a C =α2222321Rg G R g G R g G J O =+=()GRM R gG J O O =∑==F αα223Rg 32=α0==∑=Ox e xCx F F ma 0=Ox F Rg Rg G ma Cy 32−=GF Oy 31=G F F Oy ey −=∑=动能定理♣动能♣功♣动能定理♣功率及功率方程动能定理动能质点系的动能221i i v m ΣT =CC v m iiv Ci v v =平动刚体动能：221C i v m T ∑=222121C C i mv v m =⋅∑=zωr i m iiv ωi i r v =转动刚体动能：()221ωi i r m T ∑=2222121ωωz i i J r m =⋅∑=CCv m iiv i r Cr Pωi i r v =ωC C r v =平面运动刚体动能：()221ωi i r m T ∑=221ωP J =2CCPmr J J +=()2221ωC C mr J T +=222121CC mv J +=ω222121CC mv J T +=ωCv CP例：均质圆轮质量为m ，半径为R ，沿固定面纯滚动，轮心速度v C222212121C mv mR +⋅⋅=ω222432141C C C mv mv mv =+=功在一无限小位移中力所做的功称为元功力在路程上的累积效应。

δcos W F dsθ=⋅δd W =⋅F r元功d d d d x y z F F F x y z =++=++F i j k r i j kd d d x y z W F x F y F zδ=++221112δ·d M M M M W W =∫=∫F r动能定理•常见力的功（1）重力的功211212()z z W mgdz mg z z =−=−∫对于质点系1212()C C Wmg z z =−∑（2）弹性力的功0:()F k r l r=−−r弹簧力2211120()M M M M W d k r l d r=⋅=−−⋅∫∫rF r r212212010201()()()2r r W k r l dr k r l r l ⎡⎤=−−=−−−⎣⎦∫)(21222112δδ−=k W 2()()22d d r d dr r r r⋅⋅===rr r r（3）定轴转动刚体上作用力的功ϕττRd F ds F dr F dW ==⋅=z z M F M R F ==)(τϕd M dW z =∫=2112ϕϕϕd M W z动能定理•质点系内力的功2F 1F M 1M 2xyzOr 2r 112F F −=2211d d r F r F ⋅+⋅∑=A δ2111d d r F r F ⋅−⋅=)d (d 211r r F −=)d(211r r F −=12d M M F A ⋅=∑δ∑≠≠00d 12A M M δ一般质点系：∑==0d 12A M M δ：体刚—一般质点系内力作功—刚体内力作功和等于零动能定理•理想约束反力的功纯滚动的圆盘，圆盘与地面接触点上的摩擦力作功之和恒等于零.PF s F n0d d ==tPP r v Q 0d =P r 0d d n S =⋅+∑⋅=∴P P A r F r F δ约束力元功之和等于零的约束称为理想约束。

（1）光滑固定面;（2）光滑铰链或轴承约束（3）销钉和活动支座;（4）柔性而不可伸长的绳索约束动能定理•动能定理⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑=221d d mv T ∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=221d mv ∑=v mv d ∑=v tsm d d d ∑=sma d τ∑=s F d τ∑=Aδ微分形式—即：∑=A T δd ∫∑=−A T T δ12∑=12A 积分形式—即：∑=−1212A T T动能定理•动能定理例：均质圆盘，重量为G，半径为R，用细绳悬挂如图示。

求：剪断细绳后，OC运动到铅垂位置时支座O处的约束力。

CG动能定理♣动能定理解：例：均质圆盘，重量为G ，半径为R ，用细绳悬挂如图示。

求：剪断细绳后，OC 运动到铅垂位置时支座O 处的约束力。

OCGF OyF Ox n CaτCa αωGRA R g G T T =∑==−12221243ωRg 342=ω()0232=∑==F O O M R gG J αα0=αgR a n C342==ω0==ατR a C 0==∑=Ox e x Cx F F ma 0=Ox F G g g G ma n C3434=⋅=GF Oy 37=GF F Oy e y −=∑=动能定理•功率与功率方程功率—力在单位时间内所作的功()W 1s 1J d ==tAP δvF trP τ===Fv F d d 力的功率：()W 30πd d nMM t M P ===ωϕ转矩的功率：()kW 9550100030πMnn M P =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=动能定理•功率与功率方程功率方程∑=A T δd 由：无有入A A A δδδ−−=tA t A t A t T d d d d d 无有入得：δδδ−−=无有入机器功率方程：P P P t T−−=d d 无有入启动阶段：P P P t T+>>0d d 无有入稳定运转：P P P tT+==0d d 无有入刹车阶段：P P P tT+<<0d d 机器平衡方程—机械效率%100×=入有P P η%1001×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=入无P P 1<若机器有多级（假设为n 级）传动，机械效率为nηηηη⋅⋅⋅⋅=21达朗贝尔原理(达朗伯原理)达朗贝尔原理又称为“动静法”研究对象是动力学问题所用的方法是静力学方法引入惯性力用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它提供了有别于质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的动力学方程，尤其适用于非自由质点系统求解动约束力和动应力等问题。