新苏科版九年级数学上册导学案第二章 圆小结与思考

《圆中的相似三角形》教案一．教学目标：1.根据圆的性质，了解圆中找相等角的方法，能在圆中运用三种方法判断三角形相似.2.掌握圆中相似三角形四种基本模型，并能够加以应用解决相关问题.3.通过变式探究，让学生经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式，提升解决问题的能力和培养学生探索精神.二．教学重点：根据圆的性质，在圆中寻找三角形相似的条件；掌握圆中相似三角形四种基本模型.三．教学难点：在圆中寻找三角形相似的条件.四．教学过程：（一）复习回顾，激发兴趣如图1，在ΔABC中，点D是AB上的一点，连接CD，请添加一个条件，使ΔBCD∽ΔBAC. 你添加的条件是______________.图1师生行为：①教师依次请多名学生添加条件并说出添加依据，引导学生回顾三角形相似的判定方法. ②教师总结判断两个三角形相似的三种方法.设计意图：通过一道条件开放式填空题，不仅能激活学生已有经验，更便于营造出多样化的开放式课堂、激发学生思维的火花、提高学生积极参与的兴趣.（二）变式探究，拓展提升问题1：如图2，ΔABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AG⊥BC于点G，求证：2.=AB∙BGBC图2 图3变式：如图3，△ABC内接于⊙O，请利用直尺和圆规在线段BC上找一点G,连接AG.2.使得BC=BGAB∙师生行为：①教师出示问题1，学生很快由直角三角形相似得到结果. 接着教师将直角三角形改为一般三角形，要求学生先独立作出点G，然后小组交流，每一组选一位代表展示作图痕迹并说明作图依据. 下面四幅图形中，前三幅是三位学生代表在实物投影上展示的图形，第四幅是学生课后和教师分享的图形.学生1：作等弧找等角 学生2：构造圆内接四边形找等角学生3：利用垂径定理找等角 学生4：构造直径配垂直找等角②教师学法指导：此类问题可以从结论出发，将乘积式转化为比例式，推出需要证明的相似三角形，最后再根据题目条件寻找判断三角形相似的条件.变式题采用同样的方法进行转换，然后通过寻找等角构造三角形相似，引导学生思考在圆中会产生等角的情况.设计意图：（1）问题1及其变式旨在引导学生利用圆的性质从多角度、多方位寻找“等角”并归纳方法，体会转化思想：“角等”意味“弧等”意味“弦等”;（2）通过问题1及其变式，归纳出圆中相似三角形的第一种基本模型“”;（3）教师在学生熟知的“双垂图”基础上，通过改变三角形的形状引导学生探究相同的数量关系，旨在让学生体会一般与特殊的关系.交流环节能让学生大胆展示思维活动，将知识问题化，问题之间关联化，这对激发学生的学习兴趣、培养发散思维具有十分重要的意义.问题2：如图4，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 与BD 相交于点E .（1）图中有哪些相似三角形？（2）若延长BA 和CD 交于点F . 你还能找到其它相似三角形吗？（3）若BD 平分线段AC ，.2AB AC 求证：△ABE ∽△ACB .图4师生行为：①教师依次出示问题2当中的三个小题，学生独立思考并回答问题. ②教师学法指导：判断两个三角形相似可以利用圆的性质找等角，也可以根据题目中已给的线段关系通过两边对应成比例且夹角相等来证明两个三角形相似.设计意图：问题2中的（1）和（2），引导学生利用圆的性质寻找判断三角形相似的条件，并归纳出另两种圆中的相似基本模型“”﹑“”;问题2的（3），旨在考察学生在特定条件下，利用“两边对应成比例且夹角相等”判断两三角形相似.问题3：如图5，AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，,90 =∠DOC 图中有哪些相似三角形？图5 图6变式：如图6，⊙O 的直径AB = 4，AD 、BC 是⊙O 的两条切线，AD =1，BC =4， 图中有哪些相似的三角形？想一想：CD 是⊙O 的切线吗？师生行为：①对于问题3，学生提供了两种不同的方法证明了△DOC ∽△OBC.学生1：利用旋转，构造全等三角形 学生2：利用△ADO ∽△BOC 得到边的对应关系对于变式题，有一位同学利用边的关系证明了△ADO ∽△BOC ，进而得,90 =∠DOC 转换成问题3. 课下又有一位同学发现△ADO 和△ODC 三边对应成比例，可以直接证明这两个三角形相似.②教师学法指导：引导学生从不等角度寻找三角形相似的条件，可以利用旋转构造等腰三角形寻找等角，也可以在已有的两个相似三角形基础上，根据对应边成比例，巧妙地找到与它们相似的三角形.设计意图：(1)通过问题3归纳出第四种相似基本型“ ”，考察了学生判断三角形相似的能力，很多同学能容易地找到△ADO ∽△BOC ，却忽视了△DOC 也与它们相似;（2）变式题中没有了有关角度的条件，需要学生通过已给边长寻找相似的三角形，难度有所加大，同样容易出现遗漏的情况，考察了学生利用“两边对应成比例且夹角相等”﹑“三边对应成比例”判断两个三角形相似；（3）想一想环节旨在培养学生利用相似三角形的性质解决简单问题的能力.（三）巩固练习，深化认知1. 如图7，在⊙O 中，弦AB 、CE 交于点D ，点C 是弧AB 的中点.（1）若CD ·CE =16，则CB = ______.（2）若移动点E ，使BE 为⊙O 的直径，CD = 2，BC = 4，则BE = ______.图72. 如图8，P 是等边△ABC 外接圆的弧BC 上一点，CP 的延长线和AB 的延长线相交于D 点，连接BP ．求证：（1）∠D =∠CBP ；（2）;2CD CP AC ∙=图83．如图9，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC ．（1）求证：;2BD AB BC ∙=（2）若 P A = 6，PC =.的长，求BD 26图9设计意图：三道练习题由浅入深，极具代表性，旨在加深和强化学生课堂所学的内容.第一题考察学生对相似基本型“”的运用以及圆中寻找等角的方法;第二题考察学生对圆中相似基本型“”和“”的运用和圆内接四边形的性质;第三题考察学生对圆中相似基本型“”的用运用﹑圆中寻找等角的方法以及利用相似三角形性质解决问题.（四）反思总结，归理评价谈谈本节课你的收获和困惑.师生行为：请多位学生总结本堂课的收获，教师适时补充，提升高度.设计意图：本环节是师生对课堂教学中所涉及的知识、技能、方法、思想的盘点.教师要给学生一个充分展示自我的平台，让学生自己总结解题方法、分享探索经验、表达独特见解、感悟数学思想,以形成自己的知识体系,同时提高其归纳概括能力和语言表达能力.五．作业完成《圆中的相似三角形》练习卷.六．板书设计圆中找等角方法：等弧、同弧、圆内接四边形、直径配垂直圆中相似基本型：、、、基本思路：圆的性质三角形相似解决相关问题（判定）（性质）数学思想：特殊到一般、转化、数形结合问题2：问题3：七．教学反思圆与相似三角形的综合问题有一定的难度，部分学生并没有把圆和相似三角形的知识有机的结合在一起. 为此，“圆中的相似三角形”这节课较好的解决了上述问题. 本节课通过三个探究问题，由浅入深，总结了圆中寻找等角的方法,并归纳出圆中相似三角形的四种基本模型，为接下来解决圆与相似三角形的综合题做好铺垫.美中不足，倘若三个探究问题之间存在某些联系，能够串联在一起，可能会更具整体感和连贯性.。

第二章对称图形圆小结与思考学习目标：1．系统复习圆的知识，熟练利用圆的有关知识解决实际问题；2．在实际问题的解决过程中，发展逻辑思维能力．学习重、难点：系统复习圆的知识；熟练利用圆的有关知识解决实际问题．学习过程：一、回顾思考1．圆上各点到圆心的距离都等于_________．2．圆是________对称图形，任何一条__________________都是它的对称轴；圆又是_________对称图形，_____________是它的对称中心．3．垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分________________；4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别______．5．同弧或等弧所对的圆周角_______，都等于它所对的圆心角的________．6．直径所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________．7．点与圆的位置关系共有三种：①_________，②_________，③__________；对应的点到圆心的距离d 和半径r之间的数量关系分别为：①d_______r，②d______r，③d______r．8．直线与圆的位置关系共有三种：①________，②________，③_________．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d_______r，②d______r，③d______r．9．切线的判定：经过_______的外端，并且_____这条________的直线是圆的切线；切线的性质：圆的切线_________于经过切点的半径．10．切线长定理：从圆外一点可以向圆引_____条切线，且切线长_______．11．三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫_______，是三角形三条边的____________的交点．12．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，其圆心是三角形三条____________的交点，叫做三角形的______，其到三角形三条边的距离________．13．弧长公式：l＝__________；扇形面积公式：S＝__________或S＝__________；圆锥侧面积计算公式S＝_____________．二、精讲点拨活动1：如图，⊙O是△ABC外接圆，AD⊥BC于D，交⊙O于N，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OAD．活动2：如图，△ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点． 求证：DE 是⊙O 的切线．A ．2.5或6.5B ．2.5C ．6.5D ．5或132．已知AB 、CD 是⊙O 两条直径，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10，最短弦为8，那么OM 为（ ）A ．3B ．6C ．41D ．9 4．如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆点的一点，若x 、y 都为整数，则这样的点有（ ）个A ．4B ．8C ．12D ．165．⊙O 的半径为6，，弦长为一元二次方程0652=--x x 的两根，则弦心距及弦所对的圆心角的度数分别是（ ）A ．3和30°B ．3和60°C ．33和30°D ．33和60°6．正三角形的边长是6 cm,则内切圆与外接圆组成的环形面积是____________cm 2． 7．已知扇形的圆心角是120°,扇形弧长是20π,则扇形面积＝____________． 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．三、当堂检测1．一个点与定圆的最近距离为4，最远点为9，则圆的半径为（）四、课后反馈A组题：1．弦AB分圆为1：5两部分，则弦所对的圆周角为___________．2．在半径为5 cm的圆中，有一点P满足OP＝3 cm，则过点P的最长弦为_________cm，最短弦为_______cm．3．在⊙O中，弦AB＝24 cm，弦CD＝10 cm，若圆心O到AB的距离为5 cm，则点O到弦CD的距离为__________cm．4．如图，AB为⊙O的直径，则∠1+∠2＝_______°．5．一条弦分圆的直径为2的6两部分，若此弦与直径的夹角为45°，则该弦长为_______．6．如图，PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA＝8 cm，则△PDE的周长为________．7．如图，半径为3的⊙O切AC于B，AB＝3，BC＝3，则∠AOC＝_______°．8．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D为优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，则∠BDC＝_______°．第4题第6题第7题第8题9．巳知圆柱母线长是5 cm，侧面展开图的面积为20πcm2，则该圆底面半径为________cm．10．底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥侧面展开图面积为________cm2．11．巳知圆锥的底面直径为80 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角是_____°．B组题：12．圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．C组题：13．如图：BD是⊙O的直径，E为⊙O上一点，直线AE交BD的延长线于A，BC⊥AE于点C，且∠CBE＝∠DBE．（1）求证：AC是⊙O的切线；4，求DE的长．（2）若⊙O的半径为2，AE＝2。

课题第2章小结与思考自主空间学习目标利用圆的对称性了解圆心角、弧、弦之间的关系，了解同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，理解点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，理解圆的切线的性质和判定，会用弧长、扇形面积公式解决问题。

学习重难点综合运用上述知识解决具体问题教学流程预习导航1.圆O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，PA是圆O的切线，A为切点，则PA= 。

2.圆O的半径为10，弦AB的长为310，若以O为圆心，R为半径的圆与弦AB有两个交点，则R的取值范围是3.已知线段O1O2=4，圆O1的半径R1=1。

4，圆O1与圆O2相切，则圆O2的半径R2=4.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45 B．60 C．75 D．905.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有( )A．2个 B．3个 C．4个D．5 个OPDCBABEDACO当堂达标一、选择1．如图，BD为⊙O的直径，∠A=30°，则∠CBD的度数为（）A．30° B．60° C．80° D．120°2．如图6，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD 等于（） A．100° B．110° C．120° D．130°3．（重庆市）如图3，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（） A．80° B．50° C．40° D．20°4、若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是（） A.8 B.10 C.5或4 D.10或8OACB当堂 达标二、填空1． 若圆锥的母线长为6cm ，侧面展开图是圆心角为300°的扇形，则圆锥底面半径___cm 。

ACO D BE新苏科版九年级数学上册2小结与思考（1）学案一、与圆有关的概念 【知识扫描】1、圆的定义 （1）描述性定义（2）集合定义2、圆的基本元素圆是由 和 来决定的，圆心决定圆的_______,半径决定圆的________．3、弦、弧、等圆与等弧注：常见辅助线：作半径，利用同圆的半径相等。

【经典例题】例1、过圆内一点可以作出圆的最长弦 （ ）． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．1条或无数条 例2、下列说法中,不正确的是 ( )． A ．直径是圆中最长的弦 B ．半圆是弧，弧不一定是半圆 C ．圆上的点到圆心的距离都相等 D ．优弧一定比劣弧长例3、AC 、BD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，四边形ABCD 是_____________,若⊙O 的半径为2cm ，四边形ABCD 的面积为_________________ 例4、如图，点A 是⊙O 的直径CB 延长线上一点， 且AD=OB ，AE 交⊙O 于D 、E 两点， 且∠COE=72°，则∠A=___________ 二、与圆有关的角 【知识扫描】ODC BAODCBA1、圆心角： 的角叫做圆心角．2、圆周角：顶点在圆上且两边 的角叫做圆周角．3、弧、圆心角、圆周角之间关系：（1）同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于_______________________ （2）直径（或半圆）所对的圆周角是____ ___,900的圆周角所对的弦是__________． 注：常见辅助线：② 造同弧或等弧所对的圆周角；②构造直径所对的圆周角——直角。

（有“直径”用“直角”） 【经典例题】例１、如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是直径，则∠ADB ＝ ， ∠CBD ＝ ．例2、如图，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD ＝60°，那么∠AOC ＝例3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°例4、如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠= （ ） A ．70° B ．60°C ．50°D ．40°例1 例2 例3 例4例5、AB 是直径为2的⊙O 弦，AB=2,则弦AB 所对的圆周角为____________° 例6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°.在图中画出弦AD,使AD=1，说明画图的方法及理由，并求∠CAD 的度数.三、圆的对称性 【知识扫描】1、圆是轴对称图形，它的对称轴是 ，共有 条； 圆是中心对称图形，它的对称中心 ．2、【三量关系】在 或___ ___中,如果__ _________、__________、_________中有一组量相等,那么__________________________________________. 3、【垂径定理】垂直于弦的直径_________________，并且_______________ ___. 注：常见辅助线：作弦心距，构造“铁三角”，利用利用垂径定理进行计算或推理； 【经典例题】例1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ， 则下列说法错误．．的是 ( ) COABFED CBAOA ．AD=BDB ．∠ACB=∠AOEC ．AE=BED ．OD=DE例2、如图,AD 、BE 、CF 是⊙O 的直径,且∠AOF=∠BOC=∠DOE.弦AB 、CD 、EF 的大小关系是_________________________例3、如图，在平面直角坐标系中，A ⊙与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A ⊙于M 、N 两点，若点M 的坐标是(42)--，，则点N 的坐标为 （ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(152)--．，D ．(1.52)-，例4、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22BD 3则AB 的长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结PA 、PB ，求证：PA=PB.ODCBA。

淮安市淮海中学九年级数学29主备人：张建华审核：准印：惜时勤奋善思有恒《第2章小结与思考》第1课时导学案日期：______ 班级_____ 姓名：_________ 组别：______ 评价：_________【学习目标】1.回顾、思考本章所学的知识及所体现的数学思想方法，梳理知识，使所学知识系统化.2.进一步丰富对“对称图形---圆”的认识，能有条理地、清晰地阐明自己的观点.3.进一步培养归纳、反思的意识.【学习重点】与圆有关的知识的梳理.【自主学习】请同学们仔细阅读课本P89-90页内容，认真完成下面的预习作业，相信你一定行的！一、点与圆的位置关系：二、过三点的圆及三角形的外接圆1.过一点的圆有________个.2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在_______________上.3.过三点的圆有______________个.4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）.5.锐角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形____，钝角三角形的外心在三角形____.三、垂径定理（涉及半径、弦、弦心距、平行弦等）四、圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角1.切线的判定一般有三种方法：①定义法：和圆有唯一的一个公共点；② d、r比较法： d=r③判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

2.性质：过切点的半径圆的切线.七、三角形的内切圆1. Rt△ABC三边的长为a、b、c，则内切圆的半径是r=______________2.外心到三角形的 的距离相等，是_______________________的交点； 内心到三角形的________________的距离相等, 是_______________________的交点；八、弧长及扇形的面积1、弧长公式 ；2、扇形面积公式 .九、圆锥的侧面积:圆锥侧面积计算公式 .【目标检测】1、已知OC 是半径,AB 是弦,AB ⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=______.2、在⊙O 中,弦AB,CD 互相垂直于E,AE=2,EB=6,ED=3,EC=4,则⊙O 的直径是______.3、在⊙O 中,半径长为5cm,AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB,CD 之间的距离是______cm.4、圆的半径是6cm,弦AB=6cm,则劣弧AB 的中点到弦AB 的中点的距离是______cm.5、圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠B:∠C=2:3:6,则四边形的最大角是______度.6、如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ．∠DAB=∠B=30°．（1）直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？（2）连接CD ，若CD=5，求AB 的长．7、如图，在△ABC 中，AC=BC ，AB 是⊙C 的切线，切点为D ，直线AC 交⊙C 于点E 、F ，且CF=AC ．（1）求∠ACB 的度数；（2）若AC=8，求△ABF 的面积．8、如图，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（2，0），∠COA ＝600，将菱形OABC 绕坐标原点O 逆时针旋转1200得到菱形ODEF ． （1）、直接写出点F 的坐标；（2）、求线段OB 的长及图中阴影部分的面积．【课堂小结】。

第二章 圆小结与思考（2）班级 姓名一．自主研读初步学 （一）方法指导知识点1：（1）正多边形各边相等、各角相等；（2）当正多边形的边数是n 时，（3）正多边形形的中心是它的外接圆的圆心.1．正多边形都是_______对称图形，一个正27边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是___________图形，又是___________图形． 2．正十二边形的每一个外角为_______，每一个内角是_______，该图形绕其中心至少旋转_______才能和本身重合．3.已知正六边形的边长为2cm ，则此正六边形的外接圆半径为______ cm ，内切圆半径是 ______ cm ．知识点2：弧长及扇形的面积公式：180R n l π=弧； R l R n S ⋅==弧扇形213602π3.已知扇形的圆心角为60°，半径为3cm ，则扇形的弧长是__________cm ，扇形的面积是_________cm 2．4. 已知扇形的半径为2cm ，面积是24cm 3π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °.5. 已知一个扇形的半径长为8cm ，弧长为 cm ，则扇形的圆心角为 . 知识点3：圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面积S 侧 =rl π； 圆锥的全面积2r rl S S S ππ+=+=母底侧全6. 已知圆锥的母线长为6，侧面积是15π，则这个圆锥的底面圆半径r= ______ ．7. 已知圆锥的底面圆半径长为4cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的全面积是 . 知识点4：圆锥的侧面展开图（扇形）与圆锥的关系圆锥的母线长=其侧面展开图扇形的半径；底面周长=侧面展开图扇形的弧长；S 侧 = S 扇形8. 某圆锥的底面半径为2，母线长为8，则此圆锥侧面积为 ，圆锥展开侧面扇形的圆心角为 °9. 如图，要制作一个母线长为10cm ，高为8cm 的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 .π316⎩⎨⎧.边形具有轴对称性为奇数时，正心对称性；边形具有轴对称性、中为偶数时，正n n n n第9题第10题10.如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为_________ cm2．（二）自主检测1.弦长等于半径的圆弧所对的圆心角为 .2.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6 cm，则扇形AOB的面积为 .3.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是 .4.如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为.第4题第5题第7题第8题5．如图，从一个直径为43dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为dm．6. 如右图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧．（1）圆弧所在圆的圆心P的坐标为______（2）圆弧所在圆的半径为______（3）扇形PAC的面积为______（4）把扇形PAC围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径为______ ．7.如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第______ 秒．8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为_________．.9．如右图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．10．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．①则这个正六边形的边长为_______，边心距为_______．②设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形（Q ） 是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB 划过的面积．二、合作探究深化学 （一）检查建构1.交流自主学习中的收获，解决存在的疑惑.2. 如果一个扇形的半径是1，弧长是 π3，那么此扇形的圆心角的大小为 ，此扇形的面积为 .3. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为3的“等边扇形”的面积为 ．4.半径为4的圆内接正八边形的一边所对的圆心角为 ，该八边形面积为 .（二）深度探究问题1 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________． （提示：要求动点运动的长度，首先判断这个动点运动的轨迹是怎样的图形——线段、圆弧、折线，并画出草图，然后运用相关公式进行计算）问题2 观察思考:某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米． 解决问题（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．（2）如图3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？HlO图3P图1连杆滑块滑道HlOPQ图2（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l 距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，则这个扇形面积最大时圆心角的度数为 .三、检测总结巩固学1．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．第1题第2题第3题第4题2.如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角∠APE等于（）A．15°B．25°C．30°D．45°．3. 如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了______圈．4.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为．5. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C（）；D（）；⊙D的半径=（结果保留根号）；②若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为.（结果保留π）第5题第6题第7题6.当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接（不能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，则雨刷AB扫过的面积是_________．7．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．18.圆小结与思考（2）当堂检测1.半径为6cm，弧长为9π的扇形的面积为，圆心角为．2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积为．3.圆锥的底面半径为3cm，高长为4cm，则它的侧面积为，全面积为．4.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是 .第4题第5题5．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3 cm，BC＝4cm．将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋转至A1B1C1D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF＝30°，则点B的运动路径长为cm．（结果保留π）6 . 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．若图中阴影部分的面积是34πcm2，OA=2cm，求OC的长．。

新苏科版九年级数学上册：小结与思考（1）导学案学习目标：掌握圆的基本性质，与圆有关的位置关系，有关圆的计算.学习重点：垂经定理，有关圆的计算.学习难点：圆的对称性，与有关圆的计算.学习过程：复习引入1．圆的概念．2．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则（1）点A在⊙O上⇔；（2）点A在⊙O内⇔；（3）点A在⊙O外⇔．3．圆的旋转不变性与对称性（垂径定理）4．圆周角定理及其推论5．圆的确定条件【新知探究】师生互动、揭示通法问题1 如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交⋂AB于C，交弦AB于D.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.CBA D问题2. 如图所示，⊙O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．问题3. 如图，⊙O 中，直径MN=10 ，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM = 45°，求AB 长．拓展提升. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠D=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB 的长．【回扣目标】学有所成、悟出方法通过本节课的复习，你对本章内容又有哪些新的认识，谈谈你的体会.当堂反馈1、已知：△ABC （如图）,（1）求作：作△ABC 的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．（2） 在题（1）已经作好的图中，若∠B AC=88°，求∠B IC 的度数.2、如图，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD 、CB 的延长线相交于P ，则∠P＝ °．3. 如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧AB 上不同于点B 的任意一点，则∠BPC= 度．B A C。

对称图形—圆课题: 小结与思考学习目标：1．理解、掌握圆的有关性质、直线和圆的位置关系、正多边形和圆的关系.2．探索、总结、归纳与圆有关的各种问题，进行知识梳理，构建圆的知识体系.3．渗透数形结合和分类的数学思想，并逐步学会用数学的眼光认识世界、解决问题，学会有条理的表达、推理.学习重点：与圆有关的知识的梳理.学习难点：会用圆的有关知识解决问题.学习过程：一．【复习指导】1. 圆上各点到圆心的距离都等____ _______ .2. 圆是_ _______对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的_____ ___；圆又是___ ____对称图形，____ ___ 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分____ ___，并且平分______________ ；平分弦（不是直径）的_______垂直于弦，并且平______________.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量____ ___ ，那么它们所对应的其余各组量都分别___ ____ .5. 同弧或等弧所对的圆周角____都等于它所对的圆心角的__ .6. 直径所对的圆周角是____ __，90°所对的弦是____ ___ .二.【问题探究】问题1：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．（1）求证：∠ADB＝∠E；（2）当AB＝5，BC＝6，求⊙O的半径．问题2：如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。

问题3：如图，半圆O 的直径20AB =，将半圆O 绕点B 顺针旋转45°得到半圆O '，与AB 交于点P .(1)求AP 的长；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).三.【拓展提升】问题4：)如图①，AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，P是⊙O 上半部分的一个动点，连接,OP CP .(1)求OPC ∆的最大面积； (2)求OCP ∠的最大度数；(3)如图②，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP DB =时，求证：CP 是⊙O 的切线.四.【课堂小结】 本节课你有哪些收获？课题：§小结与思考 班级_________ 姓名_______________中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞12B．k≥12C．k＞12且k≠1D．k≥12且k≠1【答案】C【解析】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞12且k≠1．故选C【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3a b2 ．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴xb12a3=-=-，∴2b a3=-＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴b12a3=-=-，则3a b2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥CD∥EF∴△ABE∽△DCE，∴，故选项B正确，∵EF∥AB，∴，∴，故选项C，D正确，故选：A．【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，5．某圆锥的主视图是一个边长为3cm的等边三角形，那么这个圆锥的侧面积是（）A．4.5πcm2B．3cm2C．4πcm2D．3πcm2【答案】A【解析】根据已知得出圆锥的底面半径及母线长，那么利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求出即可．【详解】∵圆锥的轴截面是一个边长为3cm的等边三角形，∴底面半径＝1.5cm，底面周长＝3πcm，∴圆锥的侧面积＝×3π×3＝4.5πcm2，故选A．【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，关键是利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2得出．6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】C【解析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：12x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.7．不等式组325521xx+>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，∴数轴表示的正确方法为C．故选C．【点睛】考核知识点：解不等式组.8．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D【解析】由于中奖概率为13，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.故选D．【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：()P A0=①，为不可能事件；()P A1=②为必然事件；()0P A1③<<为随机事件．9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．A．60 °B．75°C．85°D．90°【答案】C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°． 如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°， 即∠BAC 的度数为85°．故选C ． 考点: 旋转的性质.10．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙23488关于以上数据，说法正确的是（ ） A ．甲、乙的众数相同 B ．甲、乙的中位数相同 C ．甲的平均数小于乙的平均数 D ．甲的方差小于乙的方差【答案】D【解析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7，26778==65x ++++甲，()()()()()2222221S =26666767865⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4，乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4，23488==55x 乙++++，()()()()()2222221S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4，所以只有D 选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数ky x=的图象经过点B ，则k 的值是_____．3【解析】已知△ABO 是等边三角形，通过作高BC ，利用等边三角形的性质可以求出OB 和OC 的长度；由于Rt △OBC 中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC 的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式ky x=中，即可求出k 的值.【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ， ∵点A 的坐标是（2，0）， ∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，BC=3， ∴点B 的坐标是()1,3,把()1,3代入k y x=，得3k =． 故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标； 12．如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为_______．【答案】20 cm ．【解析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离．根据勾股定理，得2222A B A D BD 121620''++（cm ）．故答案为：20cm.【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．13．若m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则m2n+mn2﹣mn=_________．【答案】1【解析】根据根与系数的关系得到m+n=﹣2018，mn=﹣1，把m2n+mm2﹣mn分解因式得到mn（m+n﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则原式=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣1）=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根分别为与，则解题时要注意这两个关系的合理应用．14．因式分解：4x2y﹣9y3＝_____．【答案】y（2x+3y）（2x-3y）【解析】直接提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】4x2y﹣9y3=y(4x2-9y2=x(2x+3y)(2x-3y).【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．15．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____．【答案】十二【解析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线3(0)y xx=>与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．33【解析】根据题意得出C 点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A 、C 的坐标代入求得a 的值，即可求得a 的取值范围．【详解】解:反比例函数经过点A 和点C ．当反比例函数经过点A 时，即2a =3，解得：a=±3（负根舍去）； 当反比例函数经过点C 时，即2(1)a =3，解得：a=1±3（负根舍去），则3－1≤a≤3．故答案为:3－1≤a≤3． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．17．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．【答案】－3＜x ＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y ＞0时，x 的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．18．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有_____个. 【答案】1.【解析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=1，故白球的个数为1个．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简，再求值：2211()111xx x x-÷+--，其中12x=-.【答案】2x -，4.【解析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．【详解】原式=()2221112=-1x x xxx x--+-⨯-.当12x=-时，原式=4.【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.20．如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°．求证：△ACB ≌△BDA ；若∠ABC ＝36°，求∠CAO 度数．【答案】（1）证明见解析（2）18°【解析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD 即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ABC 和△BAD 都是Rt △，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AD BC AB BA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；（2）∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC ＝∠BAD ＝36°，∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＝54°，∴∠CAO ＝∠CAB ﹣∠BAD ＝18°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”．21．为给邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图所示，已知斜坡AB 长2(即BAC ∠)为45︒，BC AC ⊥，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE (下面两个小题结果都保留根号).若修建的斜坡BE 31，求休闲平台DE 的长是多少米？一座建筑物GH 距离A 点33米远(即33AG =米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即HDM ∠)为30.点B 、C 、A 、G ，H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG CG ⊥，问建筑物GH 高为多少米？【答案】（1）(30103)-m （2）(30213)+米【解析】分析：（1）由三角函数的定义，即可求得AM 与AF 的长，又由坡度的定义，即可求得NF 的长，继而求得平台MN 的长；（2）在RT △BMK 中，求得BK=MK=50米，从而求得 EM=84米；在RT △HEM 中， 求得283HE =继而求得28350HG =米．详解：（1）∵MF ∥BC ，∴∠AMF=∠ABC=45°，∵斜坡AB 长1002M 是AB 的中点，∴AM=502（米），∴AF=MF=AM•cos ∠AMF=2502502=（米）， 在RT ANF 中，∵斜坡AN 31，∴3AF NF =， ∴5033NF ==， ∴503150503-（2）在RT△BMK中，BM=502，∴BK=MK=50（米），EM=BG+BK=34+50=84（米）在RT△HEM中，∠HME=30°，∴3tan30HEEM=︒=，∴384283 HE=⨯=，∴28350HG HE EG HE MK=+=+=+（米）答：休闲平台DE的长是150503-米；建筑物GH高为()28350+米.点睛：本题考查了坡度坡角的问题以及俯角仰角的问题．解题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题；掌握数形结合思想与方程思想在题中的运用.22．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）MC=154.【解析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CM ，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM ⊥AB ，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM ，∴MD=MC ；（2）由题意可知AB=5×2=10，5∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴()221045-5∵∠AOD=∠ACB ，∠A=∠A ，∴△AOD ∽△ACB ，∴OD AOBC AC =2545=可得：OD=2.5，设MC=MD=x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x 2+52，解得：x=154， 即MC=154． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.23．解方程组4311,213.x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 【答案】53x y =⎧⎨=⎩【解析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解：②3⨯得：6339x y += ③①+③得：1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.24．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：()1这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；()2将条形统计图补充完整；()3该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名.【答案】（1）100，108°；（2）答案见解析；（3）600人.【解析】（1）先利用QQ计算出宗人数，再用百分比计算度数；（2）按照扇形图补充条形图；（3）利用微信沟通所占百分比计算总人数.【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，∴此次共抽查了：20÷20%=100人.喜欢用QQ沟通所占比例为：303 10010=，∴QQ的扇形圆心角的度数为：360°×310=108°. （2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40补充图形，如图所示：（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%=40%.∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．⑴用含t的代数式表示：AP=，AQ=．⑵当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？【答案】（1）AP=2t，AQ=16﹣3t；（2）运动时间为167秒或1秒．【解析】（1）根据路程=速度⨯时间，即可表示出AP，AQ的长度.（2）此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）AP=2t，AQ=16﹣3t．（2）∵∠PAQ=∠BAC，∴当AP AQAB AC=时，△APQ∽△ABC，即2163816t t-=，解得167t=；当AP AQAC AB=时，△APQ∽△ACB，即2163168t t-=，解得t=1．∴运动时间为167秒或1秒．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解.26．为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：表中a=，b=，样本成绩的中位数落在范围内；请把频数分布直方图补充完整；该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？【答案】（1）8，20，2.0≤x ＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有200人．【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a 、b 的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；（2）根据b 的值可以将频数分布直方图补充完整；（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生比例即可得.【详解】（1）由统计图可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，样本成绩的中位数落在：2.0≤x ＜2.4范围内， 故答案为：8，20，2.0≤x ＜2.4； （2）由（1）知，b=20， 补全的频数分布直方图如图所示；（3）1000×1050=200（人）， 答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有200人．【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．故选B.2．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。