下载文档原格式
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t t t t t t t u u t u u tu}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。
为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。
本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。
一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。
newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。
newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。
通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。
因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。
二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。
建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。
一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t t t t t t t u u t u u tu}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
第七章多自由度体系的动力响应分析在第七章中，我们将学习多自由度体系的动力响应分析。
多自由度体系是指由多个部件或质点相互作用而构成的体系，在动力学中具有广泛应用。
其动力学行为比单自由度体系更为复杂，需要采用不同的方法进行分析。
多自由度体系的动力响应分析可分为两个主要步骤：建立动力学模型和求解动力学方程。
首先，我们需要根据实际问题建立多自由度体系的动力学模型。
常见的模型包括单自由度体系的推广、多质点系统和连续体模型等。
根据问题的特点选择合适的模型是十分重要的。
其次，我们需要求解多自由度体系的动力学方程。
一般来说，动力学方程可以通过运动方程和力学关系两个方面来建立。
运动方程描述了系统的几何特征，力学关系则描述了系统受到的力和约束。
通常，我们采用拉格朗日方程或哈密顿方程来建立动力学方程，并通过使用牛顿—克尔系统简化计算过程。
在求解动力学方程之后，我们可以通过模拟和分析来获得多自由度体系的动力响应。
常见的动力响应包括自由振动、强迫振动和阻尼振动等。
自由振动是指系统在无外力作用下的自我周期性振动。
强迫振动是指系统受到外界力作用而产生的振动。
阻尼振动是指系统在存在耗散力的情况下的振动。
在分析多自由度体系的动力响应时，我们还需要考虑共振现象和模态分析。
共振是指外界激励频率与系统固有频率相等时产生的特殊现象。
通过研究系统的固有频率和激励频率之间的关系，我们可以预测系统是否会发生共振，并作出相应的调整。
模态分析则是通过分解系统的振动模态，研究每个模态的特性和相互之间的耦合关系。
通过模态分析，我们可以更好地理解多自由度体系的动力响应。
在实际应用中，多自由度体系的动力响应分析经常涉及到复杂的计算和仿真。
因此，我们可以借助于计算机辅助工具，例如有限元分析和动力学仿真软件，来进行更精确和高效的分析。
总之，多自由度体系的动力响应分析是动力学中的一个重要课题。
它不仅具有理论研究的价值，还具有广泛的工程应用。
通过深入理解和掌握多自由度体系的动力响应分析方法，我们可以更好地分析和设计复杂的工程系统，推动科学技术的进步。
§2 多自由度机械系统的动力学分析i i i i F q Uq E q E te d d =∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ),,2,1(N i =一、拉格朗日方程机械系统的动力学方程－外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式：动能势能自由度广义坐标广义力广义速度☐以能量观点来研究机械系统的真实运动规律；☐解决具有理想约束的机械系统动力学问题的普遍方程；☐求解步骤规范、统一（确定广义坐标，列出动能、势能和广义力的表达式，代入上式即可）；☐方程中不含未知的约束反力，克服了牛顿第二运动定律的缺点。
i i i i F q U q E q E te d d =∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ),,2,1(N i =二、二自由度机械系统的动力学分析11ϕ=q 42ϕ=q⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2e 221e 11d d d d F q E qE tF q E q E t 若不计运动构件的重量与弹性，则势能 U 不必计算。
1. 系统动能的确定∑=+=nj j S S j j j J v m E 122)(21ω⎪⎭⎪⎬⎫===),(),(),(212121q q y y q q x x q q j jj j S S S S j j ϕϕ),,2,1(n j =⎪⎭⎪⎬⎫+=∂∂+∂∂=222211j j jS S S jjj y xv qq q q ϕϕω多自由度机械系统的动力学分析系统动能的求解步骤：☐位移分析☐速度分析☐系统动能2222211221112121q J q q J q J E ++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑∑∑===n j j j S S S S S j n j j S S S j nj j S S Sj q q J q y q y q x q x m J q J q y q x m J q J qy q x m J j j j j jj j jj jj121212112122222222121212111ϕϕϕϕ多自由度机械系统的动力学分析☐等效转动惯量2. 广义力的确定∑∑==∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=m k i kk lj i j jy i j jx iq M q y F q x F F 11e ϕ)2,1(=i 22e 11e δδδq F q F W +=22e 11e q F qF P +=多自由度机械系统的动力学分析3. 动力学方程2111111112211212212222121212111212221122222212221212121212e e J J J q J q q q q q q J J q F q q J J J q J q q q q J J q q q F q q ∂∂⎫+++⎪∂∂⎪⎪⎛⎫∂∂+-=⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎬⎛⎫∂∂⎪++- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂++=⎪∂∂⎭求解二阶非线性方程组，获得广义坐标q 1 与 q 2 ，进而获得二自由度机械系统的真实运动规律。
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应姓名:学号: 班级: 专业:用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法就是一种逐步积分的方法,避免了任何叠加的应用,能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定:t u u u u t t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+=&&&&&&(1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++=&&&&& (1-2)式中,β与γ就是按积分的精度与稳定性要求进行调整的参数。
当β=0、5,γ=0、25时,为常平均加速度法,即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变,取为常数)}{}({21t t t u u ∆++&&&&。
研究表明,当β≥0、5, γ≥0、25(0、5+β)2时,Newmark-β法就是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)与式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{,t u}{&,t u }{&&表示的t t u ∆+}{&,t t u ∆+}{&&表达式,即有t t t t t t t u u t u u tu }){121(}{1)}{}({1}{2&&&&&----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3)t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}){1()}{}({}{&&&&∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4)考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为:t t t t t t t t R u K u C u M ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[&&& (1-5)将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145),得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M t K K ∆γβ∆γ++=)}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t u u t C u u t u tM R R &&&&&&∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{,然后由式(2-143)与式(2-144)可解出t t u∆+}{&与t t u ∆+}{&&。
多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。
多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。
多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。
根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。
为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。
试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。
模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。
通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。
自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。
通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。
自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。
强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。
外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。
通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。
强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。
阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。
阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。
线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。
根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。
求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。
多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。
多自由度机械系统的运动分析与控制在现代工程领域中，多自由度机械系统的应用日益广泛，从复杂的工业机器人到精密的航空航天设备，从汽车的悬挂系统到医疗设备的运动机构，都离不开对多自由度机械系统的深入研究。
对这类系统的运动分析与控制是实现其高效、精确和可靠运行的关键。
多自由度机械系统，简单来说，就是由多个能够相对运动的部件组成，每个部件的运动都会相互影响，从而形成一个复杂的整体运动。
要理解和掌握这样的系统，首先需要对其运动学和动力学特性进行分析。
运动学分析主要关注系统中各个部件的位置、速度和加速度之间的关系，而不考虑引起这些运动的力。
在多自由度机械系统中，这往往涉及到复杂的数学模型和计算。
以一个简单的机械臂为例，它可能由多个关节和连杆组成。
要确定机械臂末端执行器在空间中的位置和姿态，就需要通过一系列的坐标变换和矩阵运算来求解。
这不仅需要扎实的数学基础，还需要对机械系统的结构有清晰的认识。
动力学分析则更进一步，它考虑了作用在系统上的力和力矩以及由此产生的运动。
这对于设计控制系统、预测系统的性能以及优化系统的结构都至关重要。
例如，在设计一个用于搬运重物的机械手臂时，必须了解手臂在承受不同重量和运动状态下所受到的各种力和力矩，以确保其结构强度和稳定性，同时也为控制算法的设计提供基础。
在对多自由度机械系统进行运动分析之后，接下来就是控制的问题。
控制的目标是使系统按照预定的轨迹和性能要求运动。
常见的控制方法包括经典控制、现代控制和智能控制等。
经典控制方法，如 PID 控制，以其简单易懂和实用性在工业中得到了广泛的应用。
PID 控制器通过对误差（实际输出与期望输出之间的差异）的比例、积分和微分运算来调整控制输入，从而使系统的输出接近期望的值。
然而，对于多自由度机械系统这样的复杂对象，经典控制方法往往难以达到理想的控制效果，特别是当系统存在非线性、时变和不确定性等因素时。
现代控制理论，如状态空间法和最优控制，为多自由度机械系统的控制提供了更强大的工具。
