反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)

反比例函数知识点归纳(重点)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-反比例函数知识点归纳和典型例题、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B． C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B． C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个 B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图。

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用 在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题． 2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系． 3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型 1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等. 2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导 这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合 1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围． 解析：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即 ∴ ∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。

-.反比例函数讲义第1节 反比例函数1、 反比例函数的定义以下函数中是反比例关系的有___________________〔填序号〕。

①3x y -=②131+=x y ③x y 2-=④2211x y -=⑤xy 23-=⑥21=xy ⑦28xy =⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k2、 反比例函数定义的应用〔重点〕由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

（1） 求I 与R 的函数关系式；（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

本节作业：1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2m ，那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=。

函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。

2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m 的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y 与x 。

〔1〕你能写出y 与x 之间的函数表达式吗？变量y 与x 之间是什么函数？〔2〕假设想使模具的长比宽多1.6m ，每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？3、假设函数满足023=+xy，那么y 与x 的函数关系式为______________，你认为y 是x 的______________函数。

4、y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。

-.5、y 是x 的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数？6、函数xky =的图象经过点A 〔1，—2〕，那么k 的值为〔 〕。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

中考数学反比例函数的综合热点考点难点附答案一、反比例函数1．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.2．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）求点P2和点P3的坐标；（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（﹣1，1），∴P1（1，1）．则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，又点P1的坐标为（1，1），∴OA1=2，设点P2的坐标为（a，a+2），代入y=得a=-1，故点P2的坐标为（-1，+1），则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（b，b+2），代入y=（>0）可得b=-，故点P3的坐标为（-，+）（3）1；（-，+）【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…∴△P n B n O的面积为1，由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），故答案为：1、（﹣， +）．【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.3．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．（1）求△APQ的面积；（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，∴点A（m, ）,点P（－m, ）,∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ＝AQ时，则（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m, ）,B(n, )，∴∴mn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。

反比例函数高频考点重难点总结一、反比例函数的概念：一般地，形如 y = k/x ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。

二、反比例函数的图象和性质：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时,>3、增减性：（1）当k>0时,在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k<>在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交。

5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 6/x 和y = -6/x）来说，它们是关于x轴，y轴对称。

三、反比例函数中比例系数k的几何意义：1、反比例函数与矩形面积：若P(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，求矩形PMON的面积.分析：S矩形PMON=PM·PN=│y│·│x│=│xy│∵y=k/x,∴ xy=k,∴S =│k│.2、反比例函数与三角形面积：若Q(x，y)为反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=│k│/2（或S△QOB=│k│/2）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.四、反比例函数图像与一次函数图像的交点（难点）求两个函数图像的交点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标。

（1）正比例函数y=k₁x(k₁≠0)与反比例函数y=k₂/x(k₂≠0),当k₁与k₂同号时，正比例函数图像与反比例函数图像有两个交点，即对应方程组的解，且两个交点关于原点对称；当k₁与k₂异号时，两个函数图像没有交点。

初三数学难点：反比例函数6个基础知识点例题（附解析）
反比例函数这一章是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。

对函数的学习，就是把图像问题与系数联系起来，并且通过反复观察，让众多学生明白不同系数，在不同函数中不同的几何意义何在，以便形成系数来研究图像的逻辑思维能力。

而且，最难的地方是反比例函数的几何问题灵活多变，可以和一次函数、全等、相似、特殊三角形、四边形等一系列知识结合出题，所以考察知识面广，综合程度高，也是很多孩子为何不会解决反比例函数题目的原因。

学函数，万变不离其宗，题目再难，也能有解决办法。

今天就为大家整理出了一份反比例函数基础知识点，以及例题和解析。

初三数学反比例函数基础知识点
反比例函数的图像
反比例函数性质
图二
二：例题
例二：
其他解法：
例三：
解析：
例四：
解析：。

反比例函数知识点归纳及典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四）充分利用数形结合的思想解决问题．oy xy xoy xoy xoA B C D典型题目1.反比例函数xy 2-=的图像位于（ D ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（B ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ A ）4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ C ）A 、不小于54m 3B 、小于54m 3C 、不小于45m 3D 、小于45m 35．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记RtΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ C ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定6．对与反比例函数x y 2=，下列说法不正确的是（ C ）A ．点（1,2--）在它的图像上Oy xB ．它的图像在第一、三象限C ．当0>x 时，的增大而增大随x yD ．当0<x 时，的增大而减小随x y 7.已知反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ B ）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）8．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x ky 2=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（B ） A. 1k +2k =0B. 1k ·2k <0C. 1k ·2k >0D.1k =2k9. 反比例函数y ＝k x的图象过点P （－1.5，2），则k ＝__-3______． 10. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝1x的图象上，则m ＝_2_________．11. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__-3________．12.如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=13.在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

反比率函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如 yk〔 k 为常数， k o 〕的函数称为反比率函数。

ykxx还可以够写成 y kx 12. 反比率函数剖析式的特色：⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数 k 〔也叫做比率系数 k 〕，分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比率系数 k 0⑶自变量 x 的取值为所有非零实数。

⑷函数 y 的取值是所有非零实数。

3. 反比率函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表〔应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数〕 ② 描点〔有小到大的序次〕③ 连线〔从左到右圆滑的曲线〕 ⑵反比率函数的图像是双曲线，yk〔 k 为常数， k 0 〕中自变量 x 0 ，x函数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点， 断开的两个分支， 延伸局部逐渐凑近坐标轴，但是永远不与坐标轴订交。

⑶反比率函数的图像是是轴对称图形〔对称轴是y x 或 y x 〕。

⑷反比率函数 yk〔 k 0 〕中比率系数 k 的几何意义是：过双曲线 ykxx〔 k 0 〕上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。

4．反比率函数性质以下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性ko 一、三象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大5. 反比率函数剖析式确实定：利用待定系数法〔只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k 〕6．“反比率关系〞与“反比率函数〞 ：成反比率的关系式不用然是反比率函数 ,但是反比率函数 y k中的两个变量必成反比率关系。

x7. 反比率函数的应用二、例题【例 1】若是函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【剖析】有函数图像为双曲线那么此函数为反比率函数y k，〔 k0〕即y kx1 x（k 0 〕又在第二，四象限内，那么 k 0能够求出的值【答案】由反比率函数的定义，得：2k 2k21解得 k1或 k12 k0k0k1k1时函数 y kx2 k2k 2为 y1x【例 2】在反比率函数 y 1 的图像上有三点x1， y1， x2， y2， x3， y3。

专题01 反比例函数重点用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质难点反比例函数中比例系数k 的几何意义易错反比例函数解析式的条件忽略k ≠0一、反比例函数的概念识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式k y x=或变形形式xy =k （k 是常数，k ≠0），1y kx -=（k 是常数，k ≠0）进行筛选．【例1】下列函数中，y 是x 的反比例函数的有（ ）个．①1y x -＝；②3y x ＝；③1xy -＝；④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】根据反比例函数的定义可得：①1y x -＝；②3y x＝；③1xy -＝；是反比例函数，④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝不是反比例函数，故选：B ．二、用待定系数法求反比例函数的解析式确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数(0)k y k x=¹中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x ，y 值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．【例2】已知y 与x 成反比例函数，且2x =时，3y =，则该函数表达式是（ ）A ．6y x =B ． 16y x =C ． 6y x =D ． 16y x -=-【答案】C【详解】解：∵y 与x 成反比例函数，∴设k y x=，把23x y ==，代入k y x=得6k =，所以该函数表达式是6y x =．故选：C ．三、反比例函数的图象和性质（1）对于反比例函数(0)k y k x=¹，因为x ≠0，y ≠0，所以它的图象不经过原点．反比例函数的图象由两个分支组成，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈反比例函数的增减性时，必须强调在“每一个象限内”，不能笼统地说，“当k >0时，y 随x 的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾．（3）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．【例3】函数k y x=与y ＝ax 2﹣bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx +b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象可知a ＜0，-b ＜0，即b ＞0，∴函数y ＝kx +b 的大致图象经过一、二、三象限，故选：D ．四、反比例函数ky x =中比例系数k 的几何意义在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，则S 1=S 2．【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O ，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB 交x 轴于点C ，交反比例函数图象于点P ．当点P 是AC 的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（ ）A ．2y x =B ．4y x =C ．8y x =D ．16y x=【答案】B【详解】解：如下图所示，设矩形与y 轴交于点D ，∵矩形的中心为直角坐标系的原点O ，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形OCAD 的面积是8，设()A x y ，，则8xy =，∵点P 是AC 的中点，∴12P x y æöç÷èø，，设反比例函数的解析式为k y x =，∵反比例函数图象于点P ，∴11422k x y xy =´==，∴反比例函数的解析式为4y x =．故选：B ．一、单选题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y x=-B ．2y x =-C ．21y x =D ．221y x x =-+【答案】B【详解】A 、y x =-，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．B 、2y x =-，符合一般式()0k y k x=¹，故此选项正确．C 、21y x =，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．D 、221y x x =-+，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．故选：B ．2．如果反比例函数2k y x -=的图象位于第二、四象限，那么k 的取值范围是（ ）A ． 2k <B ．2k -＜C ．2k ＞ D ．2k -＞【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴20k -<，∴2k <，故选：A ．3．下列说法中不正确的是（ ）A ．函数3y x =的图象经过原点B ．函数1y x =的图象位于第一、三象限C ．函数21y x =-的图象不经过第二象限D ．函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、函数3y x =的图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、函数1y x =的图象位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；C 、函数21y x =-的图象不经过第二象限，故本选项正确，不符合题意；D 、在每一象限内，函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大，故本选项错误，符合题意；故选：D4．已知正比例函数0y kx k =¹（），y 的值随x 的值的增大而减小，那么它和反比例函数()0k y k x=-¹在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：∵函数0y kx k =¹（）中y 随x 的增大而减小，∴0k <，该函数图象经过第二，四象限；∴函数k y x=-的图象经过第一、三象限，故C 正确．故选：C ．5．反比例函数1y x=-上图象上有三个点()()()112233,,,,,x y x y x y ，其中1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＜＜B ．231y y y ＜＜C ．132y y y ＜＜D ．321y y y ＜＜【答案】B 【详解】解：∵反比例函数1y x=-的图象在二，四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，而1230x x x ＜＜＜，∴123320,0,0,,y y y y y ＞＜＜＞∴231,y y y ＜＜故选B ．6．如图，正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的图像交于(1,)A m 、B 两点，当21k k x x£时，x 的取值范围是（ ）A ．10x -£<或1x ³B ．1x £-或01x <£C ．1x £-或1x ³D ．10x -£<或01x <£【答案】A 【详解】解析：Q 正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像交于(1,)A m 、B 两点，(1,)B m \--，由图像可知，当21k k x x £时，x 的取值范围是10x -£<或1x ³，故选：A ．二、填空题7．若点()1,1A x -，()2,2B x ，()3,3C x 都在反比例函数6y x =的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是______．【答案】132x x x <<##231x x x >>【详解】解：∵60>，∴反比例函数6y x =的图象在一三象限，在在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∵1023-<<<，∴132x x x <<．故答案为：132x x x <<．8．反比例函数k y x=的图象如图所示，点A 在该函数图象上，AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，如果2AOB S =△，那么k =________．【答案】4-【详解】设()00,A x y ，由2AOB S D =可知00.122x y = ，所以00.4x y =而点A 在第二象限，则00 . 4x y =-，因为点A 是函数图象上的一点，所以00k y x =，则004k x y =×=-故答案为：4-．三、解答题9．已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当=1x -时，4y =- ；当3x =时，4y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当2x =-时，求y 的值．【答案】(1)3y x x=+(2)72-【详解】（1）解：（1）设12,n y mx y x==，则n y mx x =+，根据题意得4343m n n m --=-ìïí+=ïî，解得13m n =ìí=î．所以y 与x 的函数表达式为3y x x =+．（2）把2x =-代入得，37222y =-+=--．10．如图，一次函数()10y k x b k =+¹与反比例函数()20k y x x=>的图像交于()1,6A ，()3,B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出21k k x b x +<时，x 的取值范围：(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)28y x =-+，6y x =(2)01x <<或3x >(3)8【详解】（1）(1,6)A Q ，(3,)B m 在2k y x=的图象上，26k \=，\反比例函数的解析式是6y x=．2m \=．(1,6)A Q ，(3,2)B 在函数1y k x b =+的图象上，\11632k b k b +=ìí+=î，解得：128k b =-ìí=î．则一次函数的解析式是28y x =-+．所以一次函数的解析式是28y x =-+，反比例函数的解析式是6y x=；（2）由图象得：当01x <<或3x >时，21k k x b x +<；（3）Q 直线28y x =-+与y 轴相交于点C ，C \的坐标是(0,8)．ΔΔΔ18(31)82AOB BOC AOC S S S \=-=´´-=．一、单选题1．已知反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，则a 的取值范围是（ ）A ．1a =B ．1a ¹C ．1a >D ．1a <【答案】C【详解】解：∵反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，∴10a -＞，解得：1a >，故选：C ．2．点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ）A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y 【答案】D【详解】解：∵ 40k =＞，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，且1＜2＜3＜4，∴4y 最小．故选：D ．3．对于反比例函数5y x =-，下列说法正确的是（ ）A ．图象经过点()2,3-B ．图象位于第一、三象限C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、()2365k ´-=-¹=-Q ，点()2,3-不满足关系式，因此A 选项不符合题意；B 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，因此B 选项不符合题意；C 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x <时，y 随x 的增大而增大，因此C 选项不符合题意；D 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x >时，y 随x 的增大而增大，因此D 选项符合题意．故选：D ．4．函数()0k y k x=¹与函数y kx k =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：Q 函数y kx k =-的图像经过点(1,0)，\选项B 、选项D 不符合题意；由A 、C 选项可知：0k >，\反比例函数()0k y k x=¹的图像在第一、三象限，故选项A 符合题意，选项C 不符合题意；故选：A ．5．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第二象限内，且点A ，B 在反比例函数()0k y k x =¹的图象上，点C 在第三象限内．其中，点A 的纵坐标为3，则2k 的值为（ ）A ．9-B ．9-C ．27-D ．27-【答案】B【详解】解：过点A 作AE x ^轴于E ，过点B 作BF x P 轴，交AE 于F ，∵90OAE BAF OAE AOE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴BAF AOE Ð=Ð，在AOE △和BAF △中90AOE BAF AEO BFA OA AB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS AOE BAF ≌△△，∴OE AF AE BF ==，，∵点A ，B 在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，点A 的纵坐标为3，∴33k A æöç÷èø，∴33k AE OE ==-，，∴3333k k B æö-+ç÷èø，，∴3333k k k æöæö=-+ç÷ç÷èøèø，∴29k -解得k =（正数舍去），∴29k =-故选B ．6．定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ．一次函数2y x m =+的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=的图像交于点A ，B ．若点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =+的特征数是( )A ．[]2,0B ．[]2,3C ．[]2,3-D ．[]2,6-【答案】C【详解】将一次函数2y x m =+向上平移3个单位长度后得到23y x m =++，设 ()()12,0, ,0,A x B x 联立233y x m y x =++ìïí=ïî22(3)30x m x \++-=，12,x x Q 是方程的两根，1232m x x +\+=-，又A Q ，B 两点关于原点对称，302m +\-=，3m \=-根据定义，一次函数2y x m =+的特征数是[]2,3-故选：C ．7．如图，点A 是反比例函数4y x=图像上的一动点，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ．在点A 的运动过程中，若存在点(),C m n ，使得AC BC ^，AC BC =，则m ，n 满足（ ）A ．mn 2=-B ．4mn =-C ．2n m =-D ．4n m=-【答案】B 【详解】解：连接OC ，过点A 作AE x ^轴于点E ，过点C 作CF y ^轴于点F，如图所示：Q 由直线AB 与反比例函数4y x=的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，AO BO \=，又AC BC ^Q ，AC BC =，CO AB \^，12CO AB OA ==，90AOE AOF Ð+Ð=°Q ，90AOF COF Ð+Ð=°，AOE COF \Ð=Ð，又90AEO Ð=°Q ，90CFO Ð=°，()AOE COF AAS \D @D ，OE OF \=，AE CF =，Q 点(,)C m n ，CF m \=-，OF n =，AE m \=-，OE n =，(),A n m \-，Q 点A 是反比例函数4y x=图像上，4mn \-=，即4mn =-，故选：B ．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线15y x=上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．245B ．236C ．437D ．214【答案】C 【详解】解：设点15,D m m æöç÷èø，如图所示，过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ，过点A 过x 轴的平行线交DG 于点H ，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，∵∠GDC +∠DCG =90°，∠GDC +∠HDA =90°，∴∠HDA =∠GCD ，在△DHA 和△CGD 中，90HDA GCDDHA CGD AD DCÐ=ÐìïÐ=Ð=°íï=î ，∴△DHA ≌△CGD (AAS)，∴HA =GD ，DH =CG ，同理可证得△ANB ≌△DGC (AAS)，∴AN =DG =2=AH ，则点15,2G m m æö-ç÷èøG ，CG =DH ，AH =−1−m =2，解得：m =−3，故点G (−3,−7)，D (−3,−5)，H (−3,2)，则点15,77E æö--ç÷èø，156377GE =-=，DH=5+2=7，643777CE CG GE DH GE =-=-=-=，故选：C ．二、填空题9．如图，点A 在反比例函数my x =的图象上，AB x ^轴于点B ，点C 在x 轴上，且CO OB =，ABC V 的面积为2，则m 的值为______．【答案】2-【详解】解：设||CO BO a ==，则||||m AB a =，∵ABC V 的面积为2，∴1||2||22||m a a ´´=，∵0m <解得：2m =- ．故答案为：2-．10．在反比例函数4y x=中，已知四边形ABDC 与四边形BOFE 都是正方形，则点C 的坐标为_________．【答案】1)+【详解】解：设,OB a AB b ==，则点,E a a （），点(),C b a b +，∵反比例函数4y x=的图像过点C E 、，∴24()·4a a b b ì=í+=î，解得：1b ìïí=-ïî或1a b ìïí=-ïî（舍去）或1a b =ìïí=+ïî1a b =ìïí=ïî∴1AB AC b ===，21AO =，故点C 的坐标为1)+．故答案为：1)-．三、解答题11．已知反比例函数(0)k y k x=¹，当3x =-时，4y =.(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当43y £且0y ¹时，求自变量x 的取值范围.【答案】(1)12y x =-(2)9x £-或0x >【详解】（1）解：∵反比例函数(0)k y k x =¹，当3x =-时，4y =.∴3412k =-´=∴12y x=-,（2）当43y =时，9x =-，∵12y x=-的图象在第二、四象限，∴当43y £且0y ¹时，9x £-或0x >．12．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于()()4,,2,4A n B -- 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设点()()1122,,,M x y N x y 是反比例函数m y x =图象上的两个点，若12x x <，试比较1y 与2y 的大小；(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)8y x =-，2y x =--(2)见解析(3)6【详解】（1）解：（1）将点()2,4B -代入反比例函数m y x=，得2(4)8m =´-=-，∴反比例函数解析式：8y x =-，将点()4,A n -代入8y x=-，得48n -=-，解得2n =，∴()4,2A -，将A ，B 点坐标代入一次函数y kx b =+，得4224k b k b -+=ìí+=-î，解得12k b =-ìí=-î，∴一次函数解析式：2y x =--；（2）∵8y x=-，80k =-<，∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，若12x x <，分三种情况：①12120,x x y y <<<，②12120,x x y y <<>，③12120,x x y y <<<；（3）设一次函数与y 轴的交点为D ，则D 点坐标为(0,2)-，∴2OD =，∵(4,2),(2,4)A B --，∴112422622AOB AOD BDD S S S D D D =+=´´+´´=，∴AOB V 的面积为6．13．如图，直线6y ax =+经过点()30A -,，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点()1,B m ．(1)求k 的值；(2)点D 为第一象限内反比例函数图象上点B 下方的一个动点，过点D 作DC y ^轴交线段AB 于点C ，连接AD ，求ACD V 的面积的最大值．【答案】(1)8(2)254【详解】（1）解：把()30A -,代入6y ax =+，得360a -+=，解得2a =，∴直线的函数表达式为26y x =+，∴当1x =时，2168y =´+=，∴()1,8B ，把()1,8B 代入反比例函数k y x=，得188k =´=．（2）解：设点C 的坐标为(),26x x +，由于DC y ^轴，所以点D 的纵坐标为26x +，∴点8,2626D x x æö+ç÷+èø，∴()()22118325262634222624ACD S CD x x x x x x x æöæö=´+=-´+=--+=-++ç÷ç÷+èøèø△，∴当 1.5x =-时，254ACD S =△最大值，答：ACD S V 的最大值为254．14．如图，函数y ＝k x（x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点．(1)求n 和k 的值；(2)将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交y ＝k x （x ＞0）于点C ，若ACO S V ＝6，求直线DE 解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得△DEF 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4,8n k ==；(2)132y x =+；(3)(9,6)-或(3,9)-或99(,22-．【详解】（1）解：Q 函数=k y x （x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点，2=8(23)=5n k n k \-ìïíïî，解得=4=8n k ìíî，故n 和k 的值分别为4，8．（2）解：4,8n k ==Q ，8(4,2),(,5)5A B \，直线OA 的解析式为：12y x =，过点C 作CG x ^轴于点G ，交直线OA 于点H ，设8(,0)C m m m>，1(,)2H m m \，162AOC A S CH x D \=×=，181()4622m m \-´=，2m \=或=8m（不符合题意舍去）(2,4)C \，DE OA ∥Q ，\设直线DE 的解析式为：12y x b =+，Q 点C 在直线DE 上，1422b \=´+即=3b ，\直线DE 的解析式为：132y x =+．（3）解：根据题意，分三种情况进行讨论：①以DE 为直角边，D 为直角顶点；如图，过F 做FK x ^轴于点K ，易知：90FKD DOE Ð=Ð=°，90FDE Ð=°Q ，90FDK EDO \Ð+Ð=°，又90DEO EDO Ð+Ð=°Q ，FDK DEO \Ð=Ð，又FD =DE ，FKD DOE \D D ≌，\FK =DO =6，KD =OE =3，故点D 到点F 的平移规律是：D 向左移3个单位，向上移6个单位得点1F 坐标，(6,0)D -Q ，且F 在第二象限，1(63,06)F \--+即1(9,6)F -；②以DE 为直角边，E 为直角顶点；同①理，将E 点向左移3个单位，向上移6个单位得点F 坐标，得2(3,9)F -；③以DE 为斜边边时．同理，将ED 中点3(3,2-向左移32个单位，向上移3个单位得点F 坐标，得399(,)22F -；综上所述，点F 的坐标为：(9,6)-或(3,9)-或99(,)22-．。

中考数学反比例函数的综合热点考点难点含详细答案一、反比例函数1．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．2．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．3．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．4．如图，直线y=mx+n与双曲线y= 相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵点A（﹣1，2）在双曲线y= 上，∴2= ，解得，k=﹣2，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴b= =﹣1，则点B的坐标为（2，﹣1），∴，解得，m=﹣1，n=1（2）解：对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（0，﹣1），∴△ABD的面积= ×2×3=3（3）解：对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），S△PAB= ×|1﹣a|×2+ ×|1﹣a|×1=3，解得，a=﹣1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），S△PAB= ×|1﹣b|×2+ ×|1﹣b|×1=3，解得，b=﹣1或3，∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）【解析】【分析】（1）由点A（﹣1，2）在双曲线上，得到k=﹣2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出△ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出S△PAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出S△PAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.5．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.6．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

知识回顾微专题反比例函数--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：反比例函数之定义、图像与性质1.反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。

有时也用k xy =或1-=kx y 表示。

2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线。

3.反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号＞k 0＜k 所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。

在一个支上（每一个象限内），y随x 的增大而增大。

对称性图像关于原点对称1．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图象经过的象限是（）A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k ＜0，由一次函数y ＝kx +2中，k ＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限．【解答】解：由图可知：k ＜0，∴一次函数y ＝kx +2的图象经过的象限是一、二、四．故选：B ．2．（2022•上海）已知反比例函数y ＝xk（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（3，0）D ．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，A ．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B ．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C ．3×0＝0，故本选项不符合题意；D ．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（2022•广东）点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝x4图象上，则y 1，y 2，y 3，y 4中最小的是（）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【分析】根据k ＞0可知增减性：在每一象限内，y 随x 的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．【解答】解：∵k ＝4＞0，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝图象上，且1＜2＜3＜4，∴y 4最小．故选：D ．4．（2022•云南）反比例函数y ＝x6的图象分别位于（）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y ＝，k ＝6＞0，∴该反比例函数图象位于第一、三象限，故选：A ．5．（2022•镇江）反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，写出符合条件的k 的值（答案不唯一，写出一个即可）．【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k 与函数图象的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，∴此反比例函数的图象在二、四象限，∴k ＜0，∴k 可为小于0的任意实数，例如，k ＝﹣1等．故答案为：﹣1．6．（2022•福建）已知反比例函数y ＝xk的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是．（只需写出一个符合条件的实数）【分析】根据图象位于第二、四象限，易知k ＜0，写一个负数即可．∴k ＜0，∴k 取值不唯一，可取﹣3，故答案为：﹣3（答案不唯一）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y ＝xk 2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝的图象位于第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得k ＜2，故答案为：k ＜2．8．（2022•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝xa在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0，∴y ＝bx +c 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝图象在第二四象限，只有D 选项图象符合．故选：D ．9．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，判断反比例函数y ＝xa与一次函数y ＝bx +c 的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，所以反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c图象经过二、三、四象限．故选：A．c 10．（2022•安顺）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝x（c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵抛物线交y轴的负半轴，∴c ＜0，∴一次函数y ＝ax +b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝（c ≠0）在二、四象限．故选：A ．11．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝axb（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a 、b 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【解答】解：若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、三象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过二、三、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，故选：A ．12．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1（k ≠0）和y ＝xk（k ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】分k ＞0或k ＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k ＞0时，一次函数y ＝kx +1经过第一、二、三象限，反比例函数y ＝位于第一、三象限；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1经过第一、二、四象限，反比例函数y ＝位于第二、四象限；故选：D ．13．（2022•绥化）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象如图所示，则一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 与反比例函数y ＝xcb a ++24在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象判断a ，b 2﹣4ac 及4a +2b +c 的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象顶点在x 轴下方，开口向上，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，b 2﹣4ac ＞0，∴一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象可知，点（2，4a +2b +c ）在x 轴上方，∴4a +2b +c ＞0，∴y ＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B ，故选：B ．14．（2022•贺州）已知一次函数y ＝kx +b 的图象如图所示，则y ＝﹣kx +b 与y ＝xb的图象为（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据一次函数y ＝kx +b 的图象位置，可判断k 、b 的符号；再由一次函数y ＝﹣kx +b ，反比例函数y ＝中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：根据一次函数y ＝kx +b 的图象位置，可判断k ＞0、b ＞0．所以﹣k ＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，故选：A ．15．（2022•广西）已知反比例函数y ＝xb（b ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）和二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b ≠0）的图象位置，可判断b ＞0；再由二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象性质，排除A ，B ，再根据一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）的图象和性质，排除C ．【解答】解：∵反比例函数y ＝（b ≠0）的图象位于一、三象限，∴b ＞0；∵A 、B 的抛物线都是开口向下，∴a ＜0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的右侧，故A 、B 都是错误的．∵C 、D 的抛物线都是开口向上，∴a ＞0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的左侧，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0由a ＞0，c ＜0，排除C ．故选：D ．16．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y ＝﹣xk（k 为常数且k ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k ＞0时，则﹣k ＜0，一次函数y ＝kx +1图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以A 选项正确，C 选项错误；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1图象经过第一、二，四象限，所以B 、D 选项错误．故选：A ．17．（2022•德阳）一次函数y ＝ax +1与反比例函数y ＝﹣xa在同一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，和a ＜0，两方面分类讨论得出答案．【解答】解：分两种情况：（1）当a ＞0，时，一次函数y ＝ax +1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y ＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a ＜0，时，一次函数y ＝ax +1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣图象在第一、三象限，故B 选项正确．故选：B ．18．（2022y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（）A ．（4，2）B ．（1，8）C ．（﹣1，8）D ．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k 的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点（﹣2，4），∴k ＝﹣2×4＝﹣8，A 、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B 、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C 、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D 、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C ．19．（2022•襄阳）若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝x2的图象上，则y 1，y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝的图象上，k ＝2＞0，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2，故选：C ．20．（2022•海南）若反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（1，﹣6）D ．（6，1）【分析】将（2，﹣3）代入y ＝（k ≠0）即可求出k 的值，再根据k ＝xy 解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，A 、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A 不正确，不符合题意；B 、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B 不正确，不符合题意；C 、1×（﹣6）＝﹣6，故C 正确，符合题意，D 、6×1＝6≠﹣6，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．21．（2022•武汉）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝x6的图象上，且x 1＜0＜x 2，则下列结论一定正确的是（）A ．y 1+y 2＜0B ．y 1+y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2【分析】先根据反比例函数y ＝判断此函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2判断出A （x 1，y 1）、B（x 2，y 2）所在的象限即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝中的6＞0，∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴y 1＜y 2．故选：C ．22．（2022•天津）若点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝x8的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝的图象上，∴x 1＝＝4，x 2＝＝﹣8，x 3＝＝2．∴x 2＜x 3＜x 1，故选：B ．23．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，若点B 恰好在反比例函数y ＝xk的图象上，则k 的值是．【分析】点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B （2，﹣2），代入y ＝利用待定系数法即可求得k 的值．【解答】解：将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，则B （2，﹣2），∵点B 恰好在反比例函数y ＝的图像上，∴k ＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．24．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图象上，则y 1y 2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k ＞0，∴反比例函数y ＝（k ＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，知识回顾微专题∴点A （2，y 1），B （5，y 2）在第一象限，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．考点二：反比例函数之综合应用1.反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。

反比例函数一、复习要点一：反比例函数定义反比例函数的三种形式(k ≠0)1、下列函数：①xy= －1；②y=5-x ；③y= 1 ；④ y 3 x 1；⑤y=-3x；3 x 3 4⑥ xy- 3 =0；⑦ y= 5 ；⑧ y= x；⑨ y= 0.4。

其中是反比例函数的3x 2 x是。

2、函数y k的图象经过点 A(1， 2) ，则k= x3、当 m＝时，关于 x 的函数y m 2 是反比例函数？2x4、当 m＝时，关于 x 的函数y ( m 1) x m 2是反比例函数？5、已知矩形的面积为6cm2，它的一组邻边长分别是xcm、ycm．则 y 与x之间的函数关系式是，自变量的取值范围是．6、已知函数y = y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2 成正比例，且当 x = 1时， y =－1；当 x = 3时， y = 5.求当 x＝5时 y 的值二、复习要点二、反比例函数的图象及其性质 :6 1. 函数yx 的增大而的图象位于第象限 ,在每一象限内,y的值随x,2. 函数y 6的图象位于第象限,在每一象限内,y的值随x x的增大而,3、若函数 y4x 与 y1的图象有一个交点是（1，1），则另一个交4x4点坐标是_图象双曲线的两个分支分别位于一、三象限双曲线的两个分支分别位于二、四象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小在每个象限内， y 随 x 的增大而增大性质两个分支都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达 x 轴和 y 轴中心对称图形：图象关于坐标原点中心对称轴对称图形：既关于直线y=x 对称，也关于直线 y=-x 对称34、下列各点中，在函数 y）x 的图象上的是（Ａ．（ 3，１） Ｂ．（－ 3，１） Ｃ．（ 1，3）Ｄ．（3， － 1 ）335、已知点 A(5,y 1),B(-1,y2) C(-4,y3)在 y k(k 0) 的图象上 , 则 y 1、xy 2 与 y 3 的大小关系为6、反比例函数 y k 和一次函数 y=kx-k 在同一直角坐标系中的图象大x致是（）yyyyOxOxOxOxAB C D三、复习要点三、 K 的几何意义—面积1、如图 1 已知 M是反比例函数y 2上的一点，且 MN⊥ON，则△xMON的面积是2、如图 2，长方形 OBPA的面积是 9，反比例函数y k的图象经过x点 B，则 k=。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。