《球坐标系与柱坐标系》教学案1

三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。

传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。

本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。

一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。

在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。

对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。

它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。

二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。

在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。

圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。

假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。

这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。

当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。

添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。

按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。

如图右，P 点的圆柱坐标是。

是P 点与z-轴的垂直距离。

是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。

与直角坐标的等值。

圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。

1.5 柱坐标系和球坐标系1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)[基础·初探]1.柱坐标系 (1)柱坐标设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1-5-1所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，θ，z )称为空间中点M 的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数.图1-5-1(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z.2.球坐标系 (1)球坐标设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0.图1-5-2如图1-5-2所示，设z 轴的正向与向量OM →的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0→的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标.若设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M (x ，y ，z )与球坐标(r ，θ，φ)之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ.[思考·探究]1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 柱坐标系中，ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面.[自主·测评]1.在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( )A.(2,0,3)B.(2，π4，0) C.(2，π4，3)D.(2，π4，0)【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B2.已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1)D.(1,1,1)【解析】 x ＝ρ·cos θ＝1cos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1. 【答案】 B3.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.(2，π3，3)B.(2，2π3，3)C.(2，4π3，3) D.(2，5π3，3)【解析】∵ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，tan θ＝－3－1＝3，∴θ＝π3或4 3π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－3，∴排除θ＝π3，∴θ＝4 3π.∴M的柱坐标为(2，4π3，3).【答案】 C4.设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()【导学号：62790006】A.(2，π4，0) B.(2，5π4，π2)C.(2，5π4，0) D.(2,0，π4)【解析】由坐标变换公式，得r＝x2＋y2＋z2＝2，cos φ＝zr＝0，∴φ＝π2.∵tan θ＝yx＝1，∴θ＝5 4π.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑： 疑问3： 解惑： 类型一 点的柱坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标.【精彩点拨】 已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .求出ρ，θ即可.【尝试解答】 设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1).由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )代入变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.[再练一题]1.根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5). 【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ). (1)∵(ρ，θ，z )＝(2，5π6，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3). (2)∵(ρ，θ，z )＝(2，π4，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5). 类型二 将点的球坐标化为直角坐标已知点M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角坐标. 【精彩点拨】球坐标――――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标【尝试解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ). ∵(r ，θ，φ)＝(2，34π，34π)，∴x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×(－22)＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1， z ＝2cos 34π＝2×(－22)＝－ 2. 因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2).1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2.化点的球坐标(r ，θ，φ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.转化为三角函数的求值与运算.[再练一题]2.若“例2”中点M 的球坐标改为M (3，5π3，5π6)，试求点M 的直角坐标. 【解】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z ). ∵(r ，θ，φ)＝(3，5π3，5π6)， x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝34， y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334， z ＝r cos φ＝3cos5π6＝－332. ∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332). 类型三 空间点的直角坐标化为球坐标已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1-5-3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标.图1-5-3【精彩点拨】 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标.【尝试解答】 点C 1的直角坐标为(1,1，2).设C 1的球坐标为(r ，θ，φ)，其中r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r ·cos φ， ∴r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2.由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4. 又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4， 从而点C 1的球坐标为(2，π4，π4).1.由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M 的球坐标为(r ，θ，φ)，再利用变换公式⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.求出r ，θ，φ.2.利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.[再练一题]3.若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标. 【解】 易知C 的直角坐标为(1,1,0).设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝yx ＝1， ∴θ＝π4.因此点C 的柱坐标为(2，π4，0). (2)由r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.∴cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2. 故点C 的球坐标为(2，π2，π4).[真题链接赏析](教材P21练习T2)设点M的柱坐标为(2，π6，7)，求它的直角坐标.在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM|＝________.【命题意图】本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z).由(ρ，θ，z)＝(2，23π，5)知x＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y＝2sin23π＝ 3.因此|OM|＝x2＋y2＋z2＝(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3.【答案】 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。