切比雪夫多项式注解

python 切比雪夫多项式寻根切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类特殊的正交多项式，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。

本文将介绍切比雪夫多项式的定义、性质以及如何使用Python寻找其根。

一、切比雪夫多项式的定义切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。

它们可以通过递归关系式来定义，其中第0阶切比雪夫多项式（T_0(x)）为常数1，第1阶切比雪夫多项式（T_1(x)）为x，而其他阶的切比雪夫多项式可以通过以下递归关系式得到：T_n(x) = 2x * T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)，其中n ≥ 2切比雪夫多项式具有许多重要的性质，如正交性、最佳逼近性等。

其中，最重要的性质之一是切比雪夫多项式的根在闭区间[-1, 1]上均匀分布。

二、切比雪夫多项式的性质1. 正交性：切比雪夫多项式满足正交性质，即在[-1, 1]上的权函数为1/√(1-x^2)，当m≠n时，∫(T_m(x) * T_n(x) * (1/√(1-x^2)))dx = 0。

2. 最佳逼近性：切比雪夫多项式在[-1, 1]上是最佳逼近一类特定函数的多项式，即对于任意给定的函数f(x)，存在唯一的切比雪夫多项式T_n(x)使得∥f(x) - T_n(x)∥_∞ = min。

3. 奇偶性：切比雪夫多项式的奇偶性与其阶数相关。

当n为偶数时，切比雪夫多项式为偶函数；当n为奇数时，切比雪夫多项式为奇函数。

三、使用Python寻找切比雪夫多项式的根在Python中，可以使用numpy库中的chebyshev函数来计算切比雪夫多项式的根。

该函数的使用方法如下：```pythonimport numpy as np# 计算n阶切比雪夫多项式的根def chebyshev_roots(n):return np.polynomial.chebyshev.chebroots([0] * n + [1])# 示例：计算第5阶切比雪夫多项式的根roots = chebyshev_roots(5)print(roots)```在上述代码中，我们使用了numpy库中的chebroots函数来计算切比雪夫多项式的根。

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。

通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。

切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。

这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。

相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。

这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。

用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。

方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。

十二、切比雪夫多项式（上）前面我们已经看到，作为指数型母函数，1)(-x e x生成了伯努利数B n ；+++++=-n n x n•B x •B x B B x e x!!21)(2210，1)()(-x e tx xe 生成了伯努利多项式)(t n β：+++++=-n n x n•t x •t x t t x e tx xe !)(!2)()()(1)()(2210ββββ，伯努利数和伯努利多项式在数学分析中有许多作用，前面讲到的求自然数方幂和的公式只是其中之一.数学中有不少重要的特殊函数可以通过相应的母函数产生，这是母函数的一个重要作用. 本节介绍的切比雪夫多项式就是这些重要的特殊函数中的一个.我们来研究把函数22444xtx x +-- （117）作为普通母函数（不是指数型母函数）所生成的函数列. 这里分子是一个x 的多项式；如果把分母中的t 看作常数，则也是x 的多项式. 我们设法把它展开成x 形式幂级数.因为分子分母都是x 的二次多项式，故先把它写成22244481444xtx tx xtx x +--+-=+--， （118）右边第二项分子是x 的一次多项式，分母是x 的二次多项式，因而是个真分式，故可把它写成部分分式（把t 看成常数）.为了便于讨论，我们令θθθsin cos ,cos i •z •t +==.这里1-=i 是虚数单位. 于是,sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos sin cos 11••i ••i i i ••i z θθθθθθθθθθ-=-+-=+=所以 t zz 2cos 21==+θ. 这样一来，（118）右边第二项的分母便可写成,2112141244422••x z x z ••••••••••x x z z x tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-于是,211121121121244482•x zx z ••••••••••x z x z txx tx tx-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-- 代入（118），便得（117）的部分分式展式：x zx z x tx x 2111211144422-+-+-=+-- . （119） 注意到,2221100∑∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n nn nx z x z x z ,2121211100∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n nnx z x z x z代入（119）得)120(.1211212144410022•••••••••••••x z z ••••••••••x zx z x tx x n n n n nnn nnnn nn⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++-=+--∑∑∑∞=∞=∞=根据棣莫佛公式：)122(,sin cos )sin (cos 1)121(,sin cos )sin (cos ••••••••••••n i n i z••••••••••••n i n i z nnn n θθθθθθθθ-=-=+=+=由此得θn zz nn cos 21=+. （123）代入（120）有n n n x n x tx x ∑∞=-+=+--11222cos 1444θ，而t ••t•cos arc ,cos ==θθ，所以n n n x t n x tx x ∑∞=-+=+--11222)(arccos cos 1444.记),2,1(,)(arccos cos 21)(,1)(10 ••••n •••t n t ••T •t T n n ===- （124）这就是由母函数（117）所生成的函数列，称它们为切比雪夫多项式何以见得（124）是t 的多项式呢？仍用t arccos =θ代回，并注意到（121），（122），（123），就得,])1()1[(21])sin (cos )sin [(cos 21121cos 21)(arccos cos 21)(2211••t i t t i t ••••i i ••••z z t n t T n n nnn nn n n n n n --+-+=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+===--θθθθθ利用二项式定理：,)1()1()1(,)1()1(202202•t i t C t i t ••t i t C t i t kn k k k k n k nn k nk k k n k n n--=---=-+∑∑=-=-于是∑=--+-=nk k k kk n k n nn t i t C t T 02])1(1[)1(21)(， （125）当k 取奇数值时，0)1(1=-+k ，故和式中只有k 取偶数值的那些项. 这样一来，（125）便可写成)126(.)1()1(21)1(221)(]2[02221]2[022222••••••••t t C ••••t i t C t T n r rn r r n r n n r rr r n r n nn ∑∑=--=---=-=这就证明了)(t T n 确实是个多项式，而且是n 次多项式，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n 如前所说是表示2n的整数部分，例如当n =8时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n =[4]=4，当n =9时，4]5.4[292==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n .。

n阶切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是一种二项式序列，其表达式为$(α+β)^n=\sum_{i=0}^n C(n,i)\alpha^{n-i}β^i$，其中$C(n,i)$表示组合数，$\alpha$和$\beta$是参数，$n$是序列的阶数。

对于$\alpha=\beta=-1/2$的特殊情况，在区间$(-1,1)$上关于权的正交多项式系$\{T_n(x)\}_{n=0}^\infty$称为切比雪夫多项式系。

此时，称$T_n(x)$为$n$阶切比雪夫多项式，有时也称为$n$阶第一类切比雪夫多项式。

切比雪夫多项式在数学和物理领域都有着广泛的应用，例如在微分方程、统计学和量子力学等领域都可以找到它的身影。

在逼近理论中，切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值，相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。