微积分产生社会背景和数学渊源

微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。

微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。

微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。

微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。

1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。

在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。

牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。

2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。

牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。

他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。

牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。

莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。

他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。

莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。

3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。

在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。

在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。

在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。

在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。

在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。

微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。

微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。

微积分建立的时代背景和历史意义微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

极限和微积分的概念可以追溯到古代。

到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。

直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分建立的时代背景、发展状况和历史意义微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学，微积分的基本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。

微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想”。

恩格斯更是称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。

微积分的建立，无论是对数学还是其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分展示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用。

微积分为创立许多新的学科提供了源泉。

微积分是人类智力的伟大结晶，它给出了一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的应用。

恩格斯曾说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高境界了。

如果在某个地方我们看到人类的精神的纯粹和唯一的功绩，那就是正是在这里。

”微积分的产生具有悠久的历史渊源。

在中国，公元前4世纪，桓团。

公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘徽的“割圆术”和公园5-6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率近似值，他还精确地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽。

在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可公约量及面积和体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述萌芽。

欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展。

到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题。

于是在数学中开始研究各种变化过程中变化的量（变量）间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。

在伽利略等人的数学著作里面，都包含着微积分的初步想法。

到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学（与矿井的通风和排水有关）、机械力学等都突飞猛进的发展，在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩张的军事需要，也出尽了航海的发展。

背景知识微积分的产生微积分产生于17世纪下半叶，它的出现不仅翻开了数学史上极其光辉的一页，而且对自然科学和生产技术的发展产生了极其深远的影响。

1．产生的背景微积分的产生是由于生产实践的需要。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，为了适应资本原始积累的需要，生产力得到很大解放，航海、造船、军事、机械、水利、天文学等方面迅速发展，出现了大量问题亟待解决。

这些问题归结为数学模型是以下4类：⑴已知变速运动的路程是时间的函数，求任意时刻的速度和加速度及其反问题。

⑵求曲线的切线问题。

⑶求函数的极大值与极小值，如军事上要寻求获得最大射程的发射角；天文学方面，求行星离太阳的最远和最近距离。

⑷求封闭曲线所围成的面积，曲线的弧长，立体所围成的体积，物体的重心、引力等。

这些问题用初等的常量数学是无法解决的，微积分作为变量数学正是为了解决这些问题的需要逐渐产生的。

微积分的创立主要归功于牛顿和莱布尼兹，但是在他们走向光辉的顶点之前，他们的先驱者已经为微积分的产生作了大量的准备工作。

微积分的一些思想、一些基本问题的提出和解决，都可以追溯到遥远的古代。

古希腊的阿基米德就曾利用穷竭法有效地计算出一些特殊几何图形的面积和体积，穷竭法中隐含着积分的思想。

到了16世纪，德国的开普勒和意大利的卡瓦列利又重新考察了求积问题。

17世纪，法国的笛卡尔、费马、帕斯卡和英国的沃利斯研究了切线问题，费马还进一步研究了求极值问题。

牛顿从费马的切线作法中受到启发，并加以推广。

牛顿的老师巴罗曾几乎充分地认识到微分和积分之间的互逆关系，即微积分基本定理，但他只是以几何形式表达出来，正如牛顿所说：“我之所以有这样的成就，是因为我站在巨人的肩膀上的缘故。

”17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹在前人大量数学成果的基础上，各自独立地创立了微积分，使它们成为一门崭新的学科。

与他们的前辈相比，他们两人的过人之处在于他们没有停留在只解决某一类问题上，而是从各种不同的方法中提炼出微积分的基本概念和算法，使微积分成为强有力的计算工具，在许多实际问题的解决中显示出巨大的威力，并且还发现了微分和积分之间的相互关系，即微积分基本定理。

微积分创立的背景与过程
微积分，作为数学中的一门重要学科，其创立过程可以追溯到17世纪。

在此之前，数学领域主要关注几何学和代数学，而微积分的诞生为解决一些物理问题提供了全新的数学工具。

微积分的创立主要涉及到牛顿和莱布尼兹这两位伟大的数学家。

他们几乎同时独立地发现了微积分的基本概念和方法。

牛顿是英国人，他在研究力学和天体运动时，提出了微积分中的微分和积分的概念。

他将这些方法应用于解决物体的运动和变化的问题，从而奠定了微积分的基础。

与此同时，德国数学家莱布尼兹也在研究曲线的切线和曲率等问题时，独立地发现了微积分中的微分和积分。

他将微积分的符号和记法系统化，为后来的发展奠定了基础。

莱布尼兹还提出了微积分基本定理，将微分和积分统一起来，使微积分更加完善。

微积分的创立过程可以说是在牛顿和莱布尼兹之间的竞争和合作中不断完善和发展的。

两位数学家的贡献为微积分的发展奠定了坚实的基础，使其成为数学中的一门重要学科。

微积分的创立背景与过程也与当时物理学和工程学的发展密切相关。

在工程学中，微积分被广泛应用于解决各种复杂的问题，如结构分析、流体力学等。

在物理学中，微积分被用来描述物体的运动、力学、热力学等现象。

微积分为这些学科提供了强大的数学工具，推
动了科学技术的发展。

总的来说，微积分的创立背景与过程是在数学家们不断探索和研究的基础上逐步完善和发展的。

微积分的诞生为解决物理和工程中的复杂问题提供了重要的数学方法，推动了科学技术的进步。

微积分作为一门重要学科，至今仍在不断发展和应用，为人类认识世界和改善生活提供了重要的帮助。

微积分的起源摘要：回顾了古代东西方微积分思想的萌芽和微积分创立前夕欧洲的思想社会背景，论述了微积分先驱者的重要贡献，指出最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹，谨以此文纪念今年12月25日牛顿诞生362周年。

关键词：微积分；起源；牛顿；莱布尼兹中图分类号：O 172文献标识码：A文章编号：2027/YC-（2004）01-0066-04一、古代东西方微积分思想的萌芽微积分学的核心概念之一——极限，其理论的完善得力于19世纪柯西(1789-1857，Cauchy.A.L)和魏尔斯特拉斯(1815-1879，Weierstrass,K)的工作，但极限的观念、思想可以追溯到遥远的古代。

公元前五世纪古希腊的安提丰(Antiphon)提出‚穷竭法‛，前四世纪由欧多克斯(前408-355,Eudoxus)作了补充和完善，他们用来求平面圆形的面积和立体的体积。

方法记载在欧几里得(前4-3世纪Euclid)的《几何原本》中，公元前三世纪阿基米得(前287-212，Archimedes)用‚穷竭法‛求圆的面积，认为圆的面积与正内接(外切)多边形面积之差可以被‚竭尽‛，得圆周率约等于3.14。

西方人在17世纪(1647年)时称这种没有极限步骤，但给出证明蕴含极限思想的求积方法为‚穷竭法‛。

中国前四世纪春秋战国时代学者惠施称：‚一尺之棰，日取其半，万世不竭‛，(见《庄子〃天下篇》)引出收敛的数列1[]2，1[]22，…，1[]2n，…。

江泽民主席1997年访美时，11月1日在哈佛大学发表演讲，说‚记得我在高中读书时，老师给我们讲微积分，第一课就是讲《庄子》中的‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’，很形象地使我建立起极限的概念，‛指出：‚我们的先人对自然界的认识已达到相当高的水平。

‛安提丰的‚穷竭法‛和惠施的‚一尺之棰‛都是极限思想的滥觞。

至公元三世纪，三国魏人刘徽作《九章算术》注，提出‚割圆术‛，以圆的内接正6×2n-1 (n＝1，2……)边形的面积An近似单位圆的面积π（π≈An），算到6×25＝192边形，得π≈157/50或3.14，又进一步算到6×29＝3072边形，得到一个相当于3.14159的分数。

微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。

整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。

微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。

作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。

他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。

圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。

意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。

这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。

解析几何为微积分的创立奠定了基础由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。

到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。

笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

高等数学背景知识——关于微积分微积分是高等数学的一个主要内容，我们有必要对微积分的时代背景及其创立作基本的了解。

一、微积分的时代背景微积分（calculus）是微分学（differential calculus）和积分学（integral calculus）的简称。

Calculus原意是计算、演算，在拉丁文中表示石子，指用石子进行计算。

微积分后来的发展称为“分析学”。

中国19世纪中叶翻译此类数学书时定名为微积分。

微积分的创立是数学史上最重要的事件之一。

其基本思想源于古希腊的求积术，但直接动力却来自17世纪的科技问题。

（1）运动问题。

已知物体移动的距离表示为时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知物体的加速度表为时间的函数关系式，求速度与距离。

因运动物体的速度与加速度每时每刻都在变化，瞬时速度的求法超出常规的范围。

抛射体＆行星的运动都属于此列。

（2）切线问题。

17世纪透镜的设计吸引了许多数学家。

要研究光线通过透镜的通道，必须知道射线射入透镜的角度，以便应用光的反射定律，这就需要求出光线在入射点的法线或切线。

另外，运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向都是轨迹的切线方向。

从几何本身看，切线的定义与求法也都没有解决，对于17世纪出现的复杂曲线求切线更是无从下手。

（3）极值问题。

即求函数的最大值与最小值。

例如炮弹能获得最大射程的发射角，行星离开太阳的最远距离等。

17世纪初已有一些实际推测，但缺乏理论上的证明。

（4）求积问题。

包括求曲线的长度（例如行星在椭圆轨道上运行的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心等。

古希腊人的穷竭法只对一些简单的面积和体积有效，缺乏一般性，但它却是微积分的萌芽，受到数学史家的重视。

二、微积分的早期工作在数学史上，积分概念先于微分概念产生，是与某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中引起的。

后来对曲线作切线问题和函数的极大值、极小值问题产生了微分。

微积分发生的汗青配景数学中的转机点是笛卡尔的变数，有了变数，活动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学跟积分学也就破即成为须要的了，而它们也就破即发生，同时是有牛顿跟莱布尼兹年夜要上实现的，但不是由他们创造的。

恩格斯从15世纪初欧洲文艺振兴时代起，产业、农业、帆海奇迹与商贾商业的年夜范围开展，构成了一个新的经济时代，宗教变革与对教会思维监禁的疑心，西方进步的迷信技巧经过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国毁灭后希腊少量文献的流入欧洲，在事先的常识阶级眼前出现出一个完整斩新的相貌。

而十六世纪的欧洲，正处在资源主义抽芽时代，消费力掉掉了非常年夜的开展，消费理论的开展向天然迷信提出了新的课题，急切请求力学、地理学等根底学科的开展，而这些学科基本上深入依附于数学的，因此也推进的数学的开展。

迷信对数学提出的各种请求，最初汇总成车个中心咨询题：（1）活动中速率与间隔的互求咨询题〔多少何演示〕即，已经明白物体挪动的间隔S表为时间的函数的公式S=S〔t〕,求物体在恣意时辰的速率跟减速率；反过去，已经明白物体的减速率表为时间的函数的公式，求速率跟间隔。

这类咨询题是研讨活动时直截了当出现的，艰苦在于，所研讨的速率跟减速率是时时刻刻都在变更的。

比方，盘算物体在某时辰的刹时速率，就不克不及象盘算均匀速率那样，用活动的时间去除挪动的间隔，因为在给定的霎时，物体挪动的间隔跟所用的时间是0，而0/0是有意思的。

然而，依照物理，每个活动的物体在它活动的每一时辰必有速率，这也是无疑的。

已经明白速率公式求挪动间隔的咨询题，也碰到异样的艰苦。

因为速率时时刻刻都在变更，因此不克不及用活动的时间乘恣意时辰的速率，来掉掉物体挪动的间隔。

（2）求曲线的切线咨询题〔多少何演示〕那个咨询题自身是纯多少何的，并且对于迷信使用有宏年夜的主要性。

因为研讨地理的需求，光学是时十七世纪的一门较主要的迷信研讨，透镜的计划者要研讨光芒经过透镜的通道，必需明白光芒入射透镜的角度以便使用反射定律，这里主要的是光芒与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，因此老是就在于求出法线或切线；另一个触及到曲线的切线的迷信咨询题出现于活动的研讨中，求运植物体在它的轨迹上任一点上的活动偏向，即轨迹的切线偏向。

数学史：微积分的诞生与发展引言微积分是数学的重要分支，它的诞生与发展对于数学的发展起到了重要的推动作用。

本文将介绍微积分的起源、发展和一些关键概念。

微积分的起源微积分的起源可以追溯到古代希腊和古代印度。

古代希腊的数学家阿基米德在处理几何问题时，使用了一些近似方法，这可以被看作是微积分的早期形式。

另外，印度的数学家在解决一些代数和几何问题时，也使用了类似的思想和方法。

然而，真正将微积分发展为一门独立学科的人是17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨。

他们独立地发现了微积分的核心概念：导数和积分。

通过引入这些概念，他们成功地将微积分建立为一门完整、有系统的学科。

微积分的发展自牛顿和莱布尼茨提出微积分以来，它得到了广泛的研究和应用。

在18世纪，欧洲的数学家们进一步发展了微积分的理论，特别是概念和技术的严格化。

在19世纪，微积分在分析学中扮演了重要的角色。

数学家们通过对函数的研究和发展，深入探索了微积分的各个方面。

例如，勒贝格引入了测度论，Riemann引入了Riemann积分，从而为微积分提供了更广泛的应用领域。

到了20世纪，随着数学的进一步发展和应用的需求，微积分也在不断演化。

在数理逻辑、函数论、微分方程、数值分析等领域，微积分的概念和技术不断得到推进和扩展。

微积分的关键概念微积分的核心概念包括导数和积分。

导数描述了函数的变化率，而积分则描述了函数的累积效应。

这些概念在数学和物理学中都有广泛的应用，例如求解曲线的斜率、计算面积和体积、描述物理过程的变化等。

除了导数和积分，微积分还涉及到诸多其他的概念和方法，如极限、级数、微分方程等。

这些概念和方法共同构成了微积分这门学科的基础。

结论微积分作为数学的重要分支，扮演着不可替代的角色。

它的诞生与发展凝聚了数学家们的智慧和努力，为理解和描述自然界中的变化和运动提供了关键工具。

通过深入学习微积分的基本概念和方法，我们可以更好地理解数学的美妙之处，也能够将微积分的知识应用到实际问题的解决中。

微积分建立的时代背景和历史意义河北 牛云飞微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用．积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3V r =他用球体“薄片"的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪,伽利略发现了自由落体的运动规律212S gt =,落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆．当t ∆很小时,这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．同时,在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650)建立了坐标系,使几何图形能够用函数来表示,从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具．在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()ba F x dx Fb F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起,揭示了微分和积分的逆运算关系．所不同的是,牛顿（Newton ，1642~1727)创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题,把力学问题归结为数学问题,而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．19世纪,法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套完整的、严谨的理论体系．微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。

微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期;公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想;作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述;比如我国的庄周所着的庄子一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”;三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣;”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念;到了十七世纪,哥伦布发现新大陆,哥白尼创立日心说,伽利略出版力学对话,开普勒发现行星运动规律－－航海的需要,矿山的开发,火松制造提出了一系列的力学和数学的问题,这些问题也就成了促使微积分产生的因素,微积分在这样的条件下诞生是必然的;归结起来,大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题;已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离;困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化;例如,计算瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻,移动的距离和所用的时间都是 0,而 0 / 0 是无意义的;但根据物理学,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,是不容怀疑的;第二类问题是求曲线的切线的问题;这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等;困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题;古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”;这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了;第三类问题是求函数的最大值和最小值问题;十七世纪初期,伽利略断定,在真空中以45°角发射炮弹时,射程最大;研究行星运动也涉及最大最小值问题;困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题;但新的方法尚无眉目;第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力;困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积,尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法,但也必须添加许多技巧,因为这个方法缺乏一般性,而且经常得不到数值的解答;穷竭法先是被逐步修改,后来由微积分的创立而被根本修改了;欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法;它的思想虽然古老,但很重要,阿基米德用得相当熟练,我们就用他的一个例子来说明一下这种方法;二、中国古代数学对微积分创立的贡献微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 ;最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的;前两阶段的工作,欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献;对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的;公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小最小无内、无穷大最大无外的定义和极限、瞬时等概念;刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得圆周率约等于 3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现;微积分思想虽然可追朔古希腊,但它的概念和法则却是16世纪下半叶,开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的;而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到;北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究;南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨着数书九章十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字高次方程近似解,比西方早500多年;特别是13世纪40年代到14世纪初,在主要领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”一次同余式组解法、“垛积术”高阶等差级数求和、“招差术”高次差内差法、“天元术”数字高次方程一般解法、“四元术”四元高次方程组解法、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键; 中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门;可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了;三、对微积分理论有重要影响的重要科学家公正的历史评价,是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的;十七世纪的许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上节四类问题作了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论;为微积分的创立做出了贡献;事实上,牛顿的老师巴罗,就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系;牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想;在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前,微积分的大量知识已经积累起来了;甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等;但最重要的2个人物还是下面两位：1.牛顿：17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大,而且由于实践的需要,开始研究运动着的物体和变化的量,这样就获得了变量的概念,研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系;到了17世纪下半叶,在前人创造性研究的基础上,英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿1642~1727是从物理学的角度研究微积分的,他为了解决运动问题,创立了一种和物理概念直接联系的数学理论,即牛顿称之为“流数术”的理论,这实际上就是微积分理论;牛顿的有关“流数术”的主要着作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷极数;这些概念是力不概念的数学反映;牛顿认为任何运动存在于空间,依赖于时间,因而他把时间作为自变量,把和时间有关的固变量作为流量,不仅这样,他还把几何图形――线、角、体,都看作力学位移的结果;因而,一切变量都是流量;牛顿指出,“流数术”基本上包括三类问题;1已知流量之间的关系,求它们的流数的关系,这相当于微分学;2已知表示流数之间的关系的方程,求相应的流量间的关系;这相当于积分学,牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数,还包括解微分方程;3“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值,求曲线的切线和曲率,求曲线长度及计算曲边形面积等;牛顿已完全清楚上述1与2两类问题中运算是互逆的运算,于是建立起微分学和积分学之间的联系;牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”,因而有人把这一天作为诞生微积分的标志;牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭,艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才,他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力,都是空前卓越的;尽管取得无数成就,他仍保持谦逊的美德;2.莱布尼茨德国数学家莱布尼茨. Leibniz 1646~1716是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才;他博览群书,涉猎百科,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献;他是从几何方面独立发现了微积分,在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过,他们为微积分的诞生作了开创性贡献;但是他们这些工作是零碎的,不连贯的,缺乏统一性;莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的;莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的;牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣较莱布尼茨高一等,但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹,既简洁又准确地揭示出微积分的实质,强有力地促进了高等数学的发展;莱布尼茨创造的微积分符号,正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样,促进了微积分学的发展;莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一;牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了,而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用;莱布尼茨比别人更早更明确地认识到,好的符号能大大节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一;3.优先权的争论从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年,但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚;牛顿系统论述“流数术”的重要着作流数术和无穷极数是1671年写成的,但因1676年伦敦大火殃及印刷厂,致使该书1736年才发表,这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪;不幸的是,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立;英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年;其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的;比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右,但是正式公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年;他们的研究各有长处,也都各有短处;那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年;应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的;他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊;牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说;这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生;直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础;才使微积分进一步的发展开来;四、微积分的现代发展人类对自然的认识永远不会止步,微积分这门学科在现代也一直在发展着;以下列举了几个例子,足以说明人类认识微积分的水平在不断深化;在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后,Lebesgue又引进了测度的概念,进一步将Riemann积分的含义扩展;例如着名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积,而在Lebesgue积分下便可积;前苏联着名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性,建立了广义函数和广义导数的概念;这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义,更重要的是,它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中,从而开辟了微分方程理论的新天地;我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域,便是利用微积分的理论来研究几何,这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用,并且这门学科至今仍然很活跃;前不久由俄罗斯数学家佩雷尔曼完成的庞加莱猜想便属于这一领域;在多元微积分学中,Newton—Leibniz公式的对照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及经典的Stokes公式;无论在观念上或者在技术层次上,他们都是Newton —Leibniz公式的推广;随着数学本身发展的需要和解决问题的需要,仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的;有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形;在微分流形上,外微分式扮演着重要的角色;于是,外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了;而经典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了统一;微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始,进而达到抽象思维,也就是从感性认识到理性认识的过程;人类对客观世界的规律性的认识具有相对性,受到时代的局限;随着人类认识的深入,认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展;人类对自然的探索永远不会有终点;。