2015上海闵行区初三数学_二模_含答案

2015年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0B．=﹣1C．=D．=﹣x4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：=．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1=．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2=．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，=，那么（用，的式子表示）14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AC相切，那么r=．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC=米（用α的三角比和h的式子表示）18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF=．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE的正切值．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）01234余油量y（升）150120906030（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax ﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．2015年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：=3，=2，是无理数．故选B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+【考点】分母有理化．【分析】根据平方差公式，可分母有理化．【解答】解：（a+）（a﹣）=a2﹣b，故选：C．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0B．=﹣1C．=D．=﹣x【考点】无理方程；分式方程的解．【分析】根据非负数的性质判断A和B选项；解分式方程判断C选项；两边平方，解无理方程判断D选项．【解答】解：A、x4+3=0，方程无解，此选项错误；B、=﹣1，方程无解，此选项错误；C、=，解得x=1，是方程的增根，此选项错误；D、=﹣x，解得x=，此选项正确；故选D．【点评】本题主要考查了无理方程与分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解答无理方程的步骤，此题比较简单．4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（）A．九（1）班外出的学生共有42人B．九（1）班外出步行的学生有8人C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人【考点】扇形统计图．【专题】数形结合．【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．【解答】解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%=40人，所以骑车的占12÷40=30%，步行人数=40﹣12﹣20=8人，所占的圆心角度数为360°×20%=72°，如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人．故选：B．【点评】本题主要考查扇形统计图及用样本估计总体等知识．统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体的知识．5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【考点】命题与定理．【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【解答】解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：=2．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做a的算术平方根，解答出即可；【解答】解：根据算术平方根的定义，得，==2．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1=a2．【考点】负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：原式=a3+（﹣1）=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2=x2（x﹣4）．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=x2（x﹣4）．故答案为：x2（x﹣4）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是≤x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集为≤x＜2，故答案为：≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣1．【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是y=x﹣1．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据平移k值不变及上移加，下移减可得出答案．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y=x+1﹣2，即y=x﹣1．故答案为：y=x﹣1．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，=，那么+（用，的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，且AB=3CD，可求得，然后利用三角形法则求得，再由AB∥CD，证得△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，且AB=3CD，∴==，∴=+=+，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∴==×（+）=+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用．14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AC相切，那么r=．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求出AB的长，⊙C与AB相切，则圆心C到AB的距离就是半径的长，根据面积公式求出点C到AB的距离即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，设圆心C到AB的距离为d，则×3×4=×5×d，d=，根据⊙C与AB相切，则圆心C到AB的距离就是半径的长，r=，故答案为：．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出选中小敏和小杰的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：小敏，小杰还有其他同学分别用1，2，3表示，列表得：1231﹣﹣﹣（1，2）（1，3）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）3（3，1）（1，3）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中选中小敏和小杰情况有2种，则P==，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为﹣=30．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设共有x位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，根据题意可得，加入2名同学之后每人可少分担30元，列方程即可．【解答】解：设共有x位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，由题意得，﹣=30．故答案为：﹣=30．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC=米（用α的三角比和h的式子表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=α，AB=h，∴BC=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF=﹣1．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，得到∠CAB=∠ABC=45°，由△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，求出∠CAD=∠C′AD，于是得到∠ABF=135°，求得∠F=30°，根据直角三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，∴∠CAD=∠C′AD，∵∠DAB=∠BAF，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=15°，∵∠ABF=135°，∴∠F=30°，∴CF==，∴BF=CF﹣BC=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．【解答】解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．【考点】高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：，由②得，x﹣y=0，x﹣2y=0，把这两个方程与①组成方程组得，，，解得，．故方程组的解为：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，解答时，用代入法比较简单，如果其中的二元二次方程可以因式分解化为两个二元一次方程，与另一个方程组成两个二元一次方程组，解答更简单．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE的正切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD和CD，即可得出答案；（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2）2﹣AM2=42﹣（2﹣AM）2，求出AM，求出CM，即可求出答案．【解答】解：（1）如图，连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC=2，sin∠B=，∴=，∴AD=4，由勾股定理得：BD=2，∴DC=BD=2，BC=4，∵CE=BC，∴CE=4，∴DE=2+4=6；（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE===2，∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，∴（2）2﹣AM2=42﹣（2﹣AM）2，解得：AM=，CM===，∴∠CAE的正切值是==．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定的难度．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）01234余油量y（升）150120906030（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y=kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k和b值；（2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量．【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x 满足一次函数关系，设y=kx+b，（k≠0）则，解得：，∴y=﹣30x+150．（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10（3分）即：150﹣120﹣6+W≥118解得W≥94，答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）过D作DG⊥BC于G，构造成矩形，然后通过三角形全等得到结论．（2）根据等腰三角形的性质三线合一，证得线段的垂直平分线，由等边对等角得到∠FEC=∠FCE，通过三角形相似得到∠BEF=∠FCE，于是得出∠BEF=∠CEF．【解答】（1）证明：过D作DG⊥BC于G，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∴四边形ABGD是矩形，∴∠ADG=90°，DG=AB，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△AED与△GCD中，，∴△AED≌△GCD，∴DE=CD；（2）由（1）知：DE=CD，∵DF平分∠EDC，∴DF⊥CE，∴EF=CF，∴∠FEC=∠FCE，∵BE2=BF•BC，∴=，∵∠B=∠B，∴△EFB∽△CEB，∴∠BEF=∠FCE，∴∠BEF=∠CEF．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，辅助线的作法是解题的关键．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax ﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB为半径的圆D与圆C外切，求圆C的半径；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程求得a的值；然后利用抛物线解析式来求对称轴方程；（2）根据抛物线解析式可以求得点B、C的坐标，结合已知条件“AD=AC”可以得到点D的坐标，由点的坐标与图形的性质来求圆C的半径；（3）利用等腰△ACD、线段垂直平分线的性质得到∠AMC=∠BND，然后由三角形内角和推知∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，则∠A=∠BDN，易得DN∥AC，所以，根据平行线分线段成比例求得==．【解答】解：（1）把（﹣3，0）代入y=ax2﹣2ax﹣4得：9a+6a﹣4=0，解得：a=，则抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣4，对称轴是x=﹣=1，即x=1；（2）在y=x2﹣x﹣4中，令y=0，得x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或5．则B的坐标是（5，0）．在y=x2﹣x﹣4中令x=0，解得：y=﹣4，则C的坐标是（0，﹣4）．AC===5，则D的坐标是（2，0），∴CD=2，BD=3．当两圆外切时，R C+BD=CD，R C=2﹣3．则圆C的半径是：2﹣3；（3）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD，又∵线段MN被直线CD垂直平分，∴∠DCB=∠DCM，∴∠ACM=∠B．又∵∠DNC=∠DMC，∴∠AMC=∠BND，∴∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，∴∠A=∠BDN，∴DN∥AC，∴==．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形判定和性质、点的坐标与图形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（3）中弄清DN∥AC是解题的关键．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到EF是△AND的中位线，利用三角形中位线定理进行解答即可；（2）设AM=x．利用（1）中相似三角形的性质得到==，==，利用图中相关图形的面积间的数量关系和已知条件列出=S△AND．由此求得x的值；关于x的方程[1﹣﹣]S△AND（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q．需要分类讨论：当△ABN∽△DCN、△ABN∽△NCD两种情况，利用相似三角形的对应边成比例求得BN=CN=5，然后利用勾股定理计算AM的长度．【解答】解：（1）如答图1，∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD，又∵ME∥DN，MF∥AN，∴===，∴AE=EN．同理，NF=FD，∴EF是△AND的中位线，∴EF=AD=2；（2）设AM=x．则==，==，=[1﹣﹣]S△AND=S△AND．∴S四边形MENF解得x1=1，x2=3，∴AM的长度是1或3；（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，则PQ=AD=4，BP=CQ=3．当△ABN∽△DCN时，==1，∴BN=CN=5．∴DN=AN==5．又===，∴△NAD∽△BAN∽△CDN．当△ABN∽△NCD时，=，解得BN=CN=5，∴DN=AN==5．综上所述，当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN=5．【点评】本题考查了相似综合题．该题综合性比较强，涉及到了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题时，运用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；2300680618；733599；lbz；gsls；wangjc3；sks；zjx111；HJJ；zcx；1286697702；sjzx；王学峰；sdwdmahongye；dbz1018（排名不分先后）菁优网2015年12月7日考点卡片1．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．3．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解x2﹣2=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）4．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．6．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．9．无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配。

1.（2017年嘉定宝山）已知：8=AB ，⊙O 经过点A 、B .以AB 为一边画平行四边形ABCD ，另一边CD 经过点O （如图8）.以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交线段OC 于点E （点E 不与点O 、点C 重合）.（1）求证：OE OD =；（2）如果⊙O 的半径长为5（如图9），设x OD =，y BC =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为5，联结AC ，当AC BE ⊥时，求OD 的长.2.（2017年普陀）如图10，半圆O 的直径AB ＝10，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC ⊥CD ，FD ⊥CD ． （1）求证：EO OF =；（2）联结OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45 ，求线段EF 的长； （3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．图9 B O A 备用图 B OA 图8 E CB A O D 图103.（2017年崇明）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，tan 2D =，点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合），将BCE ∆沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ． （1）如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE x =，BFC EFCS y S ∆∆=，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当CBG ∆是等腰三角形时，求CE 的长．ABCDEFM NEDCFABEDC FAB GD CAB（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）（第25题备用图）4.（2017年杨浦）已知：以O 为圆心的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为»AB 上一动点，射线AC 交射线OB 于点D ，过点D 作OD 的垂线交射线OC 于点E ，联结AE . （1） 如图1，当四边形AODE 为矩形时，求∠ADO 的度数； （2） 当扇形的半径长为5，且AC =6时，求线段DE 的长；（3） 联结BC ，试问：在点C 运动的过程中，∠BCD 的大小是否确定？若是，请求出它 的度数；若不是，请说明理由.5.（2017年奉贤）已知：如图9，线段AB =4，以AB 为直径作半圆O ，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC ，过点C 作CD //AB ，且CD =PC ，过点D 作DE//PC ，交射线PB 于点E ，PD 与CE 相交于点Q ． （1）若点P 与点A 重合，求BE 的长； （2）设PC = x ，y CEPD，当点P 在线段AO 上时，求y 与x 的函数关系式及定义域； （3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图9ACPOBD E Q备用图AO BCA OBCD E（备用图） A O B CD E （图1）6.（2017年闵行）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠B = 90°，AB = 4，BC = 9，AD = 6．点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BF = 2DE ，联结FE ．FE 的延长线与CD 的延长线相交于点P ．设DE = x ，PEy EF ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当以ED 为半径的⊙E 与以FB 为半径的⊙F 外切时，求x 的值；（3）当△AEF ∽△PED 时，求x 的值．7.（2017年长宁金山）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长； （2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第25题图A B CDE F P （第25题图）A B C D （备用图）EP 第25题图 C AB D8.（2017年虹口）如图，在△ABC 中，AB=AC =5，cos B =45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ，∠BPD=∠BAC ．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，联结CE ，设BD=x ，CE=y ． （1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C 、E ，且⊙O 经过点B ，当OP=54时，求AD 的长．9.（2017年浦东新区）如图所示，︒=∠45MON ，点P 是MON ∠内一点，过点P 作OM PA ⊥于点A 、ON PB ⊥于点B ，且22=PB ．取OP 的中点C ，联结AC 并延长，交OB 于点D ．（1）求证：OPB ADB ∠=∠；（2）设x PA =，y OD =，求y 关于x 的函数解析式；（3）分别联结AB 、BC ，当ABD △与CPB △相似时，求PA 的长．（第25题图）（备用图）10.（2016年崇明）如图，已知BC 是半圆O 的直径，8BC =，过线段BO 上一动点D ，作AD BC ⊥交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH AO ⊥，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH BD =；（2）设BD x =，BE BF y ⋅=，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当FAE ∆与FBG ∆相似时，求BD 的长度．11.（2016年宝山嘉定）如图8，⊙O 与过点O 的⊙P 相交于AB ，D 是⊙P 的劣弧OB 上一点，射线OD 交⊙O 于点E ，交AB 的延长线于点C .如果AB =24，32tan =∠AOP . (1) 求⊙P 的半径长；(2) 当△AOC 为直角三角形时，求线段OD 的长； (3) 设线段OD 的长度为x ，线段CE 的长度为y ，求y 与x 之间的函数关系式及其定义域．（第25题图1）ABDOE HFC（第25题图2） CO D B G A F H E 图8_C _ E _B _O_P_A_ D12.（2016年长宁金山）如图, 已知在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, AB =5, 4sin 5A, P 是边BC 上的一点, PE ⊥AB , 垂足为E , 以点P 为圆心, PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q , 线段CQ 与边AB 交于点D . （1）求AD 的长;（2）设CP =x , △PCQ 的面积为y , 求y 关于x 的函数解析式, 并写出定义域;（3）过点C 作CF ⊥AB , 垂足为F , 联结PF 、QF , 如果△PQF 是以PF 为腰的等腰三角形, 求CP 的长.13.（2016年闸北）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙B 与边AB 相交于点D ，与边BC 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ． （1）当⊙B 与直线AC 相切时，求x 的值；（2）设DC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若以AC 为直径的⊙P 经过点E ，求⊙P 与⊙B 公共弦的长．BCAP EQDBCACB ADE （第25题图）14.（2016年闵行）如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 6，AH ⊥BC ，垂足为点H ．点D 在边AB 上，且AD = 2，联结CD 交AH 于点E ．（1）如图1，如果AE = AD ，求AH 的长；（2）如图2，⊙A 是以点A 为圆心，AD 为半径的圆，交线段AH 于点F ．设点P 为边BC 上一点，如果以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，求边BC 的长；（3）如图3，联结DF ．设DF = x ，△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．15.（2016年松江）已知：如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠BCD =90º， BC=11，CD=6，tan ∠ABC =2，点E 在AD 边上，且AE=3ED ，EF //AB 交BC 于点F ，点M 、N 分别在射线FE 和线段CD 上．（1）求线段CF 的长； （2）如图2，当点M 在线段FE 上，且AM ⊥MN ，设FM ·cos ∠EFC =x ，CN =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段FM 的长．AB C H D （第25题图1) E AB C H D E（第25题图3) F P AB C H D E（第25题图2) F （第25题图1）AC B DE F（第25题图2）AC B DE FNM （备用图）A CBDE F16.（2016年黄埔）如图7，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，1AC =，BC =7，点D 是边CA 延长线上的一点，AE ⊥BD ，垂足为点E ，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，联结CE 交AB 于点G ．（1）当点E 是BD 的中点时，求tan AFB ∠的值；（2）CE AF 的值是否随线段AD 长度的改变而变化，如果不变，求出CE AF 的值；如果变化，请说明理由；（3）当BGE ∆与BAF ∆相似时，求线段AF 的长．19.（2016年杨浦）已知：半圆O 的直径AB =6，点C 在半圆O 上，且tan 22ABC ∠=，点D 为AC 上一点，联结DC （如图）．（1）求BC 的长；（2）若射线DC 交射线AB 于点M ，且△MBC 与△MOC 相似，求CD 的长； （3）联结OD ，当OD//BC 时，作∠DOB 的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长．图7AB C DEF G （第25题备用图） A B O C A B O C D（第25题图）20.（2016年奉贤） 已知：如图，在边长为5的菱形ABCD 中，cos A =35，点P 为边AB 上一点，以A 为圆心、AP 为半径的⊙A 与边AD 交于点E ，射线CE 与⊙A 另一个交点为点F ． （1）当点E 与点D 重合时，求EF 的长；（2）设AP =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P ，使得 2EF PE =⋅，若存在，求AP 的长，若不存在，请说明理由．21.（2016年普陀）如图9，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，14AC =，3tan 4A =，点D 是边AC 上的一点，8AD =．点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA 为半径作圆，经过点D ．点F 是边AC 上一动点（点F 不与A 、C 重合），作FG EF ⊥，交射线BC 于点G ． （1）用直尺圆规作出圆心E ，并求圆E 的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 在边BC 上时，设AF x =，CG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG ，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．DCBA E F第25题图P DCBA备用图DCBA图9DCBA图9备用图22.(2016年浦东）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠= ，6BC =，点D 为斜边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点．联结DE ，过点E 作DE 的垂线与边BC 交于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ．（1）如图1，当8AC =，点G 在边AB 上时，求DE 和EF 的长； （2）如图2，若12DE EF =，设AC x =，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）若23DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求AC 的长．23.(2015年黄埔）如图8，Rt △ABC 中，90C ︒∠=，30A ︒∠=，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E 为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．（1）求线段CD 、AD 的长；（2）设CE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．GFED C BA 第25题 图2A BC D EFG 第25题 图1 ABCD备用图DCBA(备用图）图8GFDCB A E23.(2015年奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．23.(2015年松江区）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，552sin =∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．DCB （第25题图）AB（备用图）AABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）23.(2015年闵行区）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．23.(2015年嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．A B C D M N E F（图1）A B C D M NE F （第25题图）A CB (M )ED 图10ACBMED图11。

闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中，是无理数的是（A（B ）2π； （C ）247； （D2．a（A）2(a ； （B）2(a ； （C）a （D）a3．下列方程中，有实数根的方程是（A ）430x +=； （B1-；（C ）22111x x x =--； （Dx =-． 4．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说确的是 （A ）九（3）班外出的学生共有42人； （B ）九（3）班外出步行的学生有8人；（C ）在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为82º； （D ）如果该校九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人．5．下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是 （A ）矩形； （B ）菱形； （C ）平行四边形； （D ）等腰梯形．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………乘车50% 步行 x % 骑车 y %（第4题图）6．下列命题中假命题是（A ）平分弦的半径垂直于弦；（B ）垂直平分弦的直线必经过圆心；（C ）垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧； （D ）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：124= ▲ ． 8．计算：31a a -⋅= ▲ ．9．在实数围分解因式：324x x -= ▲ ． 10．不等式组34,222x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程220x x m --=没有实数根，那么m 的取值围是 ▲ ．12．将直线113y x =+向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式为 ▲ ．13．如图，已知在梯形ABCD 中，AB // CD ，且AB = 3CD ．设 AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么AO =u u u r ▲ （用a r 、b r的式子表示）．14．在Rt △ABC 中，∠C = 90º，AC = 3，BC = 4．如果以点C为圆心，r 为半径的圆与直线AB 相切，那么r = ▲ ．15．从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的 志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率为 ▲ ．16．某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x 位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为 ▲ ．17．小丽在大楼窗口A 处测得校园旗杆底部C 的俯角为α度，窗口离地面高度AB = h （米），那么旗杆底部与大楼的距离BC = ▲ 米（用α的三角比和h 的式子表示）． 18．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处，联结AC ′，直线AC ′与边CB 的延长线相交于点F ．如果∠DAB =∠BAF ，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）AB C （第18题图） A BD C（第13题图）O（第17题图）20．（本题满分10分）解方程：22212,320.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB AC ==sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长； （2）∠CAE 的正切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：取值围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油?（根据驾驶经验，为保险起见，油箱剩余油量应随时不少于10升）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90º，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =⋅，求证：∠BEF =∠CEF ．A B C D E F （第21题图） （第23题图）A BCDEF24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D 在线段AB 上，AD = AC ． （1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径； （3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN 的值．25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．A B C D M N E F（图1）（第24题图） A B C D M NE F （第25题图）闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．D ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2； 8．2a ； 9．2(4)x x -； 10．223x ≤<； 11．1m <-；12．113y x =-； 13．1233a b +r r；14．125；15．13；16．12001200302x x -=-；17．tan h α（或cot h α⋅）；181．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式13=+-………………………………………………（6分）4=． ……………………………………………………………………（4分）20．解：由① 得 122x y =-． ③ ……………………………………（2分）把③ 代入②，得 22(122)3(122)20y y y y ---+=．整理后，得 27120y y -+=．……………………………………………（2分） 解得 13y =，24y =． ……………………………………………………（2分） 分别代入③，得 16x =，24x =．…………………………………………（2分）所以，原方程组的解是116,3,x y =⎧⎨=⎩ 224,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………（2分）另解：由② 得 ()(2)0x y x y --=．………………………………………………（2分）即得 0x y -=，20x y -=． ………………………………………………（2分） 原方程组化为212,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩212,20.x y x y +=⎧⎨-=⎩…………………………………………（2分） 解得原方程组的解为 114,4,x y =⎧⎨=⎩ 226,3.x y =⎧⎨=⎩……………………………………（4分）21．解：（1）联结AD ．∵ AB = AC ，D 为边BC 的中点，∴ AD ⊥BC ．…………………（1分）在Rt △ABD 中，由AB =sin B ∠=， 得sin 4AD AB B =⋅∠==． ……………………………（1分）∴2BD =．∴ 24BC BD ==．……………………………………………………（1分） ∵ CE = BC ，∴ CE = 4．即得 DE = 6．………………………（1分） 在Rt △ADE 中，利用勾股定理，得AE===又∵F是边AE的中点，∴12DF AE=．…………………（1分）（2）过点C作CH⊥AE，垂足为点H．∵CH⊥AE，AD⊥BC，∴∠CHE =∠ADE = 90º．……………（1分）又∵∠E =∠E，∴△CHE∽△ADE．……………………………（1分）∴CH EH CEAD DE AE==，即得46CH EH=．解得CH=EH．…………………………………（1分）∴AH AE EH=-=．………………………（1分）∴4tan7CHCAEAH∠===．…………………………………（1分）22．解：（1）设所求函数为y k x b=+．…………………………………………（1分）根据题意，得150,120.bk b=⎧⎨+=⎩…………………………………………（1分）解得30,150.kb=-⎧⎨=⎩………………………………………………………（2分）∴所求函数的解析式为30150y x=-+．………………………（1分）（2）设在D处至少加w升油．根据题意，得36046012150********60w-⨯--⨯+≥⨯⨯+．……（3分）解得94w≥．…………………………………………………………（1分）答：D处至少加94升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回D处加油．…………………………………………………………………………………（1分）说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分．23．证明：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．∵AD // BC，∴∠ADH =∠DHC．……………………………（1分）∵DH⊥BC，∴∠ADH =∠DHC = 90º．即得∠ADH =∠EDC = 90º．……………………………………（1分）∵ADE ADH EDH∠=∠-∠，CDH EDC EDH∠=∠-∠，∴∠ADE =∠CDH．………………………………………………（1分）∵AD // BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴AB = DH．∵AB = AD，∴AD = DH．又∵∠A =∠DHC = 90º，∴△ADE≌△DHC．………………（2分）∴DE = DC．………………………………………………………（1分）（2）∵ DE = DC ，∠EDF =∠CDF ，∴ DF 垂直平分CE ．………（1分）∴ FE = FC ．即得 ∠FEC =∠FCE ．……………………………（1分）∵ 2BE BF BC =⋅，∴ BE BCBF BE=． 又∵ ∠B =∠B ，∴ △BEC ∽△BEF ．…………………………（2分） ∴ ∠BCE =∠BEF ．………………………………………………（1分） ∴ ∠BEF =∠CEF ．………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴ 2(3)2(3)40a a ----=．………………………………………（1分）解得 415a =．…………………………………………………………（1分） ∴ 所求抛物线的关系式为 24841515y x x =--．…………………（1分）抛物线的对称轴是直线 1x =． ……………………………………（1分） （2）当 0x =，时，4y =-，即得 C （0，-4）．又由 A （-3，0），得 5AC =．…………（1分） ∴ AD = AC = 5．又由 A （-3，0），得 D （2，0）．∴ CD =1分） 又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得 B （5，0）． ∴ BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵ 圆D 与圆C 外切，∴ CD = BD + r ．…………………………（1分）即得 3r =+．解得 3r =．……………………………………………………（1分）∴ 圆C 的半径长为3． （3）联结DN ．∵ AC = AD ，∴ ∠ACD =∠ADC ．………………………………（1分） ∵ 线段MN 被直线CD 垂直平分，∴ MD = ND ． 即得 ∠MDC =∠NDC ．∴ ∠NDC =∠ACD ．∴ ND // AC ．∴ BN BD NC DA=．………………………………………………………（1分） 即得 AD = 5．…………………………………………………………（1分） ∴ AB = 8，即得 BD = 3,．∴ 35BN BD CN DA ==．……………………………………………………（1分）25．解：（1）∵AD // BC，EF // BC，∴EF // AD．……………………………（1分）又∵ME // DN，∴四边形EFDM是平行四边形．∴EF = DM．…………………………………………………………（1分）同理可证，EF = AM．…………………………………………………（1分）∴AM = DM．∵AD = 4，∴122EF AM AD===．……………………………（1分）（2）∵38ADNMENFS S∆=四边形，∴58AME DMF ADNS S S∆∆∆+=．即得58AME DMFADN ADNS SS S∆∆∆∆+=．……………………………………………（1分）∵ME // DN，∴△AME∽△AND．∴22AMEADNS AMS AD∆∆=．……………………………………………………（1分）同理可证，△DMF∽△DNA．即得22DMFADNS DMS AD∆∆=．……………（1分）设AM = x，则4DM AD AM x=-=-．∴22(4)516168x x-+=．………………………………………………（1分）即得2430x x-+=．解得11x=，23x=．∴AM的长为1或3．………………………………………………（1分）（3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似．……………………………（1分）∵AD // BC，AB = DC，∴∠B =∠C．由AD // BC，得∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分）于是，由∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC，得∠DNC =∠BAN．∴△ABN∽△DNC．又∵∠ADN =∠DNC，∴△AND∽△DNC．∴△ABN∽△AND∽△DNC．∴AB BNNC CD=，AN ADBN AN=．………………………………………（1分）设BN = x，则NC = 10 –x．∴5105xx=-．即得210250x x-+=．解得5x=．……………………………（1分）经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．∴5BN CN==．∴45ANAN=．即得AN=1分）∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为。

上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）22．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABC D是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=．8．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．9．（4分）方程=1的根是．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=（用、的式子表示）．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）18．（4分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos ∠ABC=，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD= ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算： +（﹣1）﹣2cos45°+8．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知一次函数y=﹣2x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC=90°，tan ∠ABC=． （1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得2S △ABM =S △ABC ，求点M 的坐标．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？23．（12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF是菱形．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）在下列各式中，二次单项式是（）A．x2+1 B．xy2C．2xy D．（﹣）2【解答】解：由题意可知：2xy是二次单项式，故选：C．2．（4分）下列运算结果正确的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．2a2+a=3a3C．a3•a2=a5 D．2a﹣1=（a≠0）【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；（B）2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y 随着x的增大而减小，那么它的图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选：A．4．（4分）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．5．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD 是菱形，故本选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形，故本选项错误；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．6．（4分）点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：|﹣1|+22=5．【解答】解：原式=1+4=5，故答案为：58．（4分）在实数范围内分解因式：4a2﹣3=．【解答】解：4a2﹣3=．故答案为：．9．（4分）方程=1的根是1．【解答】解：两边平方得2x﹣1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．11．（4分）已知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=﹣x平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为y=﹣x+5．【解答】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案是：y=﹣x+5．12．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．13．（4分）已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为8．【解答】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是=0.7，又∵第五组的频率是0.10，∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为：8．14．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE=2ED．设=，=，那么=﹣（用、的式子表示）．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴==，==，∵AE=2DE，∴=，∵=+．∴=﹣，故答案为﹣．15．（4分）如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣2中a=﹣1，b=3，c=﹣2，且﹣1的相反数是1，与b 相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y=﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y=x2+3x﹣．故答案是：y=x2+3x﹣．16．（4分）如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为cotα（或）．（用锐角α的三角比表示）【解答】解：如图所示：∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=（或），故答案为：（或），17．（4分）如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为17.3米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【解答】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3．∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．18．（4分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=12﹣12．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFC D为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算： +（﹣1）﹣2cos45°+8．【解答】解：原式=﹣1+1﹣2×+2=﹣+2=2．20．（10分）解方程组：【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0x﹣2y=0或x+y=0…………………………………………（2分）原方程组可化为，………………………………（2分）解得原方程组的解为，…………………………………（5分）∴原方程组的解是为，……………………………………（6分）21．（10分）已知一次函数y=﹣2x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC=90°，tan ∠ABC=． （1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得2S △ABM =S △ABC ，求点M 的坐标．【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x +4=0，解得x=2，∴点A 坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B 坐标是（0，4）．∴AB===2．∵∠BAC=90°，tan ∠ABC==，∴AC=AB=．如图1，过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，∠BAO +∠ABO=90°，∠BAO +∠CAD=90°，∵∴∠ABO=∠CAD ，，∴△OAB ∽△DAC ． ∴===，∵OB=4，OA=2，∴AD=2，CD=1，∴点C 坐标是（4，1）．（2）S △ABC =AB•AC=×2×=5．∵2S △ABM =S △ABC ，∴S △ABM =．∵M （1，m ），∴点M 在直线x=1上；令直线x=1与线段AB 交于点E ，ME=m ﹣2； 如图2，分别过点A 、B 作直线x=1的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG=OA=2；∴S △ABM =S △BME +S △AME =ME•BG +ME•AF=ME （BG +AF ） =ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m ﹣2=， m=，∴M （1，）．22．（10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【解答】解：设自行车的平均速度是x 千米/时． 根据题意，列方程得﹣=，解得：x 1=15，x 2=﹣30．经检验，x 1=15是原方程的根，且符合题意，x 2=﹣30不符合题意舍去． 答：自行车的平均速度是15千米/时．23．（12分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF•BC=AB•BD ；（2）求证：四边形ADGF 是菱形．【解答】证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD．…………………………………………………（1分）∴．………………………………………………………（1分）∴BF•BC=AB•B D．………………………………………………（1分）（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分）∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分）∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分）又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分）∴AF=FG．……………………………………………………………（1分）∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【解答】解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标D（﹣1，4）；（2）令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴A（﹣3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA，在Rt△BOC中，tan∠OCB==，∵AC==3，DC==，AD==2，∴AC2+DC2=20=AD2；∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC===，又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB；（3）令Q（x，y）且满足y=﹣x2﹣2x+3，A（﹣3，0），D（﹣1，4），∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即（x+3）2+y2=（x+1）2+（y﹣4）2，化简得：x﹣2+2y=0，由，解得，．∴点Q的坐标是（，），（，）．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果=2，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°∴AB=10，如图1，过E作EH⊥AB于H，在Rt△ABC中，sinB=，cosB=在Rt△BEH中，BE=BF=x，∴EH=x，EH=x，∴FH=x，在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2=（x）2+（x）2=x2，∴y=x（0＜x＜8）（2）如图2，取的中点P，联结BP交ED于点G∵=2，P是的中点，EP=EF=PD．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵EP=EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED=2EG=2DG，又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC，又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG．∴EH=EG=GD=x．在Rt△CEA中，∵AC=6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==∴BE=8﹣=∴ED=2EG=x=，（3）四边形ABDC不可能为直角梯形，①当CD∥AB时，如图3，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△CBD中，∵BC=8．∴CD=BC•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE．∴=，；∴．∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形，②当AC∥BD时，如图4，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD=∠CDB=90°．∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD=90°．∴∠ABD=∠ACB+∠BCD＞90o．与∠ACD=∠CDB=90°矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．即：四边形ABDC不可能是直角梯形21 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上海市闵行区20XX年中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）、B与=（、3．（4分）（2013•闵行区二模）不等式组：的解集是（）＞＜＜x≤1，∴解集为25．（4分）（2013•闵行区二模）在△ABC与△A′B′C′中，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，要使二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2013•闵行区二模）计算：=2．=8．（4分）（2013•闵行区二模）因式分解：2x2y﹣xy=xy（2x﹣1）．9．（4分）（2013•闵行区二模）方程的根是x=2．10．（4分）（2013•闵行区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤4．11．（4分）（2013•闵行区二模）一次函数y=2（x﹣1）+5的图象在y轴上的截距为3．12．（4分）（2013•闵行区二模）已知反比例（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），那么当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小）．解：∵反比例函数13．（4分）（2013•闵行区二模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线x=．﹣﹣=．．14．（4分）（2013•闵行区二模）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．=．故答案为15．（4分）（2013•闵行区二模）在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，，，那么=（用和表示）．=，，又由平行四边形法则求得：==+，则问题得解．OA=OC==，=，，=++，==（+）．故答案为：．16．（4分）（2013•闵行区二模）已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2、5，如果⊙O1与⊙O2相交，那么这两圆的圆心距d的取值范围是3＜d＜7．②17．（4分）（2013•闵行区二模）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于4．EC=BC18．（4分）（2013•闵行区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B与点F重合，如果∠ADF=45°，那么∠CEF= 35度．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2013•闵行区二模）先化简，再求值：，其中．•．时，原式=20．（10分）（2013•杨浦区二模）解方程组：）式组成方程组：或，经检验，原方程组的解是：21．（10分）（2013•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A 为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，联结GE．已知DE=10，，．求：（1）⊙A的半径AD的长；（2）∠EGC的余切值．DAF=，利用勾股定理即可求得DF=EF=DE=DAF=，==．FEG=．EGC=22．（10分）（2013•闵行区二模）为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安装分时电表，每天6：00至22：00用电每千瓦时0.61元，每天22：00至次日6：00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年9月随意记录了该月6天的用电情况，见下表（单位：用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．（2）如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6：00至22：00与22：00至次日6：00两个时段的用电量各为多少千瓦时？（注：以上统计是从每个月的第一天6：00至下一个月的第一天6：00止）=24023．（12分）（2013•闵行区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；（2）如果AD=，求证：四边形DGEC是正方形．BG=CG=BG=CG=AB DC=24．（12分）（2013•闵行区二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与y 轴相交于点A，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B（1，0），D为顶点．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将上述二次函数的图象沿y轴向上或向下平移，使点D的对应点C在一次函数y=x+3的图象上，求平移后所得图象的表达式；（3）设点P在一次函数y=x+3的图象上，且S△ABP=2S△ABC，求点P的坐标．．AC==AP=2AC=2CP=CA+AP=3=，CA==AC=．AP=2AC=225．（14分）（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k的值．，证出==AB=4PC==4PCEF=PC=2BE=EC BE=x﹣PC•﹣AD=8PF=PC==，AB=4PC===4PCEF=PC=2，=2BE=ECBE=﹣﹣PF==x﹣﹣+AD=8PC。

闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式22n a b c 是六次单项式，那么n 的值取 （A ）6；（B ）5；（C ）4；（D ）3．2（A（B（C1；（D1．3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（A ）3y x =；（B ）3y x =-；（C ）3y x =； （D ）3y x=-． 4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（A ）平均数；（B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是 （A ）正五边形； （B ）等腰梯形； （C ）平行四边形； （D ）圆．6．下列四个命题，其中真命题有 （1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅o ．（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ▲ ．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………8．在实数范围内分解因式：32a a -= ▲ ． 92=的解是 ▲ ． 10．不等式组30,43x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程20x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．12．将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为 ▲ ．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边 形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊 的等对角线四边形的名称 ▲ ．14．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，且BC = 3AD ，点E 是边DC 的中点．设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，那么AE =u u u r▲ （用a r 、b r 的式子表示）． 15．布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是 ▲ ．16．9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ . 17．点P 为⊙O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP1819．（本题满分10分）11212(cos60)32--++-o． 20．（本题满分10分）解方程：222421242x x x x x x-+=+--． 21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC 中，∠ABC = 30o ，BC = 8，sin A ∠=，BD 是AC 边上的中线． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的余切值．ABD C（第14题图）E（第16题图）学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图 BCD（第21题图）22．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为i =1∶512，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53o 时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡 AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是 多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8≈o ，cos530.6≈o ，tan53 1.33≈o ，cot 530.75≈o ）．23．（本题满分12分，其中每小题各6分） 如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于 点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax xc =++与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线l ．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M 的坐标；（2）如果直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直 线l 的对称点为N ，试证明四边形CDAN （3）点P 在直线l 上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 6，且AD = 2，联结CD 交AH 于点E ．（1）如图1，如果AE = AD ，求AH （2）如图2，⊙A 是以点A 为圆心，AD 边BC 上一点，如果以点P 为圆心，BP 半径的圆与⊙A 内切，求边BC 的长；（3）如图3，联结DF ．设DF = x ，△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（第25题图3)AB DC E （第22题图）F （第25题图2)（第24题图） （第23题图）AB CD EG OH闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．B；3．B；4．C；5．D；6．A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4；8．(a a a；9．12x=；10．335x-<≤；11．14m<-；12．2-；13．矩形，等腰梯形，正方形（任一均可）；14．122a b+r r；15．13；16．15；17．3；18．135．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式112+…………………………………………………（8分）12=………………………………………………………………（2分）20．解：(4)(2)22x x x x--+=+．…………………………………………………（2分）26822x x x x-++=+．…………………………………………………（2分）2560x x-+=．………………………………………………………（2分）13x=，22x=．……………………………………………………（2分）经检验3x=是原方程的解，2x=是增根，舍去．………………………（1分）所以原方程的解是3x=．……………………………………………………（1分）21．解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为点E．∵CE⊥AB，∴∠CEB =∠CEA = 90o．在Rt△CBE中，∵∠ABC = 30o，BC = 8，∴CE = 4．………………（1分）利用勾股定理，得BE=．…………（1分）在Rt△CEA中，∵CE = 4，sin A∠=，∴sinCEACA==∠∴8AE=．……………………………（1分）∴8AB AE EB=+=+……………………………………………（1分）∴11(841622ABCS AB CE=⋅=⨯+⨯=+V1分）（2）过点D作DF⊥AB，垂足为点F．∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠DF A=∠CEA = 90o，∴DF // CE．……（1分）又∵BD是AC边上的中线，∴12AD DF AFAC CE AE===．………………（1分）又∵CE = 4，AE = 8，BE=DF = 2，AF = 4，EF = 4．……（1分）∴4BF=+．………………………………………………………（1分）在Rt △DFB 中，∴cot 2BF ABD DF ∠===+…………（1分）22．解：（1）在Rt △BEA 中，222AE BE AB +=．∵i =1∶512，∴设AE = 5k ，BE = 12k ．………………………………（1分）又∵AB =26，∴222(5)(12)26k k +=，…………………………………（1分）解得2k =．………………………………………………………………（1分） ∴AE = 10，BE = 24． …………………………………………………（1分） 答：改造前坡顶与地面的距离BE 的长为24米．……………………（1分） （2）过点F 作FH ⊥AD ，垂足为点H ． ∵BC // AD ，BE ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴24FH BE ==．……………………………………………………（1分）在Rt △FHA 中，∴cot AHFAH FH∠=． 又∵∠F AH = 53o ，∴cot cot 530.7524AHFAH ∠==≈o ．……………（1分）∴18AH =．……………………………………………………………（1分） ∴18108HE AH AE =-=-=．∵FH // BE ，BC // AD ，∴BF = EH = 8．……………………………（1分）答：BF 至少是8米．…………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AE // CF ．∴∠AEO =∠CFO ．…………………（1分）又∵点O 为对角线AC 的中点，∴AO = CO ．………………………（1分） 又∵∠AOE =∠COF ，∴△EOA ≌ △FOC ．………………………（1分） ∴EO = FO ．…………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCE 是平行四边形．……………………………………（1分） 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．……………………………（1分） （2）∵EO = FO ，OF = 2GO ，∴EG = GO ．……………………………（1分）∵矩形ABCD ，EF ⊥AC ，∴∠EDC =∠EOC = 90o ．又∵EGD CGO ∠=∠，∴△EGD ∽△CGO ．………………………（2分）∴EG GC DG GO=．………………………………………………………（1分） 又∵EG = GO ，∴GO GCDG GO=．………………………………………（1分） ∴2GO DG GC =⋅．…………………………………………………（1分） 24．解：（1）抛物线22y ax x c =++经过点C （0，3），∴3c =．…………………………………………………………………（1分） 抛物线223y ax x =++经过点A （-1，0）， ∴2(1)230a ⨯--+=．解得 1a =-．∴所求抛物线的关系式为 223y x x =-++．………………………（1分） 抛物线的对称轴是直线1x =．…………………………………………（1分）顶点坐标M （1，4）．…………………………………………………（1分） （2）直线y kx b =+经过C 、M 两点，点C （0，3），点M （1，4）， ∴34b k b =⎧⎨=+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为3y x =+．……（1分）∴点D 的坐标为（-3，0）．∴AD = 2．………………………………（1分） ∵点C 关于直线l 的对称点为N ， ∴点N 的坐标为（2，3）．……………………………………………（1分） ∴CN = 2=AD ．又∵CN // AD ，∴四边形CDAN 是平行四边形．……………………（1分） （3）过点P 作PH ⊥CD ，垂足为点H ．∵ 以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，∴PH = AP ，即：22PH AP =．………………………………………（1分） 设点P 的坐标为（1，t ），∴4PM t =-，2222AP t =+．∵在Rt △MED 中，点D 的坐标为（-3，0），点M 的坐标为（1，4），∴DE = ME = 4．∴∠DME = 45o ．∴4PH MH t ==-． 即得 2214(4)2t t +=-．………………………………………………（1分）∴ 解得4t =-±．…………………………………………………（1分）∴点P 的坐标为（1，4-+1，4--．……………（1分）25．解：（1）过点H 作HG // CD ，交AB 于点G ．∵AB = AC ，AH ⊥BC ，∴BH = CH ．…………………………………（1分） 又∵HG // CD ，AB = 6，AD = 2，∴DG = BG = 2．…………………（1分） 又∵HG // CD ，∴AE = EH = 2．………………………………………（1分） ∴AH = 4．………………………………………………………………（1分） （2）联结AP ，设BP = t ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP t =+．…………………………………………………………（1分） ∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分）∴4PC t =+．∴24BC t =+．∴122BH BC t ==+．∴2HP =．………………………………………………………………（1分）在Rt △ABH 中，222AH AB BH =-， 在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，可得22226(2)(2)2t t -+=+-．………………………………………（1分）解得：2t =±（负值舍去）∴BC =1分） 另解：联结AP ，设BP = a ，BC = b ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP a =+．…………………………………………………………（1分）∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分） ∴22a b a +=--．即24b a =+．①…………………………………（1分） 在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，在Rt △BCH 中，222AH AC CH =-，可得22211(2)()36()22a b a b +--=-，即：4320a ab +-=．②………………………………………………（1分） 把方程①代入方程②得24160a a +-=解得：2a =±（负值舍去）∴BC b ==．………………………………………………………（1分） （3）过点B 作BM // DF ，交AH 的延长线于点M ．∵BM // DF ，AB = 6，AD = 2，DF = x ， ∴13AD AF DF AB AM BM ===．即：3BM x =，AM = 6．…………………（1分） 设HM k =．在Rt △ABH 中，222BH AB AH =-，在Rt △BHM 中，222BH BM MH =-，∴22226(6)(3)k x k --=-，即234k x =，∴2223(3)()4BH x x =-，2364AH x =-．……………………………（1分）∴322BC BH ==1分）∴21133(6)2224y BC AH x =⋅=⨯-=∴y 关于x 的函数解析式为：y =………………（1分）自变量x 的取值范围为0x <………………………………（1分）。

闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷〔考试时间100分钟，总分值 150分〕一、选择题：〔本大题共6题，每题 4分，总分值 24分〕1．以下计算正确的 ()〔A 〕(a 2 )32 3 65 3 2；〔D 〕(a2a)24a 2．a 5；〔B 〕aaa ；〔C 〕aa a 2．以下二次根式中，与2是同类二次根式的是()〔A 〕 1；〔B 〕4；〔C 〕12；〔D 〕24．23．a>b ，且c 为非零实数，那么以下结论一定正确的选项是()〔A 〕acbc ；〔B 〕ac 2bc 2；〔C 〕ac bc ；〔D 〕ac 2bc 2．4．某居民小区开展节约用水活动，3月份各户用水量比2月份有所下降，不同节水量的户数统计如下表所示：节水量〔立方米〕 123户数2012060那么3月份平均每户节水量是( )〔A 〕立方米；〔B 〕立方米：〔C 〕立方米；〔D 〕立方米．r r r( )r5．如图，向量a 、b、c ，那么以下结论正确的选项是r rrr r rcr〔A 〕a+b c ；〔B 〕bca ；br r r r r rr 〔C〕a cb；〔D〕ac b．a6．以下关于圆的切线的说法正确的选项是〔第5题图〕A〕垂直于圆的半径的直线是圆的切线；B〕与圆只有一个公共点的射线是圆的切线；C〕经过半径一端且垂直于半径的直线是圆的切线；D〕如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7．计算：23．8．在实数范围内分解因式：a34a2．9．函数yx的定义域是．2x10．方程43x1的解是．11．如果关于x的方程x22(m3)xm20有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．将抛物线y x23x1向下平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为．13．将分别写有“创立〞、“文明〞、“城市〞的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创立文明城市〞的概率是．14．某校随机抽取80名同学进行关于“创全〞的调查问卷，通过调查发现其中76人对“创全〞第1页了解的比较全面，由此可以估计全校的 1500名同学中，对于“创全〞了解 的比较全面的约有 人．15．在梯形 ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点．如果 AD=6，EF=10，那么BC= ．16．如图，在⊙ O 中，半径OC 垂直于弦 AB ，垂足为点 D ．如果OC=13，AB=24，那么 OD= ．17．如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠ACB．如果S ABD 4，S BCD 5，CD=5， 那么AB= 米．18．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90o，AC=8，BC=6，点D 、E 分别在边 AB 、AC 上．将△ADE沿直线 DE 翻折，点 A 的对应点 A′在边AB 上，联结A′C．如果A′C=A′A，那么BD=．ABODADBCBCCA〔第16题图〕〔第17题图〕〔第18题图〕三、解答题：〔本大题共7题，总分值 78分〕19．〔此题总分值10分〕12 1 1．计算：189242 1820．〔此题总分值 10分〕y 2x 6,解方程：4x24xy y2 4.第2页21．〔此题共2小题，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，总分值10分〕在直角坐标系xOy中，函数y12〔x>0〕的图像上点A的纵坐标是横坐标的3倍．〔1〕求点A的坐标；x〔2〕设一次函数ykxb〔b0〕的图像经过点A，且与y轴相交于点B．如果OA=AB，求这个一次函数的解析式．22．〔此题共2小题，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，总分值10分〕小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米．同一时刻，测得小明在地面的影长为米，小明的身高为米．1〕求旗杆BC的高度；2〕兴趣小组活动一段时间后，小明站在A、B两点之间的D处〔A、D、B三点在一条直线上〕，测得旗杆BC的顶端C的仰角为，且tan ，求此时小明与旗杆之间的距离．CB A〔第22题图〕第3页23．〔此题共2小题，其中第〔1〕小题5分，第〔2〕小题7分，总分值12分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AFBC，交DE的延长线于点F，联结BF．1〕求证：四边形ADBF是平行四边形；〔2〕当∠ADF=∠BDF时，求证：BDBC 2BE2．A FEC BD〔第23题图〕24．此题共3小题，其中每题各4分，总分值12分〕〔如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2(1m)x3m经过点A〔1，0〕，且与y轴相交于点B．〔1〕求这条抛物线的表达式及点B的坐标；〔2〕设点C是所求抛物线上一点，线段BC与x轴正半轴相交于点D．如果BD3，求点CD5C的坐标；〔3〕在〔2〕条件下，联结AB．求∠ABC的度数．yO x〔第24题图〕第4页25．〔此题共3小题，其中第〔1〕小题各4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分，总分值14分〕如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，BC=9，AD=6．点E、F分别在边AD、BC上，且BF=2DE，联结FE．FE的延长线与CD的延长线相交于点P．设DE=x，PE P y．EF〔1〕求y关于x的函数解析式，并写出函E D数的定义域；A2〕当以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切时，求x的值；3〕当△AEF∽△PED时，求x的值．B CF〔第25题图〕A DB C〔备用图〕第5页闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、：〔本大共6，每4分，分24分〕1．C；2．A；3．D；4．B；5．D；6．D．二、填空：〔本大共12，每4分，分48分〕7．23；8．a2(a4)；9．x2；10．x=1；11．m3；12．yx23x1；213．1；14．1425；15．14；16．5；17．6；18．15．62三、解答：〔本大共7，分78分〕19．解：原式323(222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔8分〕1)0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕20．解：由②得(2x y)24．即得2xy2，2x y2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔2分〕原方程化y2x6,y 2x6,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔4分〕2xy2；2x y 2.解得原方程的解是x11,x22,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔4分〕y14；y2 2.21．解：〔1〕由意，可点A的横坐a，坐系3a．∴3a12。

已知B ：在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + x 的对称轴为直线 x =2，顶点为 A ．（1）求抛物线的表达式及顶点 A 的坐标； A点 P 24 题 y = ( x - m )2 + n 的顶点 D 在直线 AB 上，与 y 轴的交点为 C 。

动点之角度(2015 二模 崇明)24．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）如图，已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (0, - 4) ，点 B (-2, 0) ，点 C (4, 0) ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点 M 在 y 轴上， ∠OMB + ∠OAB = ∠ACB ，求点 M 的坐标．yy(2015 二模 奉贤)24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分）B OC x O C xA（备用图）（2）（第为抛物线对称轴上一点，联结 OA 、OP ．x图）①当 OA ⊥OP 时，求 OP 的长；②过点 P 作 OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点 B ，联结 OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点 B 的坐标．(2015 二模 杨浦)24．(本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第 （3）小题 4 分，)已知：在直角坐标系中，直线 y =x +1 与 x 轴交与点 A ，与 y 轴交与点 B ，抛物线12（1）若点 C （非顶点）与点 B 重合，求抛物线的表达式；y（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。

动点之相似(2015二模宝山嘉定)24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy（图9），双曲线y=k(k≠0)与直线y=x+2都经过点xA(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．y(2015二模金山)24．（本题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；B A 如图，在直角坐标系 xOy 中，抛x 物线 y = ax O 2 - 2ax + c 与 x 轴的正半轴相x 交于点 A 、与 y 轴 （3）直线 y = kx + 2 与 y 轴交于点 N ，与直线 AC 的交点为 M ，当 ∆MNC 与 ∆AOC 相似时，求点 M 的坐标．动点之面积(2015 二模 黄浦)24. （本题满第（1）小题满分 3 分，第（2） 分 12 分，小题满分 4分，第（3）小题满分 5 分）如图 7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线 OA与反比例函数y = 12 的图像交于点 P ，点 B 、C 分别在函数y = 12 的图像上，且 AB //x 轴，xxAC //y 轴．（1）当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；（2）联结 BO ，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；（3）联结 BP 、CP ，试猜想：S ∆ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ∆ABP 的SS∆ACP∆ACP值；如果变化，请说明理由．(2015 二模 静安青浦)24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题满分 4 分）PCO 图7的正半轴相交于点 B ，它的对称轴与 x 轴相交于点 C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．（1）求此抛物线的表达式；如图，已知抛物线 y = x 2 - 2tx + t 2 - 2 的顶点 A 在第四象限，过点 A 作 AB ⊥y 轴于点 B ，A (-1,0)，B (4,0 )，C (0,2 )．点D 是点 C 关于原点的对称C 点A ，联结 B D ，点E 是 x 轴上的E （2）如果点 D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为 F ，DF 与线段 AB 相交于点G ，且 S∆ADG : S∆AFG= 3 : 2 ，求点 D 的坐标．y(2015 二模 长宁)24．（本题满分 12 分）BCC 是线段 AB 上一点(不与 A 、B 重合)，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，并交抛物线于点 P .（1）若点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点，求点 P 的坐标；（2）若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E ，且 AC =CP ，求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于 2S 时 ，求 t 的值.y动点之直角、等腰三角形存在性DO x(2015 二模 普陀 ) 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像经过点 PB一个动点，设点 E 的坐标为(m , 0)，过点 E 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 P ．第 24 题（1）求这个二次函数的解析式；图（2）当点E 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 Q ．当四边形CDQP 是平行四边形时，求 m 的值；（3）是否存在点 P ，使△ B DP 是不以 BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．y y(2015二模松江)24．（本题满分12分，每小题各4分）C C如图，二次函数y=-x2+bx的图像与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与A OB x A O B xy轴的正半轴交于点B，与二次函数的图像交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图像的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．动点之梯形(2015二模徐汇)24．如图，在平面直角坐中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x点A（－1，0）和点B（3，0），D为抛物线的直线AC与抛物线交于点C（5，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且∆AEC和∆AED相似，求点E的坐标；标系轴交于顶点，（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成求点F的坐标．其他直角梯形，且面积为16，试（(2015 二模 闵行)24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 2ax - 4 与 x 轴相交于 A 、B 两点，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的坐标为（-3，0）．点 D 在线段 AB 上，AD = AC ．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以 DB 为半径的圆 D 与圆 C 外切，求圆 C 的半径；（3）设点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上．如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分，求BN 的值． CN(2015 二模 浦东)24． 本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） 已知：如图，直线 y =kx +2 与 x 轴的正半轴相交于点 A（t ,0）、与 y 轴相交于点 B ，抛物线 y = - x 2 + bx + c 经过点 A 和点 B ，点 C 在第三象限内，且 AC ⊥AB ，tan∠ACB = 1 ．2（1）当 t =1 时，求抛物线的表达式；（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t2020-2-8的值．。

《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。