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郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(5-6章)【圣才出品】

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郑君里《信号与系统》(第3版)配套题库【考研真题+模拟试题】【圣才出品】

郑君里《信号与系统》(第3版)配套题库【考研真题+模拟试题】【圣才出品】

第 7 章 离散时间系统的时域分析
一、填空题
1．周期分别为 3 和 5 的两个离散序列的卷积和的周期性为______。[北京航空航天大学
2007 研]
【答案】7
【解析】对于线性卷积，若一个周期为 M，另一个周期为 N，则卷积后周期为 M+N
－1，所以T T1 T2 1 3 5 1 7 。
2．某线性时不变（LTI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为
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Y z z 6z 1 8z 2 3z 3
根据时域卷积定理可得：
H
z
z
6 z 1 z
8z2 2 z1
3z 3
使用长除法可得：
H z 1 2z 1 3z 2
取逆变换可得：
h[n] n 2 n 1 3 n 2
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yzs (0) 1, yzs (1) 1/ 2, yzs (2) 5/ 4, yzs (3) 13/ 8, yzs (4) 29 /16, yzs (5) 93/ 32 （2）零输入响应 yzi (n) 的递推方程可以化简为
由于
x[n] u[n 1] u[n] u[n 1] u[n 2]
u[n 1] u[n 1] u[n] u[n 2]
此式又可以写成：
x[n] n 1 2 n n 1 X z z 2 z 1
由题意可知：
yn x n*h n n 1 6 n 1 8 n 2 3 n 3
yzi (n) 0.5 yzi (n 1)
(n)
1 0
(n (n
0)
。当
0)

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才

Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。

郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 傅里叶变换)【圣才出品】

郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 傅里叶变换)【圣才出品】

第3章　傅里叶变换3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。

图3-1解：（1）三角形式由图3-1可知，f(t)为奇函数，故有所以三角形式的傅里叶级数为。

（2）指数形式因所以指数形式的傅里叶级数为。

3-2 周期矩形信号如图3-2所示。

若：重复频率f=5kHz脉宽τ=20μs幅度E=10V求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

图3-2解：由图3-2可知，f(x)为偶函数，且f=5kHz，得：所以直流分量为1V基波分量为1sin() 1.3910Vπ=≈二次谐波为2sin( 1.325Vπ=≈三次谐波为。

33sin() 1.2110V π=≈3-3 若周期矩形信号f 1（t ）和f 2（t ）波形如图3-2所示，f 1（t ）的参数为τ=0.5μs，T=1μs，E=1V ；f 2（t ）的参数为τ=1.5μs，T=3μs，E=3V ，分别求：（1）f 1（t ）的谱线间隔和带宽（第一零点位置）频率单位以kHz 表示；（2）f 2（t ）的谱线间隔和带宽；（3）f 1（t ）与f 2（t ）的基波幅度之比；（4）f 1（t ）基波与f 2（t ）三次谐波幅度之比。

解：由题3-2的结论可知，f(t)的傅里叶级数可表示为其中，。

（1）f 1（t ）的谱线间隔，则带宽：。

（2）f 2（t ）的谱线间隔带宽：。

（3）由题3-2可知，所以f 1（t ）的基波幅度为：f 2（t ）的基波幅度为：故。

（4）的三次谐波幅度为：故。

3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。

图3-3解：由图3-3可知，f(t)为偶函数，故。

bn所以的傅里叶级数可表示为()f t其幅度谱如图3-4所示。

图3-43-5 求图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。

若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅度谱。

图3-5解：由图3-5可知，f(t)为偶函数，因而b n =0，（）；所以其傅里叶级数可表示为若E=10V ，，则幅度谱如图3-6所示。

《信号与系统》(郑君里)课后习题答案

《信号与系统》(郑君里)课后习题答案
2
(t )
2
非线性：设 r1 ( t ) = e1
( t ) 、 r2 ( t ) = e2 2 ( t ) ，
2 2 2 2
则⎡ ⎣ c1e1 ( t ) + c2 e2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 e1 ( t ) + c2 e2
2
( t ) + 2c1c2e1 ( t ) e2 ( t ) ≠ c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
5
即 输 入 x1 ( t ) ， x2 ( t ) 得 到 的 输 出 分 别 为 y1 ( t ) ， y2 ( t ) ， T ⎡ ⎣ x1 ( t ) ⎤ ⎦ = y1 ( t ) ，
T⎡ 。 ⎣ x2 ( t ) ⎤ ⎦ = y2 ( t ) ，则 T ⎡ ⎣ c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 y1 ( t ) + c2 y2 ( t ) （ c1 ， c2 为常数）
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
f (t )
1 1
f ( 3t )
→
→
-2
-1
0
1
-2/3
f ( 3t − 2 )
→
1/3
f ( −3t − 2 )

郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——

郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——

3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。

郑君里《信号与系统》(第3版)名校考研真题(离散傅里叶变换以及其他离散正交变换)

郑君里《信号与系统》(第3版)名校考研真题(离散傅里叶变换以及其他离散正交变换)

，则
Y
e j
Y0 e j2kπ
k
，所以
yn
k
y0
n ej2kn
sin(πn/3) 2 πn
四、计算题
1．已知如图 9-2（a）所示的离散时间函数 x（n）
（1）求 x（n）的离散时间傅里叶变换
（2）以周期 N=100，把 x（2n）开拓为一个周期性信号
①画出周期信号
的波形图；
②把
展开成离散傅里叶级数，并画出频谱图。
8/8
再以 N=10 为周期开拓为周期序列
，如图 9-2（c）所示。
②令
，将
展开为离散傅里叶级数，即
式中，
，将 N=10 并令
数字角频率代入上式，得
当 k=0 时，
；k=1 时，
；k=2 时，
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当 k=3 时，
；k=4 时，
；k=5 时，
当 k=6 时，
；k=7 时，
；k=8 时，
当 k=9 时，
一个周期的图形如图 9-2（d）所示。
③系统的
，则由对称性质，该离散系统的频率响应函数
一
定是频域的周期函数，周期为 2n。
将
加 在 这样 一个 系统 的输 入端 ，只 有它 的直 流分 量， 基波 分量 （k=1），
，二次谐波分量（k=2），0.4πrad 可以通过该系统，其他的谐波分量均被滤除。
c
≤
≤π π c
，当
c
减小时，
该滤波器的单位冲激响应是更远离原点( )。[华南理工大学 2008 研]
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郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第6章 信号的矢量空间分析【圣才出品


（1）定义
假设有 n 个函数 g1(t), g2 (t)...gn (t) 构成的一个函数集，这些函数在区间 (t1,t2 ) 内满
足正交特性
t2 t1 t2 t1
gi (t)g j (t)dt 0,i
g
2 i
(t
)dt
Ki ,i
j
j
则称此函数集为正交函数集。
（2）特性
任意信号 f(t)可表示为 n 维正交函数之和，即
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直角坐标平面内两矢量相对位置关系为
cos(f1 -f2 ) =
x1 y1 + x2 y2
1
1
(x12 + x22 )2 ( y12 + y22 )2
利用范数符号，将矢量长度分别写作
1
x 2 = (x12 + x22 ) 2
1
y 2 = ( y12 + y22 ) 2
必属
称为完备正交
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式中
为信号的能量，
为基底信号的能量，
为各信号分量的能量。
（2）物理意义 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率） 之和。 （3）数学本质 矢量空间信号正交变换的范数不变性。
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一、信号矢量空间的基本概念 1．线性空间 线性空间是指这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任一元 素与任一数相乘后得到此集合内的另一元素。常见的线性空间有 N 维实数空间 与复数
空间 、连续时间信号空间 L、离散时间信号空间 l 等。

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章)【圣才出品】


3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。

（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)

（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】

第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。

本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。

通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。

一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。

具体见表1-1-4及表1-1-5。

（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。

表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。

表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。

信号系统(第3版)习题解答

《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。

](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

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2．脉冲编码调制（PCM） （1）脉冲调制概念 利用脉冲序列对连续信号进行抽样产生的信号称为脉冲幅度调制（PAM）信号。把连 续信号转换成数字（编码）信号进行传输或处理的调制方式称为脉冲编码调制（PCM）。PCM 通信系统的简化框图如图 5-1-2 所示。
图 5-1-2 PCM 通信系统简化框图 （2）PCM 通信特点（见表 5-1-4）
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t）＋sin（3t）， 试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
一、系统函数 H（jω）
当且仅当 H（s）在虚轴上及右半平面无极点时，有 H ( j) H (s) s j ，也即，对于 H（s）在虚轴上有极点的系统，有 H ( j) H (s) s j 。
二、无失真传输 1．定义 系统无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波形 上的变化。 设激励信号为 e（t），响应信号为 r（t），则无失真传输的条件是 r（t）＝Ke（t－t0）， K 为常数，t0 为滞后时间，如图 5-1-1 所示。
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故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j)
=
jπ j +
[ 1
(
+
1)
-
(
-
1)] +
jπ j +
[ 1
(
+
3)
-
(
-
3)]
= jπ ×e- [ jtan- 1 ( + 1) - ( - 1) + ( + 3) - ( - 3)] 1+ 2
= jπ [ejtan- 11 ( + 1) - e- ( jtan- 11 - 1)] + jπ ×[ejtan- 1 3 ( + 3) - e- ( jtan- 1 3 - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j )]
= 1 sin(t - tan- 1 1) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
希尔伯特变换对：
R() 1
π
X
()
d
X () 1
π
R()
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H（jω）的实部 R（ω）被已知的虚部 X（ω）唯
一确定，反之亦然。
五、调制与解调 1．调制和解调（见表 5-1-3）
表 5-1-3 调制和解调
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5-3 无损LC谐振电路如图5-2-2所示，设 0 =
1 ，激励信号为电流源i（t），响应
LC
为输出电压v（t），若F[i（t）]＝I（jω），F[v（t）]＝V（jω），求：
（1）H（jω）＝V（jω）/I（jω），h（t）＝F－1[H（jω）]；
（2）讨论本题结果与教材例5-1的结果有何共同特点。
解：激励信号 e（t）＝e－3tu（t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝F[e－3tu（t）]＝1/（jω＋3）
故响应Байду номын сангаас：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
表 5-1-4 PCM 通信特点
六、频分复用和时分复用（见表 5-1-5） 表 5-1-5 频分复用和时分复用
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5.2 课后习题详解
5-1 已知系统函数H（jω）＝1/（jω＋2），激励信号e（t）＝e－3tu（t），试利用傅里 叶分析法求响应r（t）。
表 5-1-1 理想低通滤波器各类响应
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2．佩利-维纳准则
对于幅度函数|H（jω）|物理可实现的必要条件为：
ln H ( j) 12
d
改式称为佩利-维纳准则。
注意：
（a）该准则既不允许网络特性在一频带内为零，也限制了幅度特性的衰减速度；
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第 5 章 傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样
5.1 复习笔记
现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的运用。本章初步介绍了这些应用中最 主要的几个方面（滤波、调制、抽样），这是前两章基本内容的继续深入。通过本章学习， 读者应掌握：利用系统函数 H（jω）求响应、无失真传输的判断和实现、各种类型滤波器 的应用以及调制和解调在通信系统中发挥的作用。
（b）该准则只从幅度特性提出要求，在相位特性方面没有给出约束，因而该准则是系
统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
3．带通滤波器（见表 5-1-2） 表 5-1-2 带通滤波器特性及应用
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四、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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= 1 sin(t - 45°) + 1 sin(3t - arctan 3)
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e（t）、r（t）的波形如图 5-2-1（a）、（b）所示。
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图 5-2-1 由图 5-2-1 可知，传输引起了失真，r（t）既有幅度失真，也有相位失真。
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅度 发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相 对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）