第五章复数章末整合-北师大版高中数学必修第二册课件

虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小． (2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离．|z1－z2|表示复数
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.

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必修第二册
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新知学习
一、复数的加法与减法
1.复数的加法与减法
两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们
的虚部的和.也就是：（ + i） + （ + i）＝（ + ） + （ + ）i.
名师点析
（1）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的
根据平面向量的坐标运算，得1 +2 ＝（ + ， + ）.
这说明两个向量1 ，2 的和就是与复数（ + ）+（ + ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
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二、复数的乘法与除法
1.复数的乘法
（ + i）（ + i）＝（ − ） + （ + ）i.
解：（方法1）原式＝（1-2+3-4+…+2 017-2 018）+（-2+3-4+5+…-2 018+2 019）i＝-1 009+1 009i.
（方法2）（1-2i）-（2-3i）＝-1+i，（3-4i）-（4-5i）＝-1+i，…，（2 017-2 018i）-（2 018-2 019i）＝-1+i.
解析：＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝1+2i+i-2＝-1+3i，∴ ||＝
.
−1
2
+ 32 ＝ 10.

(2)z2=2


-
;
(3)z3=-sin θ+icos θ < <
(4)z4=-1+√i.


;
解:(1)不是三角形式.
z1=cos 60°+isin
模 r=


+

30°=



+

i,

√
,cos

=
所以 z1=cos 60°+isin
√
θ= ,sin
=60(cos 150°+isin 150°)
=60

√
- +


=-30√+30i.
√
√
(3)法一:复数-1+i 的模 r=√,cos θ=- ,sin θ= ,所以可取






原式=√ + √ +




第五章 复数
*§3 复数的三角表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
3.了解辐角、辐角的主值等概念.
4.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意
义.
一、复数的三角表示式
( + )
=

[cos(θ
1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的

探究三
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
复数加、减运算的几何意义
例 2 已知在平行四边形 ABCD 中,与对应的复数分别是 3+2i
与 1+4i,两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数;
(3)△AOB 的面积.
解(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
1 =(a,b),2 =(c,d)对应,
根据平面向量的坐标运算,得1 + 2 =(a+c,b+d).
说明两个向量1 , 2 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
名师点析复数加法运算的几何意义类似于向量加法运算的平行四
边形法那么.
-7-
2.1
课前篇自主预习
复数的加法与减法
示,||= (- 3)2 + (-1)2 =2.
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
反思感悟 复数模的问题求解策略
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复
数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,数形结合把复数问
题转化为几何图形问题求解.
-19-
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
即对应的复数是 5.
-15-
2.1
课前篇自主预习
复数的加法与减法
探究一
探究二

二、复数加法与减法的几何意义
【问题思考】
1.在实数范围内a-b>0⇔a>b恒成立,在复数范围内是否有z1-z2
>0⇒z1>z2恒成立呢?
提示:若z1,z2∈R,则z1-z2>0⇒z1>z2成立.否则z1-z2>0 z1>z2.
比如,z1=1+i,z2=i,虽然z1-z2=1>0,但不能说1+i大于i.
实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差,也就
是:(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i (a,b,c,d∈R).
(2)复数的加法运算满足如下运算律:
①结合律:(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3);
②交换律:z1+z2= z2+z1.
3.(1)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=(
∴z1+z2=z2+z1.
2.(1)复数加法与减法的运算法则
两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的
实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和,也就
是:(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i (a,b,c,d∈R);
两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的
2.复数|z1-z2|的几何意义是什么?
提示:复数|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点Z1与Z2间
的距离.
3.如图 5-2-1,设复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)分别与向量
=(a,b), =(c,d)对应,根据平面向量的坐标运算,得 +

思考4：由三角形式的乘法法则,结合向量知识,如何理解复数乘法的 几何意义？
提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩,旋转方向与角度取 决于从另一复数的辐角集合中取出来的值,伸长或缩短及其倍数取决于另 一复数的模的大小．
知识点5 复数三角形式的除法
设 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z2≠0，则
(1)z＝ 2cosπ4－isinπ4是复数 z＝1－i 的三角形式． (2)复数 0 没有三角形式．
(×) (×)
(3)复数 z＝2cos－6π＋isin－π6的辐角主值为－π6.
( ×)
(4)复数 z＝2cosπ3＋isinπ3的共轭复数的三角形式为 z ＝2cosπ3－isinπ3.
( ×)
(5)cosπ3＋isinπ33＝－1．
第五章 复数
§3 复数的三角表示
课程标准
核心素养
1．了解复数的三角形式,了解复数
的代数形式与三角形式之间的关 通过复数的几何意义,了解复数的
系．
三角形式,理解复数三角形式的乘、
2．会进行复数的代数形式与三角 除、乘方运算,培养学生的逻辑推
形式的转化,了解辐角．
理素养,提升数学抽象、数学运算
3．掌握复数三角形式的乘、除及 素养.
(2)复数的三角形式 任何复数z＝a＋bi(a,b∈R)都a可以表示为z＝rb(cos θ＋isin θ), 其中r＝__a_2_＋__b_2 ,cos θ＝____r_,sin θ＝_____. r 这个式子称为复数z＝a＋bi(a,b∈R)的三角形式． 当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差______ 的整2π数倍． 思考1：复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一 个复数的三角形式唯一吗？ 提示：复数三角形式中的θ不一定是辐角主值,三角形式不唯一．

m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
求实数m的值，使复数 1 m－2i为虚数.
m
解：由题可得 m－2 0 m 0
解得m 2且m 0.
04 探索新知
思考2：对于两个复数 a+bi 和 c+di (a,b,c,d∈R)，满足什么条件
这两个复数会相等呢？
提示：对于一元二项式，若 a bx 1 2x对任意 x 都成立，则 a 1 ，b 2 .
x 2 3y 2x y 1
解得xy
1 1.
a+bi=c+di a=c且b=d.
05 巩固练习
练习: 已知（m2 7m 10） m2 5m 14 i 0,求实数m的值.
解： 由复数相等的定义，得
m2 7m 10 0 m2 5m 14 0
m 2
06 学以致用
小组命题 PK 赛
（5）0 0 0i
z=a+bi 实部a
虚部b
11i
1
1
3 1i
-3
1
虚数
0 3 i 2
7 0i 0 0i
0 纯虚数 3
2
-7
0
0
0
实数
z=a+bi (a,b∈R)
实部
虚部
纯虚数：a=0,且b≠0
04 探索新知
2. 复数的分类
根据复数中a，b 的取值不同，复数可
以有以下分类：
复数 z=a +bi
09
谢 谢！ 祝你有所收获
纯虚数
2 2i
答案：鸭（压）舌（蛇）帽
实数
虚数
指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
2 7

= 2,
= 1.
= 3,
= − 3,
2 + 2 = 6,
（2）根据复数相等的充要条件可得ቊ
解得൝
或൝
2 = −6,
=− 3
= 3.
1
2 − 1 = 0,
= 2,
（3）由0＝0+0i结合复数相等的充要条件可得ቊ
解得ቐ
− 3 − = 0,
= 3.
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一对应的，即复数＝ + i
这是复数的一种几何意义.
一一对应
↔
复平面内的点（，）.
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名师点析
（1）复数的实质是有序实数对.
（2）复平面内的点Z的坐标是（，），而不是（，i）.也就是说，复平面内的虚轴单位长度是1，而
不是i.
（3）当＝0， ≠ 0时， + i＝0 + i＝i是纯虚数，所以虚轴上的点（0，）（ ≠ 0）都表示纯虚数.
（4）复数＝ + i中的，书写时应为小写，复平面内点（，）中的，书写时应为大写.
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2.复数与复平面内平面向量的对应
在平面直角坐标系中，平面向量与有序实数对一一对应，而有序实数对与复数也是一一对应的.于是，还
可以用平面向量来表示复数.如图，复数＝ + i（， ∈ ）与复平面内的向量＝（，）也是一一
ҧ
是它本身，反之亦然.
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共轭复数的性质（拓展）
（1） ҧ ＝.
（2）若＝ + i（， ∈ ），则·ҧ＝||2＝||ҧ 2＝2 + 2.利用这个结论，在复数集中可以将2 + 2分解

二、共轭复数
【题思考】
1.若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复
数互为共轭复数.
2.若z1与z2互为共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系?
提示:|z1|=|z2|.
探究一 复数与复平面内的点
【例1】 求实数a满足什么条件时,复数z=
(a∈R)在复平面内对应的点Z:
(1)在第二象限内;
设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),
所以x=8,y=0,即A2(8,0).
故点A2对应的复数为8.
反思感悟 1.根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向
量的起点在原点时,向量的终点对应的复数为向量对应的复
数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向
线段,为复数对应的向量.
(2)在实轴的上方.
解:(1)点 Z 在第二象限内,则
--
+

< ,
--
+(a2-2a-15)i
+
解得 a<-3.
-- > ,
-- > ,
(2)点 Z 在实轴的上方,则
解得 a>5 或 a<-3.
+ ≠ ,
1.本例中题设条件不变,求复数z在复平面内对应的点Z在实轴
实轴,y轴称为虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴
上的点都表示纯虚数.
(2)复数的几何意义
复数 z=a+bi(a,b∈R)
复平面内的点 Z(a,b) ;
复数 z=a+bi(a,b∈R)
平面向量.
(3)复数的模
复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则向量的模称为复数 z

复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋dia，b，c，d∈R当且仅当a＝c且b＝d
复数z＝a＋bi的模：|z|＝ a2＋b2
复数z＝a＋bi的共轭复数为 z ＝a－bi
复数
实数b＝0
复数的分类复数a＋bia，b∈R虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a0≠ 0
考点整合•提技能
题型一
有关复数的概念
例 1 当实数a为何值时,z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z对应的点在直线x－y＝0上． [分析] 根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．
题型四
复数与其他知识的综合应用
例 4 四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应 的复数分别为1＋3i,2i,2＋i,z.
(1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根,求实数p,q的值．
[解析] (1)复平面内 A，B，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设 D 的坐标为(x，y)，由于A→D＝B→C， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得 x＝3，y＝2，故 D(3,2)， 则点 D 对应的复数 z＝3＋2i. (2)∵3＋2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的一个根， ∴3－2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的另一个根， 则 3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q2， 即 p＝12，q＝26.
4a2＝4， ∴a2＋b2＝2， ∴ab＝ ＝11， 或ab＝ ＝－1，1 或ab＝＝－1 1， 或ab＝＝－－11，，
∴xy＝ ＝11＋ －ii， 或xy＝ ＝11－ ＋ii， 或xy＝＝－－11＋－ii， 或xy＝＝－－11－＋ii，.