离散数学(全套课件1530P)

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离散数学(集合论)ppt课件

0 1 n n C C ... C 2 n n n
15
幂集定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交相对补对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补

离散数学教程PPT课件

A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人已说：王教授不是上海人，是苏州人丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词由命题p、q和组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式，则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意：和的区别是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于于118800。。 55））你你喜喜欢欢数学吗吗？？ 66））我我们们要要努努力力学学习习。。 77））啊啊，，我我的的天天哪哪！！ 88））我我正正在在说说谎谎。。

《离散数学课件资料》PPT课件

（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。弦：G中不在TG中的边。生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的，但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称B为二元前缀码。
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四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}

离散数学课件ppt课件

联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→，，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如两圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分数理逻辑

离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，离散数学在运筹学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、整数规划和非线性规划等理论，可以解决运筹学中的许多问题。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

《离散数学课件图论》PPT课件

，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明：阶数 n6，结论为真。当n7 时，用反证法。否则会推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图轮图都是自对偶图。画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.

精品课程《离散数学》PPT课件(全)

言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解：令r： a能被4整除， s： a能被2整除。真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称为析取联结词。运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才为假，否则为真。相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼例如：（1）小王爱打球或爱跑步。设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。设p：江西人。 q：湖南人。则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)

（1）星期天天气好，带儿子去了动物园；（2）星期天天气好，却没带儿子去动物园；（3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园；（4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论集合论基础图论基础逻辑基础组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。

离散数学教学图论【共58张PPT】

一、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一、图的基本概念
• 有限图和无限图设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。（2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节生成树、最短路径和关键路径由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节欧拉图和哈密顿图
第四节特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节图的矩阵表示第四节欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.

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• 幂等律(idempotent laws)
AA A AA A
• 交换律(commutative laws)
A BB A A BB A
常用逻辑等值式(关于与 )
• 结合律(associative laws)
(A B) CA (B C) (A B) CA (B C)
• 分配律(distributive laws)
绝抄袭
第1讲命题逻辑基础
• 1. 命题、命题符号化 • 2. 合式公式、真值表、永真式 • 3. 逻辑等值式、推理定律 • 4. 形式化证明
命题符号化
• 简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… • 联结词：
– 合取联结词： – 析取联结词： – 否定联结词： – 蕴涵联结词： – 等价联结词：
• 第三节生成函数及其性质P1430 • 第四节生成函数的应用P1443 • 第六节高级计数P1466 • 第九章组合计数定理P1485 • 第三节 Burnside引理P1511
《集合论与图论》《离散数学》系列课程之一
大学计算机系
教材
• 《集合论与图论》，离散数学二分册，耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
• 《离散数学习题集》，耿素云，北大出版社
– 数理逻辑与集合论分册，1993年2月 – 图论分册，1990年3月
课外读物
内容介绍
• 《离散数学》
– 《集合论与图论》 – 《代数结构与组合数学》 – 《数理逻辑》
内容介绍
• 《集合第1章 • 第2章 • 第3章
• 课程将在4月底或5月初结束 • 第13周(5月18日)前考试
成绩评定
• 书面作业占10%，3道题/每次课 • 平时测验占30%，1小时/每次，2次 • 期末考试占60%
作业
• 时间：每周一交上周作业，下周一发回 • 讲解：每次作业都有课上讲解 • 要求：正确、完全、简洁、清楚
Correct，Complete，Concise，Clear • 提示：独立完成作业，可以讨论，但要杜
离散数学
目录
• 第1讲命题逻辑基础P15 • 第2讲一阶逻辑基础P50 • 第3讲集合的概念与运算P94 • 第4讲集合恒等式P141 • 第5讲二元关系的基本概念P204 • 第6讲关系表示与关系性质P265 • 第7讲关系幂运算与关系闭包P328
• 第8讲等价关系与序关系P381 • 第9讲函数P444 • 第10讲自然数P488 • 第11讲基数P539 • 第12讲序数P586 • 第13讲习题课P612 • 第14讲图的基本概念P652 • 第16讲连通度P713 • 第17讲欧拉图P767 • 第18讲哈密顿图P795 • 第21讲根树P843
A A0
常用逻辑等值式(关于)
• 蕴涵等值式(conditional as disjunction)
(A B)A B (A B)A B
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 零律(dominance laws)
A 11 A 00
• 同一律(identity laws)
A 0A A 1A
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 排中律(excluded middle)
A A1
• 矛盾律(contradiction)
• 第22讲图的矩阵表示P889 • 第23讲平面图P941 • 第24讲图着色P991 • 第25讲支配,覆盖,独立,匹配P1031 • 代数结构与组合数学P1083 • 第十五章代数系统P1096 • 第一节二元运算及其性质（续）P1102 • 第三节代数系统的同态与同构P1124 • 第四节同余关系与商代数（续）P1141 • 第十七章群P1162 • 第三节子群P1171
• 变换群与置换群P1180
• 第六节正规子群与商群P1201
• 习题课：群的证明P1209 • 第十八章环与域P1224 • 第十九章格与布尔代数P1247 • 第三节特殊的格P1270 • 组合数学简介P1292 • Ramsey定理P1309 • 第七章基本的计数公式P1329 • 第三节二项式定理与组合恒等式续P1357 • 第八章组合计数方法P1380 • 第二节递推方程的其他解法P1408
• 逻辑真值： 0，1
真值表(truth-table)
• 赋值(assignment)：给变元指定0、1值 • n个变元，共有2n种不同的赋值
p q p p q p q pq pq 0 01 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 1 00 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1
真值表(续)
集合二元关系函数
• 第4章自然数 • 第5章基数
内容介绍
• 《集合论与图论》
– 第二部分图论
• 第7章图 • 第8章欧拉图与哈密顿图
• 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章
树图的矩阵表示平面图图的着色
• 第13章支配、覆盖、独立、匹配 • 第14章带权图
进度安排
p q r (p q)r 00 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 1
p q r 1 1 1 1 1 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
p q (p q)p (p q)(p q)
q
00 1
1
1
01 1
1
1
10 1
1
1
11 0
0
1
逻辑等值式(identities)
• 等值： AB
– 读作：A等值于B – 含义：A与B在各种赋值下取值均相等
• AB 当且仅当 AB是永真式 • 例如： (p q)r p q r
常用逻辑等值式(关于与 )
A (B C)(A B ) (A C ) A (B C)(A B ) (A C )
常用逻辑等值式(关于与 )
• 吸收律(absorption laws)
A (A B)A A (A B)A
常用逻辑等值式(关于)
• 双重否定律(double negation law)
AA
• 德●摩根律(DeMorgan’s laws)