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离散数学教程PPT课件

A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人已说：王教授不是上海人，是苏州人丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词由命题p、q和组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式，则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意：和的区别是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于于118800。。 55））你你喜喜欢欢数学吗吗？？ 66））我我们们要要努努力力学学习习。。 77））啊啊，，我我的的天天哪哪！！ 88））我我正正在在说说谎谎。。

《离散数学课件资料》PPT课件

（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。弦：G中不在TG中的边。生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的，但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
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一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称B为二元前缀码。
03.02.2021
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四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}

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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值：（1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则：设（A）是含公式A的命题公式，（B）是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式，若BA，则（B）（A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为假。
7
例1.3将下列命题符号化（1）吴影既用功又聪明。（2）吴影不仅用功而且聪明。（3）吴影虽然聪明，但不用功。（4）张辉与王丽都是三好学生。（5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式（1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重言式或永真式。（2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式。（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程，是计算机专业的专业基础课。
第一部分数理逻辑第二部分集合与关系代数第三部分图论
2
第一部分数理逻辑
第一章命题逻辑基本概念第二章命题逻辑等值演算第三章命题逻辑推理理论第四章一阶逻辑基本概念第五章一阶逻辑等值演算与推理

离散数学课件ppt课件

联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→，，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如两圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分数理逻辑

离散数学(精选优秀)PPT

二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P：今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海：上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数学．高等教育出版社，2002

离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，离散数学在运筹学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、整数规划和非线性规划等理论，可以解决运筹学中的许多问题。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

离散数学PPT【共34张PPT】

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18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；

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例1 N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y}，试证运算*，△满足吸收律
证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x
∴运算*和△满足吸收律
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 13
普通的除法，是定义在何集合上的？
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 3
7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ①运算表—表示函数运算关系的表
∧0 1 000 101
→0 1 0 11 1 01
01 ¬1 0
* abcd
aaaaa
bbccc
caabc
dcbbb
2020年6月9日星期二
如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘除法不满足分配律。
其它可分配与不可分配的例子…..
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
④吸收律设о和*为S上的两个可交换的二元运算，若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ，
其它可结合与不可结合的例子…
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
③分配律设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z∈S，都有:
x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。
7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ⑤等幂的设o为S上的二元运算，若∀x∈S，有 xox=x，则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。
如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减，乘，除都不是等幂的。
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 14
7.1 运算 7.1.2 运算的性质
满足交换律的运算运算表一定是对称的！
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 9
7.1 运算 7.1.2 运算的性质
②结合律设о为S上的二元运算，若有∀x，y，z∈S，都有 xo(yoz)=(xoy)oz 则称运算o是可结合的(满足结合律)。
如，R上普通的加，乘法满足结合律，而减，除法不满足结合律。
①交换律设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox，则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子：
满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称关系？
z=xoy=o(<x,y>) <<x,y>,z>∈o 满足交换律的运算运算表的特点：？
第 7 章代数系统
本章知识要点
代数系统的概念；运算的性质；运算的特殊元素；同态与同构
本章重点
运算的性质；运算的特殊元素；代数系统的同态与同构。
本章难点同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与同构
2020年6月9日星期二
《离散数学》
page: 1
7.1 运算 7.1.1 引言
C语言中的不同的数据类型？整数：存储方式，值的范围，可用运算…… 整数的取反运算-： F-：Z→Z，且：F-（x）=-x;
R的普通减法运算，在N中？
R*的普通除法运算，在Z中？ R的普通加法运算，在{x|x与5互质}中？
R的普通加法运算，在{x|x是30的因子}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的倍数}中？ R的普通加法运算，在{x|x的某次幂可被16整除}中？
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
示例2：R中的普通减法(-)，对其子集Z
示例3：R中的普通除法(/)，对其子集Z
示例4：R中的普通取反(单目-)，对其子集N
2020年6月9日星期二
《离散数学》
y z=x*y
x
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性--- 对于A上的2元运算*，若对于A的子集B，任意的x,y∊B,有x*y∊B，则称运算*在B中的封闭的。如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ①交换律设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox，则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
* abcd aaaaa bbccc caabc dcbbb
* abcd aaaaa bacbc cabab dacbc
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y z=x*y
x
x
2020年6月9日星期二
作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
示例1：R中的普通加法(+)，对其子集N
整数的加运算+： F+：Z✕Z→Z，且：F+ (<x,y>）=x+y;
结论：运算是函数的另一种表示形式： A到A的函数是一元运算; A✕A到A的函数是二元运算； A✕A✕A到A的函数是三元运算。
………… Ak=A✕A✕A… ✕A✕A到A的函数是k元运算。
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算 7.1.2 运算
1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明
①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形式，即表达式形式，如：
- (<x,y>)=x-y x-y ②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非特别申请）。
则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加，减，乘，除都不满足吸收律。
2020年6月9日星期二
《离散数学》
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ④吸收律设о和*为S上的两个可交换的二元运算，若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ，则称运算*和о满足吸收律。