2002年四川省初中数学竞赛

2 x - 3

a

a 3 2 2

4

34

中

等

数

学

2002

年四川省初中数学竞赛

一、选择题(满分 36 分

,每小题 6 分) 5. 如果等腰梯形的下底与对角线长都是 10 厘

1. 若 x < 1 , 则|

( ) . + (2 - x) 2 | 等于 米 ,上底与梯形的高相等 ,则上底的长是( ) 厘米.

(A) 5 2 (B) 6 2 (C) 5 (D) 6

(A) 1 (B) 3 - 2 x (C) 2 x - 3 (D) - 2

2. 如图 1 , 一个长为 10

米的梯子斜靠在墙上 ,梯子 6. 关于 x 的两个方程 x2 + 4 mx + 4 m2 + 2 m + 3 =

0 , x2 + (2 m + 1) x + m2 = 0 中至少有一个方程有实根.

则 m 的取值范围是( ) .

的顶端距地面的垂直距离为 8 米. 如果梯子的顶端下滑 1 米 ,那么 ,梯子底端的滑 (A) - 3 2

(C) - 1 < m < - 1 4

< m < 1 (B) m ≤- 3 或 m ≥- 1

(D) m ≤- 3 或 m ≥1

动距离( ) .

(A) 等于 1 米 4 2 2 2

二、填空题(满分 54 分 ,每小题 9 分)

(B) 大于 1 米 图 1 1. 如果 y = + + 2 , 则 2 x + y =

(C) 小于 1 米 (D) 不能确定 .

3. 设 a 、b 都是正实数且 1

么 , b 的值为( ) . + 1

b - 1 = 0.

a - b 2. 设 a 是一个无理数 ,且 a 、b 满足 ab + a - b =

1. 则 b = .

3. 在一长 8 米、宽 6 米的花园中欲挖一面积为 24

米2 的矩形水池 ,且使四边所留走道的宽度相同. 则

(A) 1 + 5 (B) 1 - 5 (C) - 1 + 5 (D) - 1 - 5 该矩形水池的周长应是 米.

2 2 2 2 4. 如图 2 , D 、E 分别是 △ABC 的 AC 、AB 边上的

4. 若 x1 、x2 是方程 x2 + 2 x - k = 0 的两个不等的 点 , BD 、CE 相交于点 O. 若 S

△OCD = 2 , S

△OB E = 3 , 实数根 ,则 x2 + x2 - 2 是( ) . S = 4 ,那么 , S = . 1 2 △OBC 四边形ADOE

(A) 正数 (B) 零

(C) 负数 (D) 不大于零的数

14. 84. 5. 如图 3 , 立方体的每个面上都写着一个自然数 ,并且相对两个面所写二数之和相等. 若 10 的对面

于是 ,当 m = 2 时 , x2 + x2 取得最小值 ,且最小

若 A 、C 种同一种植物 ,则 A 、C 有 4 ×1 种栽种法 , B 、D 都有 3 种栽种法 ,共有 4 ×3 ×3 = 36 种栽种方案 ;

值为 2 × 3

3 2 2

4 - 3 1 2

+ 7 = 8 . 8 9

若 A 、C 种不同的植物 ,则有 4 ×3 种种法 , B 、D

都有 2 种栽种法 ,一共有 4 ×3 ×2 ×2 = 48 种栽种法.

三、15. (1) 可买 5 打或 4 打加 9 本 ,前者需付款

3100 ×5 = 15100 (元) ,后者只需付款 3100 ×4 + 013 ×9

= 14170 (元) . 故该班集体去买时 ,最少需付 14170 元.

(2) 227 = 12 ×18 + 11 , 可买 19 打或 18 打加 11

本 ,前者需付款 2170 ×19 = 51130 ( 元) , 后者需付款

2170 ×18 + 013 ×11 = 51190 ( 元) , 比前者还要多付

0160 元. 故该年级集体去买 ,最少需付 51130 元. 17. (1) 连结 BD 即可证明.

(2) 大小关系是

( AC + BC) 2

≥AB 2 + 4 CD2 .

如图 11 ,作 EB ⊥AB , EB

= 2 CD. 应用 ( 1) 的结论 , 易证.

18. 设原来篮子 A 中有弹珠 x 个 ,则篮子 B 中有弹

图 11

16. 由题意知方程有实根 ,Δ ≥0.

有 - 24 m + 16 ≥0 , 则 m ≤2 .

又由根与系数关系 ,得 珠(25 - x) 个. 又记原来 A 中弹珠号码数的平均数为

a , B 中弹珠号码数的平均数为 b. 则由题意得

ax + (25 - x) b = 1 + 2 + + 25 = 325 ,

ax - 15 - a = 1 ,

2 2 3 2 7 x - 1 4

x1 + x2 = 2 4 - m + 8 . b (25 - x) + 15 1

2 3 3 2 26 - x - b = 4 .

∵m ≤3 , ∴4 - m ≥4 - 3 > 0. 从而 , 解得 x = 9. ( x - 1) 2

3 - 2 x

那

2

≥ 3 - m 4 3 - 2 . 4 3 即原来篮子 A 中有 9 个弹珠.

(江苏省海门中学 汤文卿 提供) 由题设有 10 + a = 12 + b = 15 + c. 故 c = 2. 于是

a = 7 , b = 5.

6.

11

<

m

≤18.

图

2

图

3

写的是质数

a

,12

的对面写的是质数

b

,15

的对面写的是质数

c

,则

a2

+

b2

+

c2

-

ab

- ac - bc = .

6. △ABC 的一边长为 5 ,另外两个边长恰是方程

2 x2 - 12 x + m = 0 的两个根. 则 m 的取值范围是

.

三、(20 分) 某公司生产电脑 ,1997 年平均每台生产成本为 5 000 元 ,并以纯利润20 %标定出厂价. 1998

年开始 ,公司加强管理和技术改造 ,从而生产成本逐

年降低 ,2001 年每台电脑出厂价仅是 1997 年出厂价的80 % ,但公司却得到50 %的纯利润. 求以 1997 年生产成本为基数 ,1997 年至 2001 年生产成本平均每年

降低的百分数(精确到 0101) . (计算时 : 2 = 11414 , 3

= 11732 , 5 = 21236. ) 2

三、1997 年出厂价为

5 000 (1 + 20 %) = 6 000 (元) .

设 2001 年每台电脑生产成本为 x 元. 则

x (1 + 50 %) = 6 000 ×80 %. 解得 x = 3 200 (元) .

又设每年生产成本降低 y . 则

(1 - y) 4 ×5 000 = 3 200.

解得 y = 1 - ≈1 - ≈11 %.

5 21236

答 :略.

四、如图 6 ,连结 OA 、OB 、

OC ,则

PA = PD·PO

= PB ·PC.

于是 , B 、C 、O 、D 四点共圆. 有 2 2

2

2

∑ 则 ①

∴ ②

BD CD

即 = + 2002 年第 4 期 35

四、(20 分) 如图 4 , P 是

⊙O 外一点 , PA 与 ⊙O 切于

A , PBC 是 ⊙O 的割线 , AD ⊥

PO 于 D. 求证 :

PB ∶BD = PC∶CD.

五、( 20 分) 将最小的 31

个自然数分成 A 、B 两组 , 10

在 A 组中. 如果把 10 从 A 组

移到 B 组中 , 则 A 组中各数 图 4

的算术平均数增加 1 , B 组中各数的算术平均数也

增加 1 . 问 A 组中原有多少个数 ?

△PCD∽ △POB .

PC = PO = PO . 图 6

CD OB OC

又 ∵△POC∽ △PBD ,

PO = PB .

OC BD

由式 ①、②,有 PB = PC.

五、设 A 组中有 k + 1 个数 x0 , x1 , , xk ,其中 x0

= 10. B 组中有 30 - k 个数 xk + 1 , xk + 2 , , x30 . 依题意有 x + + x 10 + x + + x 1

2 参 考 答 案 1 k =

k 1

k + 1 + 2 ,

一、1. (B) 2. (B) 10 + xk + 1 + + x30 = xk + 1 + + x30 + 1 .

3. (C) .

由题设可得

a + b = 1 ,

ab a - b 31 - k

x1 + + xk 10 1

k ( k + 1) k + 1 2 30 - k 2

,

即 a2 - b2 = ab. 有 a - b = 1. xk + 1 + + x30 = 10 - 1 .

b a b - 1 + 5 (30 - k) (31 - k) 31 - k 2

k2 + 21 k

解得 a = 2 (负值舍去) . 于是 , x1 + + xk = 2 , ①

4. (A) 5. (D) 6. (B)

二 、1. 5 2. - 1 3. 20

4. 39 . 5 xk + 1 + + x30 =

30

但 xi = 486 ,

i = 1 - 330 + 41 k - k2

2 . ②

如 图 5 , 设 S △AOD = x ,

S △AOE = y . 则有 因而由式 ①, ②得 - 330 + 62 k = 2 ×486 = 972.

则 k = 21.

x = 2 , y = 3 . 故 A 组中原有 22 个数.

3 + y

5. 19. 4 2 + x 4

图 5 (四川大学数学学院 唐贤江 提供) k