湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷

2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校

期中联考高一数学

考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1

．复数2i

z

13i+

=

+的虚部是（ ）

A

．1

2−

B

．1

2 C

．1

i

2−

D

．1

i

2

2．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）

A．若ab≠



，则||||ab≠



B．若//ab



且||||ab=



，则ab=



C．若0ab⋅=



，则0a=



或0b=

D．若a

与b

不共线，则a

与b

都是非零向量

3．已知平面向量(1,2)a=

，(3,4)b−

，则向量a

在向量b

上的投影向量是（ ）

A

．34

,

2525

−



 B

．68

,

55

−



 C

．34

,

55

−



 D

．34

,

55

−





4

．已知tan1

2

1tanα

α−

=

+

，则cos2

4π

α

+



的值为（ ）

A

．72

10−

B

．2

10−

C

．2

10 D

．72

10

5．在ABC△

中，D

在边BC上，延长AD到P

，使得10AP=

，若5

4PAmPBmPC

=+−





（m为常

数），则PD的长度是（ ）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．若实数x，y满足332xy

+=

，2

11

33xy

n−



=+



，则n的最小值为（ ）

A．2 B．8 C．9 D．12

7．在ABC△

中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P

在直线EF上，若ABC△

的面积为4，则

2

2BC

PBPC⋅+



的最小值是（ ）

A．2 B

．23

C．4 D

．3

2 8．已知定义在R

上的函数()yfx=

，对任意的

1x

，

2,

4xπ



∈+∞





且

12xx≠

，都有()()

12

120fxfx

xx−

>

−，

且函数

4yfxπ



=+



为奇函数．若锐角ABC△

的三个内角为,,ABC

，则（ ）

A．()()0fAfB+>

B．()()0fAfB+<

C．()()0fAfB+=

D．()()fAfB+

的符号无法确定

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的

噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为

()3sin||

62fxxππ

ϕϕ

=+<



，且经过点(2,3)

，则下列说法正确的是（ ）

A．函数()yfx=

的最小正周期12

T=

B．

6π

ϕ=−

C．函数()yfx=

在区间(2,8)

上单调递减 D．函数(2)yfx=+

是奇函数

10．已知复数

123,,zzz

，则下列结论正确的有（ ）

A．2

2

11z

z

=

B．

1212zzzz⋅=⋅

C．

1212zzzz=⋅ D．若

1213zzzz=

，且

10z≠

，则

23zz=

11．如图，设,OxOy

是平面内相交成θ

角的两条数轴，其中(0,)θπ∈

，

1e

，

2e

分别是与x轴，y

轴正方

向同向的单位向量，若向量

12OPaxeye==+



，则把有序数对(,)xy

叫做向量OP

在夹角为θ

的坐标系

xOy

中的坐标，记为

()(,)axy

θ=

，则下列结论正确的是（ ）

A．若

3(1,2)a

π



=

，则||7a=

B．若

44(1,2),(3,22)ab

ππ



==−



，则a

b⊥



C

．若对任意的

12,5Reeλλ∈−

最小值为5

2

，则

6π

θ=

D．若对任意的(0,)θπ∈，都有

1212eeeeλ−≥−

恒成立，则实数(][)

,31,λ∈−∞−+∞

三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．

12

．已知6

sincos

4θθ−=

，则sin2θ=

__________．

13．在ABC△

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosaBbAcb−=−

，则角A=

若I

为

ABC△

的内心，且3

3AIIBICλ=+

，则λ=

__________．

14．已知平面向量,ab



，||2a=

，||3b=

，若存在平面向量c

，||1c=

，使得()()0acbc−⋅−=



，则

||||abab−++



的最小值是__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知向量(1,2)a−

，||25b=

．

（1）若//ab



，求b

的坐标；

（2）若(5)()abab+⊥−



，求a

与b

夹角的余弦值．

16．（15分）在ABC△

中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且222

bcbca+−=

．

（1）求角A

的大小；

（2）若2b=

，1

sin

7C=

，求ABC△

的面积．

17．（15

分）已知向量(3sin,cos)mxxωω=

，(cos,cos)(0,)nxxxωωω=−>∈R，

1

()

2fxmn=⋅−

，且()yfx=

的图象上相邻两条对称轴之间的距离为

2π

．

（1）求函数()yfx=

的解析式；

（2）若0a>

，且函数()yfx=

在区间(,2)aa

上单调，求a的取值范围．

18．（17分）如图，在ABC△

中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知2b=

，

4c=

，2

3Aπ=

．

（1）若AD平分BAC∠

，求AD的长；

（2）若D为BC边的中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．

且AExAB=

，AFyAC=

，1xy+=

，求DEDF⋅

的取值范围．

19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n，满足

10n

z−=

的所有复数22

cosisin()kk

zkZ

nnππ

=+∈

称为n次单位根，其中，满足对任意小于n的正整

数m，都有1m

z≠

，则称这种复数为n次本原单位根．例如，4n=

时，存在四个4次单位根1±

，i±

，

因为1

11=

，2

(1)1−=

，因此只有两个4次本原单位根i±

；

②分圆多项式：对于正整数n，设n次本原单位根为

12,,,

mzzz

，则多项式()()()

12mxzxzxz−−−

称为n次分圆多项式，记为()

nxΦ

；

例如2

4()(i)(i)1xxxxΦ=−+=+

；回答以下问题：

（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；

（2）求出

6()xΦ

，并计算

6321()()()()xxxxΦΦΦΦ

，由此猜想

1264321()()()()()()xxxxxxΦΦΦΦΦΦ

的

结果，（将结果表示为1

110()nn

nnnxaxaxaxa−

−Φ=++++

的形式）（猜想无需证明）；

（3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为

12,,,

mAAA

，两个4次本原单位根在复平面上对应

的点为

12,BB

，复平面上一点P

所对应的复数z

满足||2z=

，求

1212mPAPAPAPBPB⋅⋅⋅

的取值

范围．