4基本不等式及综合应用

1 东北师大附中2010-2011学年高三数学（理）第一轮复习导学案032

基本不等式及其应用

编写教师： 刘桂英 审稿教师： 吕树超

一、知识梳理

1.基本不等式：

（1）重要不等式：如果,abR，那么222abab，当且仅当ab时，等号成立.

（2）基本不等式：如果,0ab，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立.

可表述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均.

2.常见结论：

（1）12(0)aaa，当且仅当1a时，等号成立；

（2）12(0)aaa，当且仅当1a时，等号成立；

（3）2(0)baabab，当且仅当ab时，等号成立；

（4）222abcabbcca；

（5）222(,0)1122ababababab，当且仅当ab时，等号成立.

3.三个正数的算术——几何平均不等式：（不等式证明选讲）

如果,,abcR，那么33abcabc，当且仅当abc时，等号成立.

4.推广：对于n个正数12,,,naaa，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

1212nnnaaaaaan，当且仅当12naaa时，等号成立.

二、题型探究

探究一:利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的.

例1 设,,abc都是正数，求证：bcacababcabc. 2 证明： ,,abc都是正数，,,bccaababc都是正数,

2bccacab，当且仅当ab时等号成立，

2caababc，当且仅当bc时等号成立，

2abbcbca，当且仅当ac时等号成立，

三式相加，得2()2()bcacababcabc，

即bcacababcabc，当且仅当abc时等号成立.

探究二：利用基本不等式求最值

（1）若*Rxy、,xyS（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24S；

（2）若*Rxy、,(xyp积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p.

即“和定，积最大；积定，和最小”，这种方法在应用过程中要把握下列三个条件：

（1）“一正”——各项为正数；

（2）“二定”—— “和”或“积”为定值；

（3）“三等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.

例2 解答下列问题：

（1）已知2x，求42xx的最小值；

（2）已知02x，求函数()(83)fxxx的最大值；

（3）求函数4sin(0)sinyxxx的最小值；

（4）已知0,0xy，且1xy，求49xy的最小值.

解：

（1）6；

（2）163；

（3）令sinxt，001xt 4(01)yttt

4ytt在0,1上为减函数，1t即2x时y取得最小值5， 3 当2x时函数取得最小值5.

（4）49494949()()1313225yxyxxyxyxyxyxy.

当且仅当23,55xy时取等号.

探究三：三个数的均值不等式

例3 求函数)0x(x3x2y2的最小值，下列解法是否正确？为什么？

解法1：3322243x2x1x23x2x1x2x3x2y，

所以3min43y．

解法2：x62x3x22x3x2y22

当x3x22，即212x3时，

633min3242123221262y．

评注：所给两种解法均有错误．解法1错在取不到“等”，即不存在x使x2x1x22，解法2错在x62不是定值．

正解：对原函数合理拆（添）项，得

33322236234923x23x23x23x23x23x2x3x2y

当且仅当x23x22，即26x3时，3min3623y．

例4 求函数)31x0)(x31(xy2的最大值．

分析：因)x31(x2定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式)x31(，为使 4 其余因式2x与（x31）之和为定值，需以（x31）为准，将2x拆成x23x2394，这时就有)x31(x23x23定值．

解：)x31(x23x2394y

2434)3)x31(x23x23(943．

当且仅当x31x23x23，即92x时，2434ymax．

通过以上几例我们体会到：均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、等”，合理进行拆、拼、凑.

探究四：基本不等式的实际应用

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

（1）先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最值；

（4）正确写出答案.

例5 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用.

(1) 把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；

(2) 当侧面的长度为多少时，房屋的总造价最低？最低总造价是多少？

解: (1) 由题意，可得12y=3(2x150400)5800x16900()5800(0)xxax).

(2) 16900()5800900216580013000xx,

当且仅当16xx，即4x时取等号，

若4a，则当x＝4时，y有最小值13 000;

若04a，容易证明函数16900()5800(0)yxxax在(0,]a上是减函数.

∴当xa时，y有最小值900(aa16)+5 800.

综上，若4a，当侧面的长度为4米时，总造价最低，最低总造价是13 000元; 5 若04a，当侧面长度为a米时，总造价最低，最低总造价是900(aa16)+5 800元.

三、方法提升

均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛．为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定→和最小，和定→积最大．但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式．

四、反思感悟

五、课时作业

（一）选择题

（1）下列结论正确的是 ( B )

（A）当0x且1x时，1lglgxx2 （B）0x当时，12xx

（C）当2x时，1xx的最小值为2 （D）02x时，1xx无最大值

（2）已知0,0ab，则112abab的最小值是（ C ）

（A）2 （B）22 （C）4 （D）5

（3）设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为 ( Ｂ )

（A） 8 （B）4 （C）1 （D）14

（4） “18a” 是“对任意的正数x，21axx≥”的（ A ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5） 若0,0ba且4ba，则下列不等式恒成立的是 （ D ）

（A）211ab （B）111ba （C）2ab （D）81122ba 6 （6）设M=)11)(11)(11(cba,且1abc (其中,,abcR), 则M的取值范围是（ D ）

（A）)81,0[ （B）)0,81[ （C）)8,1[ （D）),8[

（7）如果正数abcd，，，满足4abcd，那么（ A ）

（A）abcd，且等号成立时abcd，，，的取值唯一

（B）abcd，且等号成立时abcd，，，的取值唯一

（C）abcd，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一

（D）abcd，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一

（8）已知实数,xy满足xxyy，若0x，则x的最小值为（ B ）

（A） 2 （B）4 （C）6 （D）8

解：当1y时，x；当1y且0y时，由已知得21(1)211yxyyy

∴当1y时 ，21(1)2411yxyyy.（当且仅当2y时等号成立）

当1y且0y时, 1(1)201xyy，不合题意

（二）填空题

（9）若实数,ab满足2ab，则33ab的最小值是 6 ．

（10）已知0,0,,,,xyxaby成等差数列，,,,xcdy成等比数列，则2()abcd的最小值是 ４

．

（11）已知,,abc为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，若点(,)mn在直线20axbyc上，则22mn的最小值是 ．４

（12）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 20

吨．