第14届小机灵杯四级初赛解析.docx
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第十四届“小机灵杯”数学竞赛
初赛解析（四年级组）
（第 1 题 ~ 第 5 题，每题 6 时间： 60 分钟 总分： 120 分
分. ）
1. 我们规定 a★ b a a b b ，那么 3★ 2 4★ 3 5★ 4 20★ 19 .
【答案】 396
【考点】 定义新运算
【分析】
原式 3 3 2 2 4 4 3 3 5 5 4 4 20 20 19 19
3 3 2 2 4 4 3 3 5 5 4 4 20 20 19 19
20 20 2 2 400 4 396
2. 将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原
来等边三角形面积的 .( 得数用分数表示 )
【答案】 2
3 【考点】 图形分割
【分析】 6 2
如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 ，即 .
9 3
3. 小明去超市买牛奶 . 若买每盒 6 元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒 9 元的酸奶，钱
也正好用完，但比鲜奶少买 6 盒 . 小明共带了 元 .
【答案】 108 元 【考点】 列方程解应用题 【分析】
设小明能买酸奶 x 盒，则能买鲜奶 x 6 盒；
由题意可列得方程： 6 x 6 9x ，解得 x 12 ；
所以小明共带了 9 12 108 元 .
4. 用一根长 1 米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法 . 其
中长方形面积的最大值是 平方厘米 .
【答案】 25 种， 625 平方厘米
【考点】 长方形的周长，最值问题
【分析】
1 米 100 厘米，即为长方形的周长 , 因
此长方形的长 宽 100 2 50 厘米；
不同围法有： 50 49 1 48 2 47 3 25 25 ，共 25 种； 由于长与宽的和
一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大， 因此长方形面
积的最大值是 25 25 625 平方厘米 .
5. 用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图 1 和图 2
的铺法） . 当正方形地面周围铺了 80 块白瓷砖是，黑瓷砖需要 块.
图 1 图 2
【答案】 361 块
【考点】 方阵问题
【分析】
铺有 80 块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有 80 4 4 19 块；
因此黑瓷砖需要 19 19 361 块 .
（第 6 题 ~ 第 10 题，每题 8 分 . ）
6. 在下列每个 2 2 的方格中， 4 个数的排列存在着某种规律 . 根据这样的排列规律，可知
◆ .
2 1 3 4 6 4 5 ◆
6 9 2 8 4 8 2 6
【答案】 ◆ 5
【考点】 找规律填数
【分析】
观察发现：在表 1 中：2 9 1 6 3 ；在表 2 中： 3 8 4 2 3 ；在表 3 中：6 8 4 4 3 ；
所以在表 4 中，应该有 5 6 ◆ 2 3 ，求得 ◆ 5 .
7. 学生们手中有 1 、 2 、 3 三种数字卡片，每种数卡都有很多张 . 老师请每位学生取出两张
或 三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的，
那 么这些学生至少有 人 .
【答案】 73 人
【考点】 抽屉原理
【分析】
学生可能排成的不同两位数有 3 3 9 个，可能排成的不同三位数有 3 3 3 27 个， 因
此学生可能排成的不同的数一共有 9 27 36 个； 如果要保证其中至少有三名学生排
出的数完全相同，那么这些学生至少有 2 36 1 73 人.
8. 已知 2014 迎 2015 新 2016 年，且迎 新 年 504 ， 那么迎 新 新 年
.
【答案】 128
【考点】 分解质因数
【分析】
根据 2014 迎 2015 新 2016 年可知：迎 新 1 年 2 ；
由 504 23 3 2 7 可得，只有 504 9 8 7 满足条件，即迎 9 ，新 8 ，年 7 ；
迎 新 新 年 9 8 8 7 72 56 128 .
9. 一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于 50 . 如果我们将右图
的正方体先从左往右翻转 97 次，再从前往后翻转 98 次，这时这个正方体底面的数是 ，
前面的数是 ，右面的数是 . （翻转一次表示翻转一个面）
11
15
13
【答案】底面的数是 37 ，前面的数是 35 ，右面的数是 11
【考点】 周期问题
【分析】
根据题意，初始时左面的数是 50 13 37 ，后面的数是 50 15 35 ，底面的数是 50 11 39 ；
对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转 4 次就会回到初始方向；
由于 97 4 24 1 ， 98 4 24 2，
1 次，再从前往后翻转 2 次；
所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转
先从左往右翻转 1 次后，正方体的六个面分别为：
左面的数 39 ，右面的数 11，前面的数 15 ，后面的数 35 ，顶面的数 37 ，底面的数 13 ；
再从前往后翻转 2 次后，正方体的六个面分别为：
左面的数 39 ，右面的数 11，前面的数 35 ，后面的数 15 ，顶面的数 13 ，底面的数 37 ；
所以按要求操作后，这个正方体底面的数是 37 ，前面的数是 35 ，右面的数是 11.
10. 学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买15 个，如果只买篮球正好能买 12 个 . 现
在 用这些钱买来排球与篮球共 14 只，买来的排球与篮球相差 只.
【答案】 6 只
【考点】 鸡兔同笼
【分析】
由于 15,12 60 ，因此可以假设这笔钱是 60 ，
那么一只排球的价格是 60 15 4 ，一只篮球的价格是 60 12 5 ； 现在用这些钱买来的
14 只球中篮球有 60 4 14 5 4 4 只，排球有 14 4 10 只， 所以买来的排球与篮球
相差 10 4 6 只 .
（第 11 题 ~ 第 15 题，每题 10 分 . ）
11. 小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从 A 、 B 两地相向而行，相遇后小明又经过了 18 分
钟到达了 B 地 . 已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的 倍，小 4 明爸爸从相遇地点步行到
A地还需要 分钟 .
【答案】 288 分钟 【考点】 行程问题
【分析】
4S S
小明 18min
？ min 小明爸爸
如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的 4 倍且二人运动时间相同，
因此小明的路程应该是爸爸的 4 倍（图中的 4S 与 S ）；
而相遇后小明又经过 18 分钟前进了 S 的路程才到达了 B 地； 因为小明的速度是爸爸
的 4 倍，所以爸爸步行 S 的路程需要 18 4 72 分钟； 又因为爸爸从相遇地点步行到
A 地还需要再走 4S 的路程， 所以小明爸爸从相遇地点步行到 A 地还需要 72 4 288
分钟 .
12. 如图所示，两个正方形的周长相差12 厘米，面积相差 69 平方厘米，大、小两个正方
形 的面积分别是 平方厘米， 平方厘米 .
【答案】 169 平方厘米， 100 平方厘米
【考点】 正方形的周长与面积，平方差公式
【分析】
设大正方形的边长是 a 厘米，小正方形的边长是 b 厘米，由题意得：
4a 4b 12 ，整理得 a b 3 ，即为 a b 3 ；
b 69 a b a b 69 a b 23
a2 2
解得 a 13
，所以大正方形面积是 132 169 平方厘米，小正方形面积是 102 100 平方厘米 .
b 10
13. 甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的 . 两
人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了 4 盒且余下 6 元，而乙用完了所带的钱 . 如果甲用
元原来 3 倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买 31 盒，而且仍余下 6 元. 那么铁盒装
的 糖果售价为每盒 元，纸盒装的糖果售价为每盒 元 .
【答案】 12 元， 10 元
【考点】 约数与倍数，列方程解应用题
【分析】
甲用原有的钱去买铁盒余下 6 元，那么用 3 倍的钱去买铁盒理论上应余下 6 3 18 元，
然而仍余下 6 元，说明 18 6 12 元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为 12 的约数；
有根据余下 6 元可知铁盒的单价必定大于 6 元，所以铁盒的单价只能是每盒 12 元；
设乙买了 x 盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程 :
3 12 x 4 6 12 x 31 6 ，解得 x 21；
所以两人原有的钱数为 12 21 4 6 210 元，纸盒的单价是每盒 210 21 10 元 .
14. 如下图所示，将一个由 3 个 小正方形组成的形放入右边的 L 格子中，共有几种放法 . （ 图
形可旋转） L
【答案】 48 种
【考点】 对应法计数
【分析】
首先，右图中共有 9 个 ，每个田字格中 L 形有 4 种放法，分别为：
，共 4 9 36 种；
