高中复数复习知识点(整理)

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复数知识点总结

一；复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数

（2）幂运算：

（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为,pab；（象限的复习）

（4）复数的模：对于复数zabi，把22zab叫做复数z的模；

（5）两个复数相等的定义：

（6）复数的基本运算:

设111zabi，222zabi

1)加法：121212zzaabbi；

2)减法：121212zzaabbi；

3)乘法：1212122112zzaabbababi 特别22zzab。

注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

①若为复数，则

若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当Rba，1i20b0b1,,1,,143424142nnnniiiiiii)(,0321Zniiiinnnn00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，，，，（其中，且21,zz1021zz21zz21,zz221zz021zzCcba,,0)()()(222accbbacba2

，时，上式成立）

（7）除法：cdizabi（,ab是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：22acbdadbcicdicdiabizabiabiabiab

对于0cdizababi，当cdab时z为实数；当z为纯虚数是z可设为cdizxiabi进一步建立方程求解

(8)共轭复数：zabi的共轭记作zabi；

注：1）共轭复数的性质：

，（a + bi）

（）

2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

3） ①复数的乘方：

②对任何，及有

以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

③常用的结论：

22)(iba0)(,1)(22accbzz2121zzzzazz2i2bzzz22||||zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz02znnzz)()(...Nnzzzzznnz21,zzCNnm,nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)(,)(,1,142ii11)(212142ii112||xxx2||xxiiiiiiii11,11,2)1(23

二． 例题分析

【例1】已知14zabi，求

（1） 当,ab为何值时z为实数

（2） 当,ab为何值时z为纯虚数

（3） 当,ab为何值时z为虚数

（4） 当,ab满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数为纯虚数，则实数的值为

A． B． C D．或

【例2】已知134zi；234zabi，求当,ab为何值时12=zz

【例3】已知1zi，求z，zz；

【变式1】复数z满足21izi，则求z的共轭z

【变式2】已知复数23(13)izi，则zz•=

A. 14 B.12 C.1 D.2

【例4】已知12zi，232zi

（1） 求12zz的值；

（2） 求12zz的值；

（3） 求12zz.

【变式1】已知复数z满足21zii，求z的模. 2(1)(1)zxxix101114

【变式2】若复数21ai是纯虚数，求复数1ai的模.

【例5】下面是关于复数21zi的四个命题：其中的真命题为（ ）

1:2pz22:2pzi3:pz的共轭复数为1i4:pz的虚部为1

()A23,pp()B12,pp()C,pp ()D,pp

【例6】若复数312aizaRi（i为虚数单位），

（1） 若z为实数，求a的值

（2） 当z为纯虚，求a的值.

【变式1】设a是实数，且112aii是实数，求a的值.

【例7】复数cos3sin3zi对应的点位于第几象限

变式1:是虚数单位,等于 ( )

A．i B．-i C．1 D．-1

变式2： 计算，n∈N+；

例8.设z是虚数，ω=z+是实数，且－1

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=，求证u为 纯虚数；

（3）求ω－u2的最小值。

例9． 使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝

i41i()1-i22(1)(1)(1)nnii1z11zz5

例10．已知复数12,zz满足1||3z，2||2z，12||4zz，则12||zz的值为

二：复数的平方根立方根

（1） 平方根:

（2） 立方根：

注：若是1的立方虚数根，即，则

例1.512i的平方根是

例2.设等比数列123,,,,nzzzz，其中11z，2zabi , 3zbai,

(,abR且0a)

（1）求,ab的值；

（2）求使 120nzzz的最小自然数n的值.

三：一元二次方程的根

复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

注：一元二次方程分实系数和虚系数之别

实系数一元二次方程，如果有虚根，一定是成对出现，

虚系数一元二次方程，要么两虚，要么一实一虚。

例1. 若关于x的实系数方程0322kkkxx有一个模为1的根，求实数k的值.

i2321x)0(02acbxaxRcba,,abx22,1abx22,1aibx2||2,12,1xcba,,cba,,)(0,01,1,,121223Znnnn6

例2.如果i3是关于x的方程),(022Rnmnmxx的一个根

四：与圆锥曲线之间的关系

⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）. ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

例1.已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.

21zzd21zz，21zz和21zzd和表示0zr）（00rrzz00zrzz表示以21zzzz21zz212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（212zza21ZZ，），（2121202zzaazzzz21ZZ，212zza4z7

例2.已知复数z满足|5||5|6zizi，则z在复平面上对应点的轨迹方程为

例3.若1|1|iz，则|32|zi的最大值和最小值分别是 6 ； 4 .

例4.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为 .(结果反三角函数值表示)

五：补充

（1）绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

（2）复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

（3）复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍.

③设则. lz3zizil21zz，212121zzzzzz），且（012Rzz），（012Rzz212121zzzzzz），（012Rzz），（012RzznnnAAAAAAAAAA11433221zzzRz0zz0zz||||zz)sin(cosirz2zargzzarg)2,0[,Ra23)arg(,2arg,)arg(,0argaiaiaa