代数最值问题的常用解法

九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2） 求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。

代数求最大值最小值的方法代数，听起来是不是有点高大上？但其实，它就像一个聪明的小助手，能帮我们在生活中解决很多问题。

比如说，你想知道在一个小摊上买果汁，哪种组合最划算，或者在一个旅行计划中，如何把预算用到刀刃上，都是代数可以帮忙的。

今天，我们就聊聊代数求最大值和最小值的方法，轻轻松松理解一下，嘿，保证不晕头转向！1. 什么是最大值和最小值？首先，咱得搞清楚什么是最大值和最小值。

你可能会问，为什么这个话题如此重要？嗯，简单来说，最大值就是你能拿到的最好结果，最小值则是你能接受的最差结果。

就像在打麻将时，你要努力追求胡牌的那一瞬间，当然不希望自己扣分变成“麻将中的囧囧”。

所以，不论是学习、工作还是生活，找到这些值都能让你事半功倍，嘿，谁不想轻松点呢？1.1 最大值的魅力最大值的魅力在哪里呢？想象一下，你在一家冰淇淋店里，面对五十种口味，最终选择了一个“榴莲千层”冰淇淋。

这个选择就是你追求的最大值！用代数来讲，它就像是在寻找那个最闪亮的星星，让你的小宇宙瞬间爆发。

1.2 最小值的重要性而最小值就像是一种保护机制。

比如，你有个预算，想买最新款的手机。

你肯定不想花超预算，那就得找到一个合适的最小值。

只有这样，你才能在不破产的情况下，拥有你心仪的手机。

聪明的人都知道，能省则省嘛！2. 如何求最大值和最小值？说到方法，这可就多了。

我们用代数的方式来找这些值，真的是一门艺术。

接下来，我会跟你分享几种常用的求值技巧，别担心，咱们一起轻松搞定！2.1 代数表达式的构造首先，我们得学会构造代数表达式。

想象一下，你有一组数据，想从中找出最大值和最小值。

我们可以用公式把这些数据表示出来，比如 ( f(x) = ax^2 + bx + c )。

通过这种方式，我们可以很方便地分析函数的走势。

简单来说，就像在画一幅画，先把大致的轮廓勾勒出来，再逐渐丰富细节。

2.2 使用导数法接着，咱们来聊聊导数。

虽然听上去有点复杂，但它其实就像是一把钥匙，能帮你打开最大值和最小值的大门。

初中数学中求函数极值的常用解法举例罗江县函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。

它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。

解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。

现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。

一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。

例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 − 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。

分析与解：A=（4x 2 − 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x − 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3显然，当 x = −1，y = − 1 时，A 有最小值3。

二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。

例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。

分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y − z = 30，得 x=2z －10，y=60－5z,又由 x ≥0，y ≥0得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,解得 5≤z ≤12，把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z得A=−3z+130，显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，所以 当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。

三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

巧用判别式求解代数式的最值问题
代数式，即由数学运算符及相应的变量组成的表达式，是数学中常见的一种类型。

代数式的最值问题，也是代数学习中的重要内容。

在解决这样的问题时，可以巧妙的使用判别式的方法来求解。

判别式法是一种运用多项式特性，按着统一思路解决问题的方法，它要求我们
先把原式代入该函数的x值，求出其值，然后运用其定义式判断所求值的大小，从而求出代数式的最大值最小值。

首先，我们可以通过对原式展开、消去、化简等方法求出单变量多项式判别式，比如二次函数其判别式 D = b^2 - 4ac；如果判别式D>0，表明该函数具有有两
个不同的实根，最大值与最小值的非零值；如果判别式D=0，表明函数具有双重根，最大值与最小值的值为 0 ；如果判别式D<0，表明函数没有实根，最大值与最小
值的值不存在。

其次，对单变量多项式最值问题，我们也可以通过判别式法使用相似三角形比
较来进行求解。

比如，当我们求一元二次方程的最小值问题时，可以根据曲线图，设置两个相似三角形模型，令它们的边长比和内角比均为二次函数的系数，比较其高度之比，便可对比二次函数的极小值并进行求解。

最后，当解决了判别式的最值问题后，需要经过正确的运算手段，还原到原有
的函数中，才能最终确认函数的最值。

总之，判别式法是一种优秀的解决代数式最值问题的工具，在求解最值问题时，能有效的利用多项式特性，简化解题程序，提高解题效率。

初中数学代数最值问题
在初中数学中，最值问题是一个非常重要的概念，尤其是在代数中。

最值问题主要是探究一个函数的最大值或最小值，并且通过运算来求得最值。

最值问题的求解方法有很多，其中比较常见的是函数图像法和代数法。

函数图像法主要是通过画出函数图像来找出最值，而代数法则是通过解方程来找出最值。

在具体的求解过程中，要根据问题中的条件和要求来选择合适的方法进行求解。

在代数中，最值问题主要涉及到函数的极值和最值。

函数的极值分为极大值和极小值，而最值则分为最大值和最小值。

一般来说，求极值和最值需要通过求导数的方法来进行，具体的求解过程需要根据不同的函数类型来选择不同的求导方法。

综上所述，初中数学代数最值问题涉及到的知识点非常广泛，需要同学们掌握一定的代数基础和求解方法。

只有通过不断的练习和学习，才能够在最值问题中游刃有余，轻松解决各种问题。

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代数式求值的十种常用方法代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型.它除了按常规直接代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本文结合近几年各地市的中考试题，介绍十种常用的求值方法，以供参考。

一、利用非负数的性质若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用"若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确泄字母的值，再代入求值。

目前，经常出现的非负数有lai，a2,需等。

例1若TTW和I8b-3I互为相反数，贝IJ丄「-27= ___________ o' ab丿____ 1 q 解：由题意知，VT石+I8b-3I=O，则l-3a=0 且8b-3 = 0,解得a = b =—3 8 因为ab = lx- = l> 所以（丄「-27 = 8—27 = 37,故填37。

3 8 8 lab丿练习：（2010年深圳市）若（a_2）2 + lb + 3l=0,则（a + b）2007的值是（）A.OB. 1C.-lD. 2007提不：a = 2» b = —3，选Co二.化简代入法化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。

例2 先化简，再求值：(a2b —2ab2 -b')^-b —(a + bXa —b)* 其1= b=—1 °2 解：原式=a? -2ab-b2 -(a2 -b2)=a2 -2ab-b2 -a2 + b2 =-2ab。

11 a = — > b =—1 时 >2练习：（2009年河北省）已知a = 3，b = —2,求卩+丄］・一-——的值。

la b丿+2ab+ b-提示：原式=丄。

a + b当a = 3，b = -2时，原式=1。

三、整体代入法当单个字母的值不能或不用求岀时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式中去求值的一种方法。

2020年第3期中学数学研究•51•综合上述探究，得出正确结论共有(2)(3)(4).点评：以上解题方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、四利用构造新的函数来达到消元的目的，方法二、三则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.3.解法反思含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元冋严2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.通过上述解法探究，可知用构造函数法求解极值点偏移问题大致可以分为以下三步：(1)求导，获得函数的单调性，极值情况，作出图像，由题意得知冋严2的范围(数学结合思想)；(2)构造函数：①幻+%2>(<)2x0型的结论构造函数/'(%)-/(2%-x);②t=x2-x x,t=竺换元构造函数；久1③替换函数法构造函数；④对数平均不等式构造函数；(3)求导，限定范围，判断符号，获得不等式，证明得出结论.构造直角三角形解代数最值问题江苏省泰州中学附属初中(225300)刘兴龙构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考■例1设m、n、p是正数，且+n=p',求巴土2的最大值.p解：由已知条件知m、n、p均为正数，且rn2+n=p2,故可构造RtAABC如图1.在RtAABC中,sinA=—,cos4p(sinA+cos4)P二#sin(A+45°).而sin(A+45°)W1,二P #.故空土2的最大值为P评注：本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.例2求二次根式y=V%2-8%+25-Vx+1的最大值.解：如图2,将已知函数变形为y=y(4-X)2+323 -启+］，作佃=4,在二同侧作CA丄AB于A且CA=丄于B且DB=3.在图2AB上取点P,令AP=x,易知PD=7(4-x)2+32,PC=W+1.由CD3：1PD-PC I可知y的最大值为CD=/(3-I)2+42= 275.由少血5“呦,得(阳)：(旳)=1：3,解得PA=2.但AP与AP在4点异侧，与AP方向相反.所以％=-P'A=-2.即y取最大值时％的值为-2.评注:本题是一道数形结合的综合题,解题关键是应用勾股定理,相似三角形及不等知识，通过构造•52•中学数学研究2020年第3期直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.例3已知实数a,6满足条件a>0,6>0,且a+b=4,求代数式+1+/>2+4的最小值.解：因为两个根号内都是岂p 平方和的形式，所以考虑构造直角三角形求解.如图3,作/AE丄丄AB,P是线段AP上的一个动点，设=4,AP=a,BP=b,AE=1,BD=2.过点E作EE丄于F,图3连接DE.根据勾股定理得PE=Va+1,PD=后+4.所以7a2+1+后+4=PE+PDMDE =^32+42=5.故+1+Vb2+4的最小值是5.评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象,从而使问题变得简单明了.例4求二次根式//+4+7(12-%)2+9的最小值.解:构造直角三角形2UPP和ADCP，使CP+ BP=12丄BC,CD丄BC,AB=2,CD=3.并设BP=力，则PC=12-x,由图44得AP+PD=囲+4+27(12-^)2+9，显然，当仲直+PD=AD时为最小值.为此，延长DC至E,使CE=连结AE.在直角三角形ADE中，AP+PD=AD=7122+52=13,故J/+4+最小值为13.评注：因为W+4、丿(12-%)2+9均与直角三角形的边相关联，故设想用勾股定理解之.又考虑到力与(12-%)之和为12,为此将这两线段放置在同一条线段上，构造出两个直角三角形(如图4).然后通过变形，合二为一，使问题得以转化.综上所述,构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解,有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处•运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.利用“同解方程”简化解析几何的运算江苏省海安市实验中学解析几何是指借助笛卡尔坐标系，利用方程来研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支•高中阶段所学曲线都是用方程来表示的，曲线上所有的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，即曲线的方程、方程的曲线.本文重点关注利用“同解方程”以减少解析几何的运算量.(226600)潘新峰—、同解原理原理：已知二次函数/(%)=a^2+b A x+C［、g(力)=a2x2+b2x+c2,若f(x1)=/(x2)=0且g(衍)=g(x2)=0,其中％#%2,则存在入e R且A MO,使得a】=Xa2^b1=Xb2^c1=Ac2-证明：因为g(%)=a2x2+b2x+c2,若/(冋)= /(%2)=0且g(%i)=g(%)=0,所以根据因式分解。

当涉及到代数式的最值问题时，我们通常需要找到使代数式达到最大或最小值的变量值。

这类问题可以通过以下步骤来解决：
1. 理解问题：仔细阅读问题并确保对所给信息有清晰的理解。

了解我们需要找到代数式的最大值还是最小值。

2. 定义变量：为问题中涉及的未知量或变量定义符号。

这将有助于建立代数式。

3. 建立代数式：使用定义的变量来建立与问题相关的代数式。

这可以涉及单个方程式或多个方程式的组合。

4. 求导（可选）：如果代数式是一个多项式或可导函数，我们可以通过对其求导来找到驻点（导数为零的点）。

这些驻点可能对应于最值点。

5. 解方程（可选）：如果我们有一个或多个方程式，我们可以使用代数方法来解方程组，找到方程式的解，这些解可能对应于最值点。

6. 分析边界：检查变量的取值范围。

例如，如果变量是实数，确定是否存在无界的情况，或者是否存在最大或最小的限制。

7. 使用数学工具：使用代数、图形或数值方法来找到代数式的最大或最小值。

这可能涉及求解方程，使用图形方法（例如绘制函数图像）或使用数值计算（例如迭代或优化算法）。

8. 验证答案：找到最大或最小值后，将其代入原始问题中，确保它们满足给定条件。

这些步骤将帮助您解决代数式的最值问题。

请提供具体的问题或代数式，以便我可以为您提供更详细的指导。