广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选29

圆锥曲线331、过双曲线2222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为 .2、设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA⊥l ，A 为垂足，如果AF 的PF ｜＝＿＿＿＿3、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ=，则该双曲线的离心率为A ．2 B ．5 C ．3D ．98答案：C解析：双曲线的渐近线为：y ＝bx a±，设焦点F （c ，0），则 A （c ，bc a ），B （c ，－bc a ），P （c ，2b a ），因为OP OA OB λμ=+所以，（c ，2b a）＝（()c λμ+，()bc a λμ-），所以，λμ+＝1，λμ-＝bc ，解得：,22c b c b c c λμ+-==，又由316λμ=，得：32216c b c b c c +-⨯=，解得：2234a c =，所以，e ＝3，选C 。

4、设斜率为1的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为8，则a 的值为 。

5、已知抛物线240y px(p )=>与双曲线2222100x y (a ,b )a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )A ．12B 1C 1D ．12答案：B解析：依题意，得F （p ，0），因为AF x ⊥轴，设A （p ，y ），224y p =，所以y ＝2p ，所以，A （p ，2p ），又A 点在双曲线上，所以，22224p p a b-＝1，又因为c ＝p ，所以，222224c c a c a--＝1，化简，得：42246c a c a -+＝0，即：42610c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23e =+e 1，选B 。

圆锥曲线0223、已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 【答案】2-【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)。

圆的标准方程为222()424m m x y ++=+，所以圆心坐标为(,0)2m -，所以由12m-=得2m =-。

24、双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角的大小等于_______ 【答案】3π【 解析】双曲线的渐近线为3y x =±。

3y x =的倾斜角为6π，所以两条渐近线的夹角为263ππ⨯=。

25、设点P 在曲线22y x =+上，点Q 在曲线y =PQ 的最小值为_______【答案】427 【 解析】在第一象限内，曲线22+=x y 与曲线2-=x y 关于直线y =x 对称，设P 到直线y =x 的距离为d ，则|PQ |=2d ，故只要求d 的最小值d =2)(2|2|2||472212+--+-==x x x x y ，当12x =时，d min ,所以|PQ |min4=26、若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________．【答案】4【 解析】双曲线的渐近线方程为2by x =±，因为点P (1, 2)在第一象限，所以点P (1, 2)在渐近线2b y x =上，所以有22b=，所以4b =。

27、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】6448(,)2525【 解析】抛物线的焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-。

因为1()52pMF =--=，所以解得8p =。

所以抛物线方程为216y x =，即216m =，所以4m =。

即(1,4)M ，则直线MF 的方程为43160x y +-=，斜率为43-。

圆锥曲线1211。

已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线.（1）求椭圆的离心率；（2)设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB R λλλμ=+∈，证明22λμ+为定值.解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a。

令),,(),,(2211y x B y x A 则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 1212(,),OA OB x x y y +=++由(3,1),a OA OB a =-+与共线，得12123()()0.y y x x +++=又1122,yx c y x c =-=-∴12123(2)()0x xc x x +-++=∴1232cx x +=即222232a c c ab =+，∴223a b =∴c ==yQ PNMFOx故离心率为6.3c e a ==12。

P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点F （0，1），且PQ⊥MN，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K,又PQ 过点F(0，1），故PQ 的方程为y =kx +1将此式代入椭圆方程得(2+2k )2x +2kx －1=0设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y ），（2x ,2y ),则2212222222,22k k k k x x k k--+-++==++ 从而222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即2222(1)||2k PQ k+=+②当k =0时,MN 为椭圆长轴，2PQ ｜212｜PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为169。

圆锥曲线0962.如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与过(2,0)A ，(0,1)B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率32e =,（Ⅰ)求椭圆的方程（Ⅱ）设12,F F 分别为椭圆的左、右焦点,求证1212AT AF AF =⋅本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分 14分.（Ⅱ)由(Ⅰ)得62c =, 所以 1266(,0),(,0)22F F - 由 22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩解得 121,x x == 因此1(1,)2T =。

从而254AT =， 因为1252AF AF ⋅=, 所以21212AT AF AF =⋅63。

已知一列椭圆C n ：x 2+22n b y =1。

0＜b n ＜1，n=1,2. 。

若椭圆C 上有一点P n 使P n 到右准线l n 的距离d 。

是|P n F n ｜与｜P n C n ｜的等差中项，其中F n 、C n 分别是C n 的左、右焦点。

（Ⅰ)试证：b n ≤23(n ≥1）；（Ⅱ）取b n ＝232++n n ，并用S A 表示∆P n F n G n 的面积，试证:S 1＜S 1且S n ＜S n+3 （n ≥3）。

现在由题设取n b=则111,22n n n C C n n +===-++是增数列.又易知233445C C =<<=。

故由前已证,知12S S <，且1 (n 3)n n S S +>≥64。

对每个正整数n ,(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n nB s t 。

(Ⅰ）试证：4(1)n n x sn =-≥;（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

圆锥曲线20选择题:1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B（C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab 又3122=+=ab e ，故选B.2.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由2225A y x x a x y =⎧⇒=⎨+⎩,15x a ∴=y =52(,)a在椭圆上,2222()()15151a a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C3.双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒=5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-【答案】D 【解析】：24(1,0)y x F =得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y x A B y x ⎧=-⎨=-⎩得则AB ==2,5AF BF ==由余弦定理得222524cos 2555AFB +-∠==-⨯⨯ 故选D6.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A 填空题:1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y += 【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。

圆锥曲线0753.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>>（Ⅰ）由已知得222224b c ac a b c=⎧⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=+⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴所求椭圆方程为2212x y +=.解法1：对212S k=+两边平方整理得：2422244(4)240S k S k S +-++=（*）∵0S ≠，2222222216(4)44(24)0,402404S S S SS S S ⎧⎪--⨯+≥⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩整理得：212S ≤又0S >，0S ∴<≤从而AOB S的最大值为2S =， 此时代入方程（*）得 42428490k k -+=2k ∴=±所以，所求直线方程为：240y -+=.解法2：令0)m m =>， 则2223k m =+S m m∴==≤+当且仅当4m m=即2m =时，max 2S =此时k =所以，所求直线方程为240y +=54. 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →, 知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2).∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2) = 1－2t.∴t∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1]. (Ⅱ) ∵DM →=t DE →∴(x+2t－2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－2t).∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)2 , ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求轨迹方程为: x 2=4y, x∈[－2,2]55.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6， 或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).56.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。

圆锥曲线0220.已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π解：两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(x ，y)， 则2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，即22(2)4x y -+=，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.21.直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）7222.如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A ．36B ．4C ．2D ．1解析：如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，∴ 229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236a b ⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222a c ⋅=，选C.23.椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ．222(1)21213x y -+= Ｂ．222(1)21213x y ++= Ｃ．22(1)15x y -+= Ｄ．22(1)15x y ++=解析：椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距2c =，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =- ∴ 252a c =，225,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15x y ++=，选D.24.若双曲线221x y m-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则m= （A ）12（B ）32（C ）18（D ）98解：双曲线221x y m -=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则离心率e=3，∴ 19m m +=，m =81，选C.25.抛物线28y x =的准线方程是(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 解：2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A26.设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要27.抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．应选B ．28.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．二、填空题（共8题）29.已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．30.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .解：显然12,x x ≥0，又2212y y +＝4（12x x +）≥124x x ==时取等号，所以所求的值为32。

圆锥曲线241.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A)340x y ±= （B ）350x y ±= （C)430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题2。

设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A ）(B (C (D ）【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则F(c ，0）,B(0,b ）直线FB ：bx+cy —bc=0与渐近线y=b x a垂直，所以1b bc a-=-，即b 2=ac所以c 2-a 2=ac ，即e 2-e -1=0，所以12e =或12e -=（舍去）3。

设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3，那么|PF ｜= (A ）43 （B)8 （C ）83 （D) 164.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A 。

直线 B. 椭圆 C 。

抛物线 D 。

双曲线解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B5。

椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F,其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是w_w_w 。

圆锥曲线3026．（本小题满分14分）以知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，过点2(,0)a E c的直线与椭圆相交与,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =。

（1） 求椭圆的离心率；（2） 求直线AB 的斜率；（3） 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在∆1AF C的外接圆上，求nm的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I ）解：由1F A //2F B 且12FA 2F B =，得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+ 整理，得223a c =，故离心率c e a ==由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c cx k -=+，2229223k c c x k +=+将12,x x 代入②中，解得3k =±． (III)解法一：由（II ）可知1230,2cx x ==当3k =-时，得)A ，由已知得(0,)C ．线段1AF 的垂直平分线l 的方程为222c y x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴 的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．直线2F B 的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c cm nn m c⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，由0,m≠解得533m cn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故5nm=当k=nm=．27．设0b>，椭圆方程为222212x yb b+=，抛物线方程为28()x y b=-．如图所示，过点(02)F b+，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个；若以APB ∠为直角，则点P 在以AB 为直径的圆上，而以AB 为直径的圆与抛物线有两个交点。

圆锥曲线0858.已知两定点1(F2F 满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围； （Ⅱ）如果6,AB =且曲线E 上存在点C ，使,O A O B m O C+=求m ABC ∆的值和的面积S 。

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以())12,F F为焦点的双曲线的左支，且1c a ==，易知1b =故曲线E 的方程为()2210x y x -=<∵ 12AB x x=-===依题意得整理后得422855250k k -+=∴257k =或254k =但1k <<- ∴2k =-故直线AB 的方程为102x y ++= 设()00,C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()112200,,,x y x y mx my += ∴()121200,,x x y y mx my m m ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()0m ≠又12221x x k +==--()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==--∴点8C m ⎫⎪⎪⎝⎭59.如图，以椭圆()012222>>=+b a by a x 的中心O 为圆心，分别以a 和b 为半径作大圆和小圆。

过椭圆右焦点()()b c c F >0,作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A ．连结OA 交小圆于点B ．设直线BF 是小圆的切线．（1）证明ab c =2，并求直线BF 与y 轴的交点M 的坐标； （2）设直线BF 交椭圆于P 、Q 两点，证明212OP OQ b ⋅=．本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。

平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.证明：（Ⅰ）由题设条件知，Rt OFA ∽Rt OBF 故OF OB OA OF =，即c ba c= 因此，2c ab =在Rt OFA ，.FA b因此，2.c ab =在Rt OFA 中，FA b ==. 于是，直线OA 的斜率oa bk c=.设直线BF 的斜率为k ，则1oa c k k b =-=-. 这时，直线BF 与y 轴的交点为(0,)M a综上，得到3222231212333333()a b a b b a a b OP OQ x x y y a b a b a b-⋅=+=+=+++ 注意到2222222a ab b a c b b -+=-+=，得23232332()22()a b a b a b OP OQ a b a b b a b ⋅===++⋅+2222()1()2()2()2ac a a b a ab a b a b -===-++ 22211()22a cb =-=60.如图，双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，12F F ，分别为左、右焦点，M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且1214F MF M =-·． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设(0)A m ，和10(01)B m m ⎛⎫<<⎪⎝⎭，是x 轴上的两点，过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C D ，两点，作直线BC 交双曲线于另一点E ．证明直线DE 垂本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。